四川省成都市东部新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年四川省成都市东部新区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为(

)A.

B.

C.

D.2.若，则的值为(

)A. B.5 C. D.3.把一元二次方程化成一般形式，正确的是(

)A. B. C. D.4.两个相似多边形的面积之比为1：2，则它们的对应高之比为(

)A. B.1：2 C.1：4 D.1：85.下列说法正确的是(

)A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形 D.四条边相等的四边形是正方形6.如图，若D、E分别为中AB、AC边上的点，且，，，，则AE的长度为(

)A.

B.

C.

D.47.某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为(

)A. B.

C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，反比例函数的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若的面积为3，则k的值为(

)A.

B.1

C.2

D.3二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。9.一元二次方程的根是______.10.在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______.11.在一个不透明的盒子中装有16个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数为______.12.如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是______.

13.边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作，交CD边于点F，若CF的长为，则CE的长为______.

14.已知方程的两个实数根为、，则代数式的值为______.15.将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为______.

16.定义：我们把形如的数成为“无限连分数”.如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则______.17.如图，已知点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，AB，CD在y轴的两侧，，，若AB与CD的距离为7，则的值是______.

18.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD交于点M，，，点E是直线AC上一动点，连接DE，以AE、DE为邻边作▱AEDF，其对角线EF与AD交于点O，点E的运动过程中，▱AEDF的对角线EF的最小值是______.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题12分

计算：；

解方程：20.本小题8分

为全面落实作息令，某市教育局对在校集中学习时间不含课外活动作了明确的要求，为了解某小学学生在校集中学习时长不含课外活动情况，某部门针对某校学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“4小时以内”，B表示“小时以内”，C表示“小时分钟以内完成”，D表示“小时以内”.根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图.

请结合统计图，回答下列问题并补全条形统计图：

这次调查的总人数是______人；扇形统计图中，B类扇形的百分比是______；C类扇形所占的圆心角是______

在D类学生中，有3名男生和1名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.21.本小题8分

【项目式学习】制作“E”形视力表，

【课题实施】根据标准对数视力表测试距离为5米，以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表.

【课题结论】

如图1，利用“E”的高度b与它到眼睛的水平距离l之比即来刻画视力.

大小不同的“E”，只要它们这一比值即相同，那么用他们测得的视力就相同.

【课题应用】

问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“E”字，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A，C，O在同一直线上为止，其中AB是①号“E”字的高度，CD是②号“E”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“E”与②号“E”字测试的视力相同.

问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“E”形视力表.以图2所示，①号“E”是标准对数视力表中视力为的“E”字，其高度AB为45mm，求小明在制作视力为的②号“E”字时，②号“E”的高度CD应为多少mm？、C、O在一条直线上，B、D、O在一条直线上

22.本小题10分

如图1，在矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片使点B落在AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作交BQ于点

求证：四边形BFEP为菱形；

如图2，若AP：：2时，则CQ的长是多少？23.本小题10分

如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y轴分别交于点A，

求m的值及反比例函数的解析式；

将线段AB沿x轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，求四边形的面积.

点是点C关于原点的对称点，以为边长作等边，Q点是平面上一点，若以C，Q，P，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.24.本小题8分

某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地，已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边，要留一扇2米宽的门，设AB的长为x米，矩形菜地的面积为y平方米.

请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；

如果该矩形菜地的面积为140平方米，则AB的长.25.本小题10分

如图1，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，，，过点O作，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a，O对应，E对应连接，

问题发现：当时，______，______，______；

拓展探究：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；

问题解决：当旋转至B，，三点共线时，请计算线段的长.26.本小题12分

【实践探究】

如图1，在平面直角坐标系中，正比例函数分别与反比例函数、交于点A、点B，求的值.

如图2，在平面直角坐标系中，正比例函数分别与反比例函数、交于点A、点B，求的值.

【拓展应用】

如图3，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A、点B，连结OA、OB，延长OA、OB分别与反比例函数交于点D、C，连结CD，求

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】

解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：2.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．

把要求的式子化成，再把代入进行计算即可得出答案．

【解答】

解：，

故选3.【答案】A

【解析】解：，

，

即，

故选：

先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．

本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、b、c为常数，4.【答案】A

【解析】解：两个相似多边形的面积之比为1：2，

相似比是，

又相似多角形对应高的比等于相似比，

对应边上高的比为

故选：

利用相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求得相似多边形的相似比，再由相似多边形对应高的比等于相似比即可求得结果．

本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是关键．5.【答案】A

【解析】解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法正确，符合题意；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意；

D、四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意．

故选：

根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法．即可得出答案．

本题主要考查知识点为：矩形的判定方法，即四个角相等的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形，一个角是直角的平行四边形是矩形．菱形的判定方法，即四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．正方形的判定方法，即一个角是直角的菱形是正方形，一组邻边相等的矩形是正方形．6.【答案】D

【解析】解：，，

∽，

：：AC，

又，，，

，

故选：

根据相似三角形的判定首先证出∽，然后根据相似三角形的性质得出AE：：AC，从而求出AE的长度．

本题主要考查了相似三角形的判定及性质．

有两角对应相等的两个三角形相似．

相似三角形的三边对应成比例．7.【答案】B

【解析】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，

则可列方程为，

故选：

用增长后的量=增长前的量增长率即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9100万元，即可列方程．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为8.【答案】D

【解析】解：连接OC，如图所示：

点C是线段AB的中点，的面积为3，

，

轴于点B，点C在反比例函数的图象上，

根据反比例函数比例系数的几何意义得：，

，

，

反比例函数的图象在第一象限，

故选：

连接OC，根据点C是线段AB的中点得，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，则，据此可得k的值．

