广西名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题含答案

2024年秋季学期高中二年级期中教学质量检测数学试题注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第一册,必修第二册,选择性必修第一册第一章至第三章3.1。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“∃x∈A.∃x∈C.∀x∈2.已知集合A={0,1,4A.5B.4C.3D.23.已知F1,F2为椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,A.1B.6C.7D.44.若复数z满足1+i2z=6−A.2B.-2C.-4D.−5.已知角α的终边不在坐标轴上,且2sin2α=sinαA.−78B.78C.−76.一艘轮船北偏西65∘方向上有一灯塔,此时二者之间的距离为16海里,该轮船以20海里/时的速度沿南偏西55∘A.18海里B.16海里C.14海里D.12海里7.设函数fx=ax−2,x≤1,lnx,xA.0,+∞B.(0,28.已知a>0,b>0A.a2+C.2a+二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知空间向量a=−A.a+bC.a//cD.b在c方向上的投影向量为10.已知圆C:x−aA.aB.点(1,4)在圆C的外部C.若直线mx+y−2=0平分圆D.圆x−92+y+11.已知函数fx=Asinωx+φAA.ωB.φC.fx在6,D.fx在0,40三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量a与b的夹角为π3,a=1,b13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=114.已知M,E,F均为圆柱O1O2表面上的动点,直线EF经过圆柱O1O2的中心O,O四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求B的大小；(2)求△ABC16.(15分)已知不过原点的直线l在两坐标轴上的截距相等.(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l过点P2,6,求直线(3)若直线m与直线l垂直,且直线m被圆x2+y2=4截得的弦长为2,求直线m17.(15分)某中学高二年级的所有学生学习完人教A版选择性必修第一册的《直线和圆的方程》章节后,统一进行了一次测试,并将所有的测试成绩(满分150分)按照[30,50),[50,(1)试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数(每组数据取区间的中间值作代表);(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法,从测试成绩在[110,130)和[130,150]内的学生中抽取6人的试卷进行试卷分析,再从这6人的试卷中任选2人的试卷进行优秀答卷展示,求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩都在[110,18.(17分)如图,在四棱台ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,(1)证明:BD⊥平面AC(2)求直线DD1与平面BC(3)棱BC上是否存在一点P,使得二面角P-AD1-D的余弦值为211？若存在,求线段BP的长;19.(17分)若圆C1与圆C2相交于P,Q两点,PQ=mm>0,且C2为线段PQ的中点,则称C2是C1的m等距共轭圆.已知点A3,5,(1)求圆C1(2)若圆C2是圆C1的8等距共轭圆,设圆心C2的轨迹为(i)求Ω的方程.(ii)已知点H3,3,直线l与曲线Ω交于异于点H的E,F两点,若直线HE与HF的斜率之积为3,试问直线l是否过定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.2024年秋季学期高中二年级期中教学质量检测1.C特称量词命题的否定是全称量词命题.2.A依题意可得A∩B={0,4,3.D根据题意可得PF1+PF4.B因为z=6−2i1+i2=5.A因为2sin2α=sinα,所以4sinαcosα=sinα.因为角α6.C记轮船的初始位置为P,灯塔的位置为Q,半小时后轮船的位置为M,如图所示.依题意得PQ=16海里,PM=20×0.5=10海里,∠QPM=180∘−65∘−55∘=607.B根据题意可得a>0,a−8.B对于A,取a=12,b=32,显然有a2+b2=1成立,但a+b≥2不成立,不符合题意.对于B,由a+b=ab,得1a+1b=1,所以a+b=a+b1a+1b=2+ba+ab≥9.ACa+b=−2,−4,4+3,−4,0=1,−8,4,A正确;b10.ABD根据题意可得4a=4,所以a=1,A正确.圆C:x−12+y−12=4,因为1−12+4−12>4,所以点(1,4)在圆C的外部,B正确.圆C=1,C错误.圆x−92+y+52=64的圆心为M9,−5,半径为8,因为CM=11.ABD根据题意可得A=23.因为M1,0,N5,0,P3,23,所以最小正周期为2×5−1=8,由2πω=8,解得ω=π4.将P3,23的坐标代入fx=23sinπ4x+φ,得23=23sin3π4+φ,则3π4+φ=π2+2kπk∈Z,解得12.2;13由题意得a⋅b=ab⋅cosπ3=1×13.x216+y2=1由题意易得2a=8,则a=4.因为椭圆C的离心率为154,所以c=1514.144根据题意可得OE=−OF,ME⋅MF=MO+OE⋅MO+OF=MO2+MO⋅OF15.解:(1)由正弦定理可得2c=3a=6,则所以cosB=因为0<B<π,所以(2)由题意可得△ABC的面积为1216.解:(1)设直线l:xa+ya则直线l的斜率为-1,3分倾斜角为3π4.4(2)将点P2,6的坐标代入y=a−所以直线l的方程为x+y(3)因为直线m与直线l垂直,所以可设m:y因为点(0,0)到直线m的距离d=b所以24−解得b=±6则直线m在y轴上的截距为±6.1517.解:(1)由频率分布直方图可知该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数约为(40×0.0050+60×(2)因为测试成绩在[110,130)和130,150所以抽取的6人中测试成绩在[110,130)内的有4人,记为测试成绩在130,150内的有2人,记为A从这6人中任选2人的所有可能情况为a,d),b,A,b其中这2人的测试成绩均在[110,130)内的情况有故所求概率为615=18.(1)证明:因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD又因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD因为AA1且AA1,AC⊂平面ACC1A1(2)解:以AB,AD,AA1则B6,0,所以BC=0设平面BCC1B1则m⋅BC=6y1设直线DD1与平面BCC1B则sinθ故直线DD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为613.10分(3)解:若存在点P满足题意,则可设点则AP=6设平面AD1P的法向量为n=x2取n=λ易得平面ADD1的一个法向量为v所以cos⟨n,v⟩=n⋅v故棱BC上存在一点P,当BP=2时,二面角P−AD119.解:(1)根据题意可设圆C1的圆心坐标为4a则圆C1的标准方程为x−由3−4a解得a=0则圆C1的标准方程为x−(2)(i)设圆C1与圆C2相交于P,Q两点,则PQ因为C2为线段PQ的中点,所以C1C2⊥PQ所以Ω是以(3,0)为圆心,3为半径的圆,7分故Ω的方程为x−3(ii)(方法一)若直线l的斜率不存在,则可设直线l的方程为x=x0根据题意可得kHE⋅kHF=y因为x0−32+y02=9,所以x0=3,即直线l的方程为若直线l的斜率存在,则可设直线l的方程为y=由y=kx+b,x则Δ=−4k=k2则9k2+b2+6kb+9k