2024-2025学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ幂函数与二次函数理

幂函数与二次函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称概念方法微思索1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．提示a>0且Δ≤0.3．函数y＝2x2是幂函数吗？提示不是．1．（2024•新课标Ⅲ）已知，，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，综上可得：，故选．2．（2024•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况加油时间加油量（升加油时的累计里程（千米）2024年5月1日12350002024年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂起先累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A．6升 B．8升 C．10升 D．12升【答案】B【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量；故选．3．（2024•浙江）若函数在区间，上的最大值是，最小值是，则A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关【答案】B【解析】函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，①当或，即，或时，函数在区间，上单调，此时（1），故的值与有关，与无关②当，即时，函数在区间，上递减，在，上递增，且（1），此时，故的值与有关，与无关③当，即时，函数在区间，上递减，在，上递增，且（1），此时（1），故的值与有关，与无关综上可得：的值与有关，与无关故选．4．（2024•上海）函数的单调递增区间是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】函数的对称轴是，开口向上，故在，递增，故选．5．（2024•新课标Ⅱ）已知函数满意，若函数与图象的交点为，，，，，，，则A．0 B． C． D．【答案】B【解析】函数满意，故函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，故函数与图象的交点也关于直线对称，故，故选．6．（2024•上海）已知，，，1，2，，若幂函数为奇函数，且在上递减，则__________．【答案】【解析】，，，1，2，，幂函数为奇函数，且在上递减，是奇数，且，．故答案为：．7．（2024•上海）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为__________．【答案】【解析】由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当时，取最小值，故答案为：．8．（2024•上海）函数在区间，上的最小值为0，最大值为1，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】，对称轴，（1），（2），，在区间，上的最大值为1，最小值为0，，，故答案为：．1．（2024•重庆模拟）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【解析】点在幂函数的图象上，，，幂函数，在上单调递减，又，，即，故选．2．（2024•三明模拟）已知幂函数在上单调递增，函数，对于随意，时，总存在，使得，则的取值范围是A． B．或 C．或 D．【答案】D【解析】幂函数在上单调递增，，解得，，当，时，，，设集合，，又当，时，，，设集合，，由题意得：，，解得：，故选．3．（2024•武昌区模拟）已知点在幂函数的图象上，设，，，则A． B． C． D．【答案】B【解析】由幂函数的定义可知，，，点在幂函数上，，，幂函数解析式为，在上单调递增，，，，，，故选．4．（2024•金安区校级模拟）已知幂函数是定义在区间，上的奇函数，设，，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】依据幂函数是定义在区间，上的奇函数，得，且，解得；，且在定义域上是单调增函数；又，，，即．故选．5．（2024•B卷模拟）已知幂函数的图象经过点，则（2）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】设，因为幂函数图象过，则有，，即，（2）故选．6．（2024•江门模拟）若函数是幂函数，且满意，则的值为A． B． C．3 D．【答案】D【解析】设为常数），满意，，．．则．故选．7．（2024•福田区校级模拟）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于A． B． C．2 D．【答案】B【解析】函数是幂函数，，解得，；令，解得，函数的图象经过定点，，解得．故选．8．（2013秋•鹰潭期末）对于幂函数，若，则，大小关系是A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】幂函数在上是增函数，图象是上凸的，当时，应有．故选．9．（2024•保定一模）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（1）A．0 B．2024 C．4036 D．4037【答案】D【解析】函数既是二次函数又是幂函数，，为偶函数；函数是上的奇函数，为定义域上的奇函数；函数，，（1）（1）．