有理数计算中的规律性问题（原卷版）

重难点01有理数计算中的规律性问题探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．一．选择题（共8小题）1．如图，在数轴上，点P表示﹣1，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，给出以下结论：①P5表示5；②P12＞P11；③若点Pn到原点的距离为15，则n＝15；④当n为奇数时，|Pn﹣Pn﹣1|＝2Pn；以上结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④2．（2022秋•姜堰区期中）观察下列两行数：第一行：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，⋯．第二行：0，6，﹣6，18，﹣30，66，⋯．取每行的第8个数，这两个数的和是（）A．0 B．256 C．514 D．10243．（2022秋•江阴市期中）《九章算术》里记载过这样一个三角形数阵——杨辉三角，它是我国古代数学的杰出研究成果之一．它的每行最开始和结尾的数字都是1，中间的每个数都等于它上方的两个数的和．则杨辉三角的第9排左起第5个数是（）A．28 B．35 C．56 D．704．（2022秋•丰县校级月考）已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|……，以此类推，则a2023的值为（）A．﹣1007 B．﹣1008 C．﹣1011 D．﹣20165．（2022秋•崇川区月考）计算：2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+98﹣100＝（）A．﹣200 B．﹣100 C．﹣50 D．506．（2022秋•仪征市校级月考）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（）A．第505个正方形的左下角 B．第505个正方形的右上角 C．第506个正方形的右上角 D．第506个正方形的右下角7．（2022秋•海门市期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2023次输出的结果是（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣68．（2022秋•通州区期中）小亮运用一种方法来扩展数，并称这种方法为“亮化”，步骤如下（以﹣10为例）：①写出一个数：﹣10；②将该数加1，得到数：﹣9；③将上述两数依序合并在一起，得到第一次亮化后的一组数：（﹣10，﹣9）；④将（﹣10，﹣9）各项加1，得到（﹣9，﹣8），再将这两组数依序合并，得到第二次亮化后的一组数：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8）；…按此步骤，不断亮化，会得到一组数：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，…），则这组数的第68个数是（）A．一9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣6二．填空题（共13小题）9．（2022秋•常州期中）已知数a1，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，a5＝1﹣，…，an＝1﹣．按上述方法计算：当a1＝2时，a1+a2+a3+a4+…+a2023＝．10．（2022秋•海安市校级月考）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2022次输出的结果是．11．（2022秋•宜兴市月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝．12．（2022秋•泗洪县期中）如图，表B是表A的一部分，则表B中x等于．13．（2022秋•阜宁县期中）观察上面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出b的值为．14．（2022秋•灌南县校级月考）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子的数为．3abc﹣12……15．（2022秋•吴江区校级月考）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝．16．（2022秋•吴江区校级月考）有一列数﹣，，﹣，，…，那么第8个数是．17．（2022秋•宜兴市月考）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝5，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019等于．18．（2021秋•广陵区期末）【阅读】计算1+3+32+…+3100的值时，令S＝1+3+32+…+3100，则3S＝3+32+33+…+3100+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1，所以．仿照以上推理，计算：＝．19．（2021秋•东台市期末）如图，“海春书局”把WIFI密码做成了数学题．小红在海春书局看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“海春书局”的网络，那么她输入的密码是．20．（2022秋•东台市期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2022应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是．21．（2022秋•鼓楼区校级月考）将1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）排成一列：1，，，，，…，，记a1＝1，a2＝a1+，a3＝a2+，…，记S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S2022﹣S2021＝．三．解答题（共10小题）22．（2022秋•江阴市校级月考）有一列数，第一个数用a1表示，第二个数用a2表示，…，第n个数用an表示，n为正整数；已知，，，，…（1）利用以上运算的规律，直接写出a5＝；a8＝；an＝；（2）计算：a1×a2×a3×a4…a10的值．23．（2022秋•崇川区月考）阅读下列例题：计算：2+22+23+24+25+26+…+210．解：设S＝2+22+23+24+25+26+…+210，①那么2S＝2×（2+22+23+24+25+…+210）＝22+23+24+25+…+210+211．②②﹣①，得S＝211﹣2．所以原式＝211﹣2．仿照上面的例题计算：3+32+33+34+…+32022．24．（2022秋•江都区月考）先观察下列等式，再完成题后问题：＝，，（1）请你猜想：＝．（2）若a、b为有理数，且|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，求：的值．（3）＝．25．（2022秋•宜兴市月考）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝×（1﹣）；第2个等式：a2＝＝×（﹣）；第3个等式：a3＝＝×（﹣）；第4个等式：a4＝＝×（﹣）…寻找规律，解决问题：（1）写出第5个等式：a5＝＝；写出第10个等式：a10＝＝；（2）求a1+a2+……+a2022的值．26．