专题32等比数列（原卷版）

2023高考一轮复习讲与练等比数列等比数列的有关概念等比数列等比数列的有关概念通项公式推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aeq\o\al(2,p).定义通项公式等比中项前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．等比数列的性质练高考明方向1.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14 B.12 C.6 D.32.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．（1）证明：；（2）求集合中元素个数．3.（2022·浙江卷T20）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．（1）若，求；（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．4．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝()A．7 B．8C．9 D．105．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求的公比；(2)若，求数列的前项和．6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则 ()A．2 B．3 C．4 D．57．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 ()A．16 B．8 C．4 D．28、【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．9．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（II）求{an}和{bn}的通项公式.10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列中，，(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，若，求．11．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为 ()A． B． C． D．12．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ()A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏13．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若,求.14．(2015高考数学新课标2)已知等比数列满足，，则() A．21 B．42 C．63 D．8415．(2014高考数学课标2理科)已知数列满足=1，．(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；(Ⅱ)证明：16．(2013高考数学新课标2理科)等比数列的前项和为，已知，则等于 ()A． B．－ C． D．－讲典例备高考类型一、等比数列的判断与证明基础知识：1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.基本题型：1．(多选)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是()A．a5＝－16 B．S5＝－63C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列2．Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn.(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．3、已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝2，b1＝1，且an＋1＝a1＋2Tn.(1)若数列{an}为等差数列，求Sn；(2)若bn＋1＝b1＋2Sn，证明：数列{an＋bn}和{an－bn}均为等比数列．基本方法：等比数列的三种常用判定方法：定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列注：当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝eq\f(a1,1－q).类型二、等比数列的性质与应用基础知识：等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aeq\o\al(2,p).(2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(4)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,q＞1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,0＜q＜1，))则等比数列{an}递增；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,0＜q＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,q＞1，))则等比数列{an}递减．基本题型：1．(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则()A．q＝2 B．an＝2nC．S10＝2047 D．an＋an＋1<an＋22．设等比数列的前项和为，若，，，则（）A．315 B．155 C．120 D．803．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，，，则数列的公比为（）A．3 B． C．2 D．4．设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（）A．63 B．64 C．127 D．1285．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a9a10>1，eq\f(a9－1,a10－1)<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1 B．a10a11>1C．Sn的最大值为S10 D．Tn的最大值为T96．已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为（）．A．10 B．5 C． D．7．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为_____．8．等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知=，=，则=_____．基本方法：等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(3)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．(4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).类型三、等差数列与等比数列综合性问题基本题型：1．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．2．等比数列中，已知，则数列的前16项和为（）A．20 B． C． D．3．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为（）A． B．4 C．2 D．4．(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，eq\f(3,2)a4,2a5成等差数列．其前n项和为Sn，且S5＝31，则()A．an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5 B．an＝2n－3C．Sn＝32－eq\f(1,2n－5) D．Sn＝2n－4－165．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．基本方法：在解决等差数列与等比数列的综合问题时，要注意到两个数列之间的相互渗透和相互影响，既要能眼观全局从整体入手，又要能抽丝剥茧进行单独分析，并充分根据具体问题的结构特点有针对性地进行解决．新预测破高考1．已知等比数列满足,,则（）2．已知是等比数列的前项和，，，则（）A．3 B．5 C．3 D．53．正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5与a9的等差中项为4，则{an}的公比是()A．1 B．2C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)4．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A． B． C． D．5．已知数列为各项均不相等的等比数列，其前n项和为，且，，成等差数列，则（）A．3 B． C．1 D．6.在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1>1，其前n项积为Tn，且T15＝T8，则Tn取得最大值时，n的值是()A．10 B．10或11C．11或12 D．12或137．已知是等比数列，，，则（）A． B． C． D．8．若是等比数列的前项和，，，成等差数列，且，则（）A． B． C．4 D．129．(多选)已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的为()A．若a1a2＞0，则a2a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若a2＞a1＞0，则a1＋a3＞2a2D．若a1a2＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＜010．已知等比数列{an}的公比q＝－eq\f(2,3)，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，有以下四个结论：①a9a10<0；②a9>a10；③b10>0；④b9>b10.其中正确的为()A．①② B．③④C．①③ D．①④11．已知是数列的前n项和，且点在直线上，则（）A． B． C． D．312、在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于A．66 B．132 C．66 D．3213．(多选)在公比为q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是()A．q＝3 B．数列{Sn＋2}是等比数列C．S5＝121 D．2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)14．(多选)已知等比数列{an}满足a1＝1，其前n项和Sn＝pan＋1＋r(n∈N*，p>0)，则()A．数列{an}的公比为pB．数列{an}为递增数列C．r＝－p－1D．当p－eq\f(1,4r)取最小值时，an＝3n－115、设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．16．是一个边长为1的正三角形，是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推是对中所含有的所有正三角形都去掉中间一份（如图），记为的面积，，则________17．设等比数列的公比为q.前n项和为.