2018-2019学年高中三维设计一轮复习文数版：第十三单元 椭圆、双曲线、抛物线

第十三单元椭圆、双曲线、抛物线

教材复习课/“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过

rms椭圆

［过双基］

1.椭圆的定义

平面内与两个定点Fi，F2的距离的和等于常数（大于I尸i&l）的点的轨迹叫做椭圆-这两

个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的版匚

集合「={M||Mg|+|MF2l=2a},四尸2l=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：

⑴当2a>|b1gl时,尸点的轨迹是椭圆；

⑵当2a=|尸逮时，尸点的轨迹是线段；

（3）当2a<四歹21时，P点不存在.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程方+*=l(〃>b>0)p+^i=l(«>A>0)

y

B2

图形於

%

范围一bWyWb—W4——bWxWb,

对称性对称轴：坐标轴,对称中心：他曲

(

4(—a,0),A2a,0),4(0,—a),42(0,d)9

顶点

Bi(0,~fc),B2(0,b)B(一40),5,(-0)

轴长轴的长为2a,短轴的长为助

性质ArA2BB

焦距|FIF2|=2C

离心率e=f,ee(0,l)

a,b,c

c2=a2-b2

的关系

［小题速通］

22

1.（2017•浙江高考）椭圆方+；=1的离心率是（）

A.乎B当

c.|D.|

解析：选B根据题意知，a=3,b=2,则c=7J_b2=下,二椭圆的离心率e=：=半.

2.在平面直角坐标系xOy中，△A3C上的点A,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),若点B

_^L^r-.x2,V2.„,sinA+sinC

259—1上则sin(A+C)—()

A3B3

5

C-5D.7

22

解析：选D由椭圆乐+卷=1,得椭圆的半焦距为4,

22

则4(—4,0)和C(4,0)为椭圆三+2"=1的两个焦点.

22

•・•点5在椭圆三+2~=1上，作出示意图如图所示，

.sinA+sinCsinA+sinC2a5

**sin(A+Q-sinB_2c-4,

22

3.已知椭圆3+±=1(%>0)的焦距为8,则小的值为()

nr

A.3或加B.3

0.^41D.±3或±\［ii

解析：选A当mV5时，焦点在x轴上，焦距2c=8,则c=4,

由25—77/2=16,得机=3;

当机>5时，焦点在y轴上，焦距2c=8,则c=4,

由〉一25=16,得加=丽，

故m的值为3或4石.

221

4.若焦点在x轴上的椭圆彳+\=1的离心率为右则机=________.

乙III乙

解析：因为焦点在工轴上，所以0V%V2,

所以d=2,b2=m,c2=a2—b2=2—m.

因为椭圆的离心率为e=T,

1-2q

所以°2=W=£=-2-，解得m=2,

答案送

［清易错］

22

1.求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为夕+5=1(心方>()).

22

2.注意椭圆的范围，在设椭圆夕+%=13>%>0)上点的坐标为P(x,y)时，|x|Wa,

这往往在求与点尸有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

224

1.已知椭圆卷+占=1的离心率为去则左的值为()

A.-21B.21

C.一||或21D.要或一21

解析：选D当9>4一左>0,即一5<«<4时，

Q=3,c2=9—(4—k)=5+k,

.•.呼解得人工；

当9V4—k,即kV—5时，a=y[4—k,c2=-k—5,

-­.^^=1解得人一21,

y)4—k3

:.k的值为黑或一21.

2.已知椭圆C：亍苣■=：!的左、右焦点分别为尸1，F2,椭圆C上的点A满足

尸1p2,若点P是椭圆C上的动点，则不•瓦1的最大值为()

A坐B.羊

解析：选B由椭圆方程知c=-4—3=1,

所以乙(一1,0),F2(l,0).

因为椭圆C上点A满足4/2，尸1尸2,则可设A(l,Jo),代入椭圆方程可得显=不所以

3

%=±5・

设P(X1,J1),则瓦力=(©+1,J1),瓦4=(0,Jo),

所以尸iP-F2A=yijo.

因为点P是椭圆C上的动点，所以一小WyiW小,

故不•瓦X的最大值为芈.