此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的比例系数k的几何意义是解决问题的关键．9.【答案】，

【解析】解：移项，得，

提公因式得，，

或，

，

故答案为：，

先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．

本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，

，

，

故答案为：

根据反比例函数的图象可知时，图象的每一支上y都随x的增大而增大，由此求出k的取值即可．

本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．11.【答案】8

【解析】【分析】

本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

设黄球的个数为x个，根据概率公式得到，然后解方程即可．

【解答】

解：设黄球的个数为x个，

根据题意得：，

解得，

经检验：是原分式方程的解，

故答案为12.【答案】

【解析】解：如图，

点即为所求的位似中心．

故答案是：

根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．

本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．13.【答案】1或3

【解析】解：，

，

四边形ABCD是正方形，

，

，

又，

∽ECF，

，即，

解得或，

故答案为：1或

结合图形由，推出，根据正方形的性质得到，从而推出∽ECF，进而根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．

本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件，再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法14.【答案】5

【解析】解：根据题意得，，

所以

故答案为

利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．

本题考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，15.【答案】

【解析】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，

则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，

将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为

故答案为：

如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．

本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．16.【答案】或

【解析】解：根据题意，得，

整理得，

解得

经检验，是原方程的根，

故答案为：或

根据题意，得，整理得，解方程即可．

本题考查了解一元二次方程-公式法，解题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．17.【答案】

【解析】解：轴，，

，整理得，

，

，整理得，

与CD的距离为7，

，

，

，

故答案为：

根据得到，根据得到，再由AB与CD的距离为7，建立的等式求解即可．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．18.【答案】4

【解析】解：设，，

，

，

四边形ABCD为菱形，

，，，

，

，

，

中，，

即，

整理可得，

解得或，

当时，可得，舍去，

此时，不合题意，舍去；

当时，可得，舍去，

此时，符合题意，

；

四边形AEDF为平行四边形，

，

点F在过点D，且平行于AC的直线上，

当时，此时EF取最小值，

如图，

，

，

，

，

，

，

四边形EMDF为平行四边形，

，

▱AEDF的对角线EF的最小值是

故答案为：

设，，首先根据菱形的性质以及勾股定理，解得a、b的值，即可确定；结合题意可知点F在过点D，且平行于AC的直线上，故当时，EF取最小值，然后证明四边形EMDF为平行四边形，由矩形的性质即可获得答案．

本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，理解当时

EF取最小值是解题关键．19.【答案】解：

；

，

，

，

或，

或

【解析】首先计算立方根，负整数指数幂，绝对值和零指数幂，然后计算加减；

利用因式分解法解方程即可．

此题考查了解一元二次方程，实数的运算，熟知解一元二次方程的因式分解法，实数的运算法则是解题的关键．20.【答案】40

162

【解析】解：这次调查的总人数为人，

扇形统计图中，B类扇形的百分比是，

C类的学生人数为人，

类扇形所占的圆心角是，

补全统计图：

.

故答案为：40；；162；

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，

所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为

用A类学生人数除以所占百分比可得这次调查的总人数；用B类学生人数除以总人数得B类扇形所占的百分比；先求出C类学生人数，进而用乘以C类扇形所占的百分比即可求出C类扇形所占的圆心角；

画树状图得出所有等可能的结果数和所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．

本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21.【答案】解：问题1：由题可得，

，，

∽，

，

，

①号“E”字与②号“E字”测试的视力相同，

问题2：由可得，

，

，，，

，

，

答：②号“E”的高度CD应为

【解析】问题1：证明∽，根据相似三角形的性质可得；

问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解．

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．22.【答案】解：由折叠可得，，，

，

，

，

，

四边形BFEP是菱形；

如图：

，

在中，由勾股定理可得，

，

作，

，，

设，

，

由折叠可得，

，

在中，由勾股定理可得，

，

解得：，

，

，

【解析】根据折叠的性质得出，，，有判定定理即可证明结论；

设，根据勾股定理进行计算即可．

本题主要考查了矩形的性质，折叠变换的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．23.【答案】解：将代入可得：

，

，则

将代入

可得：

，

反比例函数表达式为；

由，当，；当，，

，，

由平移可得四边形是平行四边形，

设，将代入

中，得：

，

，则向右平移4个单位得到，

将向右平移4个单位得到，

；

是关于原点的对称点，

，

设，，

由等边可得，

解得：或，

，；

①当时，

Ⅰ、以与为对角线，

，

解得：

；

Ⅱ、以与QC为对角线，同理可得，；

Ⅲ、以与为对角线，同理可得，；

②当时，

同理可得，，，

综上所述：，，，，，

【解析】将代入可得代入

可得反比例函数表达式为

由可得，，由平移可得四边形是平行四边形，设，将代入

中得出，根据平移可得，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解；

根据关于原点对称的点的特征得出，设，，根据等边三角形的性质以及勾股定理建立方程，得出，，进而根据平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论，即可求解．

本题考查了平行四边形的性质，一次函数与反比例函数交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．24.【答案】解：由题可得：

化简可得：，

根据题意有：，

解得：，

即：，；

当时，可得，

解得舍去，，

答：AB的长为10米．

【解析】根据围栏为32米，宽AB为x米，表示出矩形长为米，根据矩形面积列出关系式，根据，墙体的最大可用长度为16米，列出关于x的不等式组，求出自变量x的取值范围即可；

根据矩形花园的面积为140平方米，即，代入二次函数解析式，列出方程，解方程，即可得出答案．

本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，函数自变量的取值范围等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25.【答案】45

55

54

【解析】解：如图所