（2022秋•锡山区校级月考）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：分母中加数的个数（n）和的倒数2345……（1）根据表中规律，求＝；（2）根据表中规律，则＝；（3）求的值．27．（2022秋•邳州市期中）观察下列三行数，并完成填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……②﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，……③﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，……（1）第①行第10个数是；第②行数第10个数是；（2）第③行第n个数是；（3）取每行的第10个数，计算这三个数的和为．28．（2022秋•阜宁县期中）折叠纸面，若在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：（1）数轴上8表示的点与表示的点重合．（2）若数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？（3）如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？29．（2022秋•江都区月考）定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3÷3等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3÷3记作34，读作“3的下4次方”．一般地，把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的下n次方”．（1）直接写出计算结果：34＝．（2）关于除方，下列说法正确的有（把正确的序号都填上）①对于任何正整数n，1n＝1；②a2＝1（a≠0）；③23＝32④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）．试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：65＝；＝．（4）计算：．30．（2023春•常州期末）观察下列等式：32﹣12＝8；52﹣32＝16；72﹣52＝24；92﹣72＝32；…根据上述规律，解答下列问题：（1）填空：132﹣112＝，192﹣172＝；（2）用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的．31．（2022秋•扬州期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．4□☆△6﹣5……（1）□＝，☆＝，Δ＝；（2）试判断第2022个格子中的数是多少，并给出相应的理由；（3）判断：前n个格子中所填整数之和是否可能为2035？若能，求出对应的n值，若不能，请说明理由．

一．选择题（共3小题）1．（2021秋•高邮市期末）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021秋•惠山区校级期中）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…）在小于50的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A．139 B．94 C．59 D．163．（2021秋•句容市期中）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3﹣2＝18+7﹣6﹣5＝415+14+13﹣12﹣11﹣10＝924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16……根据以上规律可知第201行左起第3个数是（）A．40800 B．40801 C．40802 D．40803二．填空题（共7小题）4．（2022秋•亭湖区月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为32，我们发现第一次输出的结果为16，第二次输出的结果为8，…，则第2022次输出的结果为．5．（2021秋•滨海县期中）观察一列数：，，，，，，根据规律，请写出第16个数是．6．（2021秋•兴化市校级月考）已知（n＝1，2，3⋯，2021），求当a1＝1时，a1a2+a2a3+⋯+a2021a2022的值为．7．（2021秋•启东市校级月考）有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若a1＝﹣2，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．试计算：a2＝，a3＝，a4＝，a5＝．由你发现的规律计算a2021＝．8．（2021秋•徐州期中）如图，每个格子中都是整数，若任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则从左边第一个格子开始向右数，第2021个格子中的数为．﹣4223…9．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不大于18，那么n的最大值是．10．（2021秋•如皋市校级月考）有一列按规律排列的代数式：b，2b﹣a，3b﹣2a，4b﹣3a，5b﹣4a，…，相邻两个代数式的差都是同一个整式，若第1011个代数式的值为3，则前2021个代数式的和的值为．三．解答题（共8小题）11．（2021秋•兴化市校级月考）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如图．（1）算式2+4+6+…+300中，共有个加数，利用上面的规律计算：2+4+6+…+300；（2）计算182+184+186+188+…+400的值．12．（2021秋•如东县月考）观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…．③（1）写出第①行数的第10个数；（2）观察第②③行数与第①行数的关系，写出第二行的第n数；（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．13．（2021秋•港闸区校级月考）探索规律：观察下面算式，并解答问题．1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9＝25＝52（1）试猜想1+3+5+7+…+19＝；（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝；（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2019+2021．（请算出最后数值哦！并写出计算过程）14．（2021秋•东台市期末）阅读探究：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…（1）根据上述规律，小亮发现2+22+23+24+25＝2m﹣2，求出m＝．（2）小聪继续又发现：23+24＝（2+22+23+24）﹣（2+22）＝25﹣2323+24+25＝（2+22+23+24+25）﹣（2+22）＝2m﹣2323+24+25+26＝（2+22+23+24+25+26）﹣（2+22）＝2n﹣23，求出n＝．（3）若A＝250+251+252+…+2100＝2a﹣2b，请运用小聪的方法求a和b的值．15．（2021秋•淮安期末）一位同学在阅读课外书的时候，学到了一种速算方法，也让我们一起来看看吧！1+2+3+……+100＝（1+100）+（2+99）+……+（50+51），他发现这样的数对一共有50对，且每一对数和都是101，所以原式＝（