双曲线

［过双基］

1.双曲线的定义

平面内与两个定点Fi，F2的距离的差的绝对值等于非零常数距、于I居外|)的点的轨迹叫

做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合P={M|||MFi|一|MF2ll=2a},向三片？。，其中a,c为常数且a>0,c>0.

⑴当2a<1001时,尸点的轨迹是双曲线；

⑵当2a=|耳述J时，尸点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>|尸建2|时，尸点不存在.

2.标准方程

22

(1)中心在坐标原点，焦点在X轴上的双曲线的标准方程为力一方=1(“>0,/»0)；

⑵中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为方一条=l(a>0,fe>0).

3.双曲线的性质

2222

标准方程3一方=l(Q>0,Z»0)p=l(«>0,fe>0)

图形

AM,QK>42IF2x

乃一

范围或a,y£Ry<一〃或x^R

对称性对称轴：坐标轴,对称中心：原点

顶点Ai(—a,0),Ai(a,0)4(0,—a),Ai(0,d)

ba

渐近线产土户

Jy=±~ax

性质离心率e=%e£(L+°°)

4,儿C的

c2=a2+b2

关系

线段44叫做双曲线的实轴，它的长以141=2”；

实虚轴线段5避2叫做双曲线的虚轴，它的长四的1=2仇

a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

［小题速通］

22

L(2017•天津高考)已知双曲线/一齐=1(〃>0,>>0)的右焦点为凡点A在双曲线的

渐近线上，厂是边长为2的等边三角形(0为原点)，则双曲线的方程为()

谓一丁=1D.±1

解析：选D由△0AF是边长为2的等边三角形可知，c=2,g=tan60。=[5.又,2=/

2

+b2,联立可得Q=1,b=小,・••双曲线的方程为f—、=1.

2.已知双曲线过点(2,3),其中一条渐近线方程为)=审心则双曲线的标准方程是()

解析：选C由双曲线的一条渐近线方程为丁=小匚

2

可设其方程为1—”2=4(220).

32

又双曲线过点(2,3),则可一22=7,解得)=—1,

22

所以双曲线的方程为*2=—1,即——、=].

3.(2018•张掖一修)如图，Fi，尸2分别是双曲线方一方=13>0，6>0)

的左、右焦点，过尸1的直线/与双曲线的左、右两支分别交于点5,4若4

为等边三角形，则双曲线的离心率为()

A.市B.4

L.3D.^3

解析：选A依题意得|A8|=|A尸21=盗尸2I,结合双曲线的定义可得|BFil=2a,尸2尸4”，

\F!F2\=2C,因为AAB尸2为等边三角形，所以二歹14=120°,由余弦定理，可得4/+16/

+2X2aX4ax1=4c2,整理得*=由，故选A.

/a

22

4.已知尸为双曲线C：方一太=1的左焦点，P,。为C上的点.若尸。的长等于虚轴

长的2倍，点4(5,0)在线段P。上，则歹的周长为.

解析：由题意得，尸尸|一区4|=6,|尸。|一|。4|=6,两式相加，利用双曲线的定义得|歹尸|

+|尸。|=28,所以△PQF的周长为|尸P|+\FQ\+\PQ\=44.

答案：44

[清易错]

1.注意区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c关系，在椭圆中后二户

+C2,而在双曲线中。2=“2+户.

2.易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x轴上，渐近线斜率为4,

当焦点在y轴上，渐近线斜率为土务

22

1.双曲线号^三一B=l（0Vm<3）的焦距为（）

36—mm

A.6B.12

C.36D.2yj36-2m

解析：选BVC2=36-m2+m2=36,/.c=6,

・••双曲线的焦距为12.

2.已知直线4x+3y—20=0经过双曲线C：,一方=1的一个焦点，且与双曲线。的

一条渐近线平行，则双曲线。的实轴长为（）

A.3B.4

C.6D.8

22

解析：选C•.•双曲线C:^1—5=1的焦点在X轴上，直线1:4x+3y—20=0与X轴

的交点为（5,0）.

：.a+b2=c2=25.®

•直线］:4x+3y—20=0与双曲线C:，一齐=1的一条渐近线平行，二、：.②

由①②解得a=3,

双曲线C的实轴长为2a=6.

