江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷

镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的元素个数为A．1 B．2 C．3 D．42．设复数，则的虚部是A．1 B． C．i D．3．等比数列的各项均为正数，若，，则A．588 B．448 C．896 D．2244．已知向量，，，则向量在上的投影向量为A． B． C． D．5．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围A． B． C． D．6．已知为第一象限角，且，则A．9 B．3 C． D．7．设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．在中，角，，的对边分别为，，若，则的最小值为A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则A．是偶函数 B．的最小正周期为C．的最大值为 D．在上单调递增10．已知函数的导函数为A．只有两个零点 B．C．是的极小值点 D．当时，恒成立11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则A．存在，使得B．当时，存在，使得平面C．当，时，四面体的体积为D．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为________米．（，答案保留整数）13．已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列．14．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，求的值．16．（15分）已知函数，．（1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；（2）请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值．17．（15分）已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．18．（17分）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离；（3）若二面角的余弦值为，求．19．（17分）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】，共3个元素，选C．2．【答案】B【解析】，虚部为，选B．3．【答案】B【解析】，∴，∴或（舍），选B．4．【答案】D【解析】，∴在上的投影向量，选D．5．【答案】D【解析】时，无解，∴或；时，无解，∴则，选D．6．【答案】C【解析】，∴，，选C．7．【答案】A【解析】“有最小值”“”，∴“有最小值”是“”的充分不必要条件选A．8．【答案】A【解析】，∴，∴，∴，选A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC【解析】为偶函数，A对．，∴为奇函数，B错．，C对．，，在单调递增，单调递减，D错．10．【答案】ABD【解析】，或3，在单调递减，单调递增，单调递减，，，∴有且仅有两个零点，A对．关于对称，B对．是极大值点，C错．时，，恒成立，D对．11．【答案】BCD【解析】，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A错．对于B，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D，如图建系，，，，，，，，∴，∴，D对．时，，时，到平面的距离是到平面距离的，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C对，选BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】31【解析】如图，，，，设，则，，，∴，∴．13．【答案】（1，0）【解析】，，为等差数列，即可以是．14．【答案】【解析】关于对称，则∴，则关于对称，（第一空），∴，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1），∴，而为锐角三角形，，∴．（2），∴，∴，．16．【解析】（1）设与切于，，∴∴切线方程为，令此时在处的切线方程为，即是的切线联立，∴，∴在处的切线为∴也是的切线．（2）①中时，，显然无最大值．若选②，，，在上单调递减；上单调递增，上单调递减，时，且，，，∴．若选③，在上单调递增；上单调递减；上单调递增时，且，，，∴．17．【解析】（1）①，②，②-①，∴，而，∴∴成首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）假设存在，∴为常数，∴解得，∴存在使成等差数列，且公差为1．（3）由（2）知，∴∴令，∴在上单调递减，注意到，，∴时，，∴．18．【解析】（1）证明：∵平面，∴，又∵，∴，∴平面，又∵，分别为，的中点∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）如图建系∵，，，∴，，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，∴，∴到平面的距离．（3）仿（2）建系，设，∴，，，，设平面和平面的一个法向量分别为，∴，显然二面角平面