抛物线

［过双基］

1.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线/（/不经过点F）的距离相篁的点的轨迹叫做抛物线.点

尸叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的迤线一

2.抛物线的标准方程与几何性质

y2=2px(p>0)y2=—2px[p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

标准方程

p的几何意义：焦点尸到准线/的距离

图形1nJ二

17rj

顶点0(0,0)

对称轴y=0x=0

哈。）代,。）电,尸（。，一（

焦点9I

离心率e=l

准线方程r=-2此以

^=—2----2^2

范围y20,x^RyWO,x^R

开口方向向右向左向上向下

焦半径（其中

\PF\=x0+^|PF|=-x0+§\PF\=y0+^|PF|=-Jo+f

尸（Xo,Jo））

［小题速通］

1.已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线七一七=1的右焦点，则此抛物线的方程为

（）

A.y2=2xB.y2=4x

C.y^=10xD.y2=20x

22

解析：选D双曲线台一±=1的右焦点为（5,0）,

由题意，设抛物线方程为丁=2内（p>0）,

•.•抛物线的焦点为双曲线三一号=1的右焦点，

in■乙

为=5,.=10,

二抛物线方程为J2=20X.

2.若抛物线y=4f上的一点M到焦点的距离为1,则点"的纵坐标是（）

,17„15

A16B16

7

C.GD.0

o

解析：选B点M到准线的距离等于点M到焦点的距离，又准线方程为y=一表，设

M（x,y）,则y+表=1,

,,15

故产石

3.若点P为抛物线y=2f上的动点，F为抛物线的焦点，则|产尸|的最小值为（）

A.2B2

1

CiD

JU.8

解析：选D设点P到准线的距离为d,则有|PF|=d,

又抛物线的方程为y=2x2,即f=5，

则其准线方程为》=一1，

所以当点尸在抛物线的顶点时，d有最小值

O

即IP尸I的最小值为5.

O

4.已知抛物线J=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为

解析：可知抛物线y2=6x的焦点pg,0),设P(x,j),x>0.

由抛物线的定义，得点尸到焦点的距离di=x+^=x+^9

点尸到y轴的距离d2=x.

333

由X+7=2X,解得,该点的横坐标为刀.

答案：;

［清易错］

1.抛物线的定义中易忽视”定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动

点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线.

2.抛物线标准方程中的参数p,易忽视只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线

/的距离，否则无几何意义.

L动圆过点(1.0),且与直线x=-l相切，则动圆的圆心的轨迹方程为.

解析：设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线*=-1的距离相等，

根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为J2=4X.

答案：丁=标

2.抛物线8#+》=0的焦点坐标为.

解析：由8f+y=0,得f=一

：.2p=；,。=七.\焦点为(0,一击)

答案：(。，一色

直线与圆锥曲线的位置关系

［过双基］

1.直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程Ax+5y+C=0(A,5不同

时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变

量y)的一元方程.

Ax+Bj+C=0,

BP1消去y,得ax2+bx+c=0.

［F(x,y)=0,

(1)当aWO时，设一元二次方程。/+数+‘=0的判别式为4则/>00直线与圆锥曲线

C相交;

4=0台直线与圆锥曲线C相切;

/<00直线与圆锥曲线C相离.

(2)当。=0,时，即得到一个一次方程，则直线/与圆锥曲线C相交，且只有一个

交点，此时，若C为双曲线，则直线/与双曲线的渐近线的位置关系是壬任；若C为抛物线,

则直线/与抛物线的对称轴的位置关系是平任或重合」

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为-AWO)的直线/与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(Xi，W)，B(X2,力)，贝U

\AB|=,1+左〜1—X2I

=，1+必7(X1+型)2-4*1*2

-ql+6・JUi+%)2-4yly2.

［小题速通］

22

1.直线产丘f+1与椭圆方+号=1的位置关系为()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

解析：选A因为直线》=区一上+1=左。-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部，

故直线与椭圆相交.

2.过抛物线d=8y的焦点尸作直线/交抛物线于A,8两点，若线段A5中点M的纵

坐标为4,则|A3|=.

解析：由题意，可得焦点尸(0,2),设A(xi,ji),B(X2,J2),则刈+及=8,过焦点的弦长

|AB|=JI+J2+P=8+4=12.

答案：案

22

3.已知双曲线C：也一方=13>0,Q0)的渐近线与圆(L2)2+/=I相交，则双曲线

C的离心率的取值范围是

解析：双曲线的渐近线为bx±ay=09其与圆相交，则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径，

.,.3b2<a2,J,c2=a2+b2<^a2,：.e=^<r^-.

又e>l,'IVeV4

答案：(1,甯

［清易错］

L直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直

线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.

2.直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平

行时也相交于一点.

h22

1.直线y=/+3与双曲线，一齐=1的交点个数是()

A.1B.2

C.1或2D.0

解析：选A因为直线y=5+3与双曲线的渐近线平行，所以它与双曲线只有1

个交点.

2.过点(0,1)作直线，使它与抛物线J=4x仅有一个公共点，这样的直线有()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析：选C结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x=0,过点(0,1)且平

行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).

□双基过关检测

一、选择题

1.抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点P(%1)到焦点的距离为5,则抛物线

的标准方程为()

A.)=8“2B.)=16“2

C.x2=8yD.x2=16y

解析：选D根据题意知，点P(m,l)在X轴上方，则抛物线开口向上，

2

设其标准方程为x=2py9

其准线方程为》=一§,

由点尸到焦点的距离为5,得1一（一。=5,

解得p=8,

则抛物线的标准方程为X2=16J.

22

2.椭圆器+\=1的焦距为2由，则m的值为（）

A.9B.23

C.9或23D.16一巾或16+巾

22

解析：选C由椭圆器+1=1的焦距为25，

可得，2:16一m=2巾或2小"-16=2市,

解得m=9或23.

3.过抛物线/=4x的焦点的直线/交抛物线于尸（xi，ji）,g（x2,力）两点，如果*1+必

=6,则|P?|=（）

A.9B.8

C.7D.6

解析：选B抛物线/=4x的焦点为尸（1,0）,准线方程为*=-1.根据题意可得，|PQ|

=|PF|+ieF|=Xi+l+x2+l=x1+x2+2=8.

丫2____>___>

4.若双曲线C：j~y2=l的左、右焦点分别为尸1，尸2,尸为双曲线C上一点，满足PFi•尸丛

=0的点尸依次记为Pl，P1，尸3,尸4,则四边形P1P2P3P4的面积为（）

8乖

A.B.2乖

，5

84

15

解析：选C设P（X,y）,由已知得尸1（一下，0）,尸2（裂，0）,

则（一部一x,—y）-（y[5~x,-j）=x2_5+J2=0,

2

即X2+J2=5,与双曲线方程亍一,2=1联立，

（2而叼（2而引

可得交点分别为

2而<2^30_西

5，―5>I5，—5>

它们构成一个长为雪，宽为平的长方形，

所以四边形PiP2P3P4的面积为生锣乂¥=苧.

5.若双曲线£一1i=l（a>0,》>0）的离心率为皿，则其渐近线方程为（）

A.y=±3xB.j=±^x

C.y=±2xD.y=±"r

22

解析：选D因为双曲线力一#=l（a>0,8>0）的离心率为4私所以e=%=〈Id,

2c?a2+b2b2b

即e=/=—^=1+滔=1°，所以£=3・

22

因为双曲线?一张=1的焦点在y轴上，其渐近线方程为y=±齐，所以该双曲线的渐近

线方程为y=±+.

6.已知椭圆C：力+5=13乂>0）的左、右焦点为Fi，F2,离心率为坐，过歹2的直线

/交C于A,B两点,若44尸皮的周长为4小，则椭圆C的方程为（）

222

A.y+^-=lB.y+/=1

谆+[=1D.g+51

解析：选A由椭圆的性质知|Abi|+|A歹2l=2a,|BFi|+|BF2|=2a,又V|A尸i|+|A尸2I+

22

G222

IBFi|+IBF21=4^/3,...a=q§.又e=g,/.c=l,/.b=a—c=2,工椭圆的方程为5+'=

1.

22

7.已知双曲线台一1=1的右焦点为尸，若过点歹的直线与双曲线的右支有且只有一个

交点，则此直线斜率的取值范围是（）

r亚

r3

Ac.

r近

n3D.[—巾，班]

解析：选C由题意知F（4,0）,双曲线的两条渐近线方程为y=土坐

x.当过点尸的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图

象，数形结合可知应选C.

8.已知西，巴是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且NgPF2=£，

则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（)

A1B-2

C.1D.「

解析：选B如图，设椭圆的长半轴长为由,双曲线的实半轴长为r

a2,则根据椭圆及双曲线的定义可得，

|PFi|+|PF2l=2“i,

1PBi-1尸入1=2。2,

•・・|尸尸1|=。1+〃2,1尸方2尸。1—。2・

设内尸2l=2c,又"依2=%

在△PF1尸2中，由余弦定理得，

2

4c2=(〃1+«2)+31—。2)2—2(。1+。2)(〃1-«2)C0S

化简得：(2—也届+(2+也欣=4。2,

2~Ji2+^/2

即^-=4・

..2—#2+#>2yfi^_2小

9

e―ei―—el—/eye2~ere2

4,即「》申，

；.”ere2、ee22

椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为

二、填空题

2

9.(2017•北京高考)若双曲线/一］=1的离心率为方，则实数帆=.

2

解析：由双曲线的标准方程可知d=i,b=m9所以a=l,c=yjl+m,所以

="\/3,解得机=2.

答案：2

22q

10.(2017•全国卷III)双曲线，一方=1(〃>0)的一条渐近线方程为尸铲，则〃=.

22

解析：•.•双曲线的标准方程为，一方=13>0),

，双曲线的渐近线方程为产土和

3

又双曲线的一条渐近线方程为j=-x,Aa=5.

答案：5

11.与椭圆看+1=1有相同的焦点，且离心率为坐的椭圆的标准方程为.

22

解析：由椭圆g+；=l,得/=9,52=%

:.。2=°2一52=5,

，该椭圆的焦点坐标为(4话，0).

22

设所求椭圆方程为3+方=1,a>b>09

则。=邓,又:=坐,得a=5,，.=25—5=20.

22

所求椭圆方程为文+为=1.

22

答案：运+会=1

12.(2018•西安中学模拟)如图，过抛物线y=1x2的焦点F的直线I与抛物线和圆x2+(y

-1)2=1交于A,B,C,。四点，则前•虎=.

。=1,

解析：不妨设直线的方程为y=l,联立<12解得x=±2,则4(一2,1),0(2,1),

y=4x,

因为C(l,l),所以就'=(1,0),DC=(-1,O),所以瓦济•比=一1.

答案：一1

三、解答题

13.已知椭圆C：5+£=1(心>&>0)的短轴长为2,且函数一黑的图象与椭圆C

仅有两个公共点，过原点的直线/与椭圆C交于M,N两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点尸为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求面积的最小值，并求

此时直线I的方程.

解：(1)由题意可得，2b=2,所以b=L

联立也+丁=13>1)与一诟消去y,

整理得，+(A为小空=。，

根据椭圆。与抛物线—鲁的对称性，可得/=6一竽J-4义号看罡=o,a>l9

解得〃=2.

2

工椭圆。的标准方程为亍+丁=1.

(2)①当直线/的斜率不存在时，SgMN=4x2bXa=2;

当直线/的斜率为0时，SAPMN=Wx2aXb=2;

②当直线/的斜率存在且不为0时.

(y=kxf

设直线，的方程为y=fcr,由j廿+2_]

2

解得*户

/.IMNI=2yp+/=4yj

由题意可得，线段的中垂线方程为>=一上,

.­.|OPI=V?+P=2

14(1+好)4(1+*2)8,,,,

ENRMI”尸而森瑞市山屋亘飞当且仅当k=±l时取

2

Q

等号，此时△PMN的面积的最小值为

QQ

*/2>g,的面积的最小值为于直线/的方程为y=±x.

14.已知点厂为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点4(2,⑼在抛物线

E上，且|4尸|=3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(—1,0),延长A歹交抛物线E于点3,证明：以点尸为

圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.

解：(1)由抛物线的定义得

|AF|=2+与

因为|A尸1=3,即2+弓=3,解得0=2,

所以抛物线E的方程为J2=4X.

(2)因为点4(2,加)在抛物线E：V=4x上，

所以m=±2巾.

由抛物线的对称性，不妨设4(2,2、位).

由A(2,2yf2),F(1,O)可得直线AF的方程为y=2啦。一1).

由＜2得2*—5x+2=0,

b=4x,

解得x=2或x=g,从而5&—g)

又G(—1,0),

圻以〃2^2-02^2

所以初一2-(—1厂3,

-^2-0_2^2

^GB—1一—q，

厂(T)

所以AGA+AGB=0,从而NAG尸=N5G尸，这表明点尸到直线GA,G8的距离相等，故

以厂为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.

高考研究课(一)

椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系

［全国卷5年命题分析］

考点考查频度考查角度

椭圆的标准方程5年2考求椭圆的标准方程

椭圆的几何性质5年5考求离心率，求参数

直线与椭圆的位置关系5年4考弦长问题、面积最值、斜率范围

03椭圆的定义及标准方程

［典例］⑴若椭圆C:=1的焦点为尸1，尸2,点P在椭圆C上，且|PF1|=4,则/

FiPF2=()

A匹G九

A6B.§

—57r

c号DT

(2)(2018•大庆模拟)如图，已知椭圆C：=l(a>/»0),其

中左焦点为粗一24，0),尸为。上一点，满足|OP|=|。川，且|PF|

=4,则椭圆C的方程为()

22

B•福+2=1

Jo1O

［解析］(1)由题意得。=3,c=®则|P/21=2.

在△尸2P尸1中，由余弦定理可得

|PB『+|PB『一n0|2

COSZFPFI=

22|尸尸1||尸尸2l

_42+22~(2^7)2__1

=-2X4X2-=~2'

又；N尸22歹16(0,it),：.ZF2PFi=y.

(2)设椭圆的焦距为2c,右焦点为Fi,连接尸尸1,如图所示.

由尸(一24，0),得c=2小.

由|OP|=|OF|=|OFil,

PFPF.

在RtZkPFiF中，由勾股定理，

得|PFil=1向一|PF『=7(44)-2=8.

由椭圆定义,得|P尸1医|尸尸|=2a=4+8=12,

从而a=6,得“2=36,

于是b2=a-c2=36~(2y［5)2=16,

22

所以椭圆。的方程为2+上=1.

36lo

［答案］(1)C(2)B

［方法技巧］

(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定

焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定，可把椭圆

方程设为znx2+ny2=1(/M>0,«>0,mWn)的形式.

(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用

椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.

［即时演练］

22

1.在平面直角坐标系9中，P是椭圆^+会=1上的一个动点，点4(1,1),5(0,-1),

则|"L|+|P3|的最大值为()

A.2B.3

C.4D.5

22

解析：选D•.•椭圆方程为号+半=1,

焦点坐标为5(0,-1)和5'(0,1),

连接,AB',根据椭圆的定义，)

得IPBI+IPB'|=2"=4,写”

可得|「为=4一|「8'|,

因此因4|+|尸3|=因4|+(4一|尸3'|)

=4+(\PA\~\PB'|).

'：\PA\~\PB'I,

.,.|PA|+|PB|^4+|AJB,|=4+1=5.

当且仅当点尸在A5'延长线上时，等号成立.

综上所述，可得|E4|+|P阴的最大值为5.

2.已知Fi，歹2是椭圆C：3+£=1(“>6>0)的两个焦点，尸为椭圆C上的一点，且宙

±PK.^APF]F2的面积为9,则b=.

rl+r2=2a,

解析:设|尸尸1|=打,\PF\=r,贝/

22ri+d=4c2,

2222

2rtr2=(^+r2)—(rj+rl)=4a—4c=4b,

1,

2

X.,/SAPFiFz=Tnr2=b=9,：.b=3.

答案：3

椭圆的几何性质

［典例］(1)(2016•江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，歹是

22»

椭圆》+右=1(〃>8>0)的右焦点，直线)=不与椭圆交于5,C两点，

且N5尸C=90。，则该椭圆的离心率是.

⑵如图，椭圆5+5=13>6>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,过尸2的直线交椭圆于尸，

。两点，B.PQ±PF1.

①若|尸四=2+也，|PBI=2—也，求椭圆的标准方程;

34—

②若|PQ|=4|尸尸也且wWaV］,求椭圆离心率e的取值范围.

［解析］(1)将＞=亭代入椭圆的标准方程,

从

24

x

得

十

「2-7=

a

所以x=

又因为尸(c,0),所以B尸

因为N5尸C=90°,所以笳•/=(),

所以Q+乎-芈