故选．10．（2024•大武口区校级三模）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】A【解析】由点在幂函数的图象上，得，即．，单调递增，又，，．故选．11．（2024•陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】A【解析】点在幂函数图象上，（2），解得，，，，，，，的大小关系为．故选．12．（2024•陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，则，，的大小关系是A． B． C． D．【答案】A【解析】点在幂函数图象上，（2），解得，，设，，，，，，的大小关系是．故选．13．（2024•西湖区校级模拟）若幂函数在上为增函数，则实数A．4 B． C．2 D．或4【答案】A【解析】幂函数在上为增函数，所以，并且，解得．故选．14．（2024•西城区模拟）函数在区间上，的最大值是A． B． C．4 D．【答案】C【解析】函数在第一象限是减函数，函数在区间，上的最大值是．故选．15．（2024•西湖区校级模拟）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是A． B．， C．， D．【答案】C【解析】幂函数的图象过点，所以，即，所以幂函数为它的单调递增区间是：，故选．16．（2024•长沙一模）已知函数，则A．，使得 B．，， C．，，，使得 D．，，，使得【答案】B【解析】由函数，知：在中，恒成立，故错误；在中，，，故正确；在中，，，，使得，故错误；在中，当时，不存在，使得，故不成立．故选．17．（2024•西湖区校级模拟）若，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．，【答案】D【解析】考察幂函数，它在，上是增函数，，，解得，，．故选．18．（2024•海南模拟）已知函数在上单调递增，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】函数的对称轴为，函数在区间上单调递增，，解得，故选．19．（2024•西湖区校级模拟）若函数在区间，上是减函数，则A． B． C． D．【答案】【解析】由，抛物线开口向上，对称轴，若在区间，上是减函数，则，即，故选．20．（2024•西湖区校级模拟）二次函数的部分对应值如表：012346006则不等式的解集是A．，， B．，， C． D．【答案】B【解析】由表格中的数据可得，，又（3），且在对称轴左边为减函数，右边为增函数，不等式的解集是，，．故选．21．（2024•西湖区校级模拟）设函数，，其中，若对随意的，，至少有一个为非负值，则实数的最大值是A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】，，依据二次函数的图象与性质可知，若对随意的，，和至少有一个为非负值，只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可，由，可得，所以，解得，所以时取得最大值为2．故选．22．（2024•静安区二模）若幂函数的图象经过点，则的值为__________．【答案】【解析】设幂函数为：幂函数的图象经过点，，；；；则的值为：．故答案为：．23．（2024•吉林模拟）是幂函数图象上的点，将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点，，且在的图象上，则__________．【答案】30【解析】由，解得．．可得：，点，，且在的图象上，．，．抛物线的焦点，，准线方程为．依据抛物线的性质可得：，则．故答案为：30．24．（2024•攀枝花模拟）已知幂函数的图象经过点，则__________．【答案】【解析】函数为幂函数，则；又函数的图象经过点，则，解得；所以．故答案为：．25．（2024•郑州二模）幂函数的图象关于轴对称，则实数__________．【答案】2【解析】函数是幂函数，，解得或；当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；当时，函数的图象关于轴对称；实数．故答案为：2．26．（2024•西湖区校级模拟）假如幂函数的图象不过原点，则的值是__________．【答案】1【解析】幂函数的图象不过原点，所以解得，符合题意．故答案为：127．（2024•黄冈模拟）已知幂函数的图象过点，，则__________．【答案】【解析】幂函数的图象过点，，，，解得，，故答案为：．28．（2024•松原模拟）幂函数的图象经过点，则__________．【答案】【解析】幂函数的图象经过点，故答案为：．29．（2024•西湖区校级模拟）已知函数的图象在，上单调递增则__________，（2）__________．【答案】0，2；8【解析】函数的图象在，上单调递增，所以，即，解得；又，且，所以，2，当时，；当时，；所以（2）．故答案为：0，2；8．30．（2024•西湖区校级模拟）若幂函数的图象过点，则（3）__________．【答案】27【解析】设，因为幂函数图象过，则有，，即，（3）（3）故答案为：27．31．（2024•西湖区校级模拟）幂函数的图象过点，则的解析式是__________．【答案】【解析】由题意设，幂函数的图象过点，（3），，，故答案为：．32．（2024•浙江模拟）已知函数，对一切，，都有，则当，时，的最大值为__________．【答案】7【解析】由题意，有得所以（1）对一切，，都有所以当时，当时，综上所述，当，时，的最大值为7．33．（2024•余姚市校级模拟）已知，若对随意的，存在，，使得成立，则实数的最大值是__________．【答案】【解析】设，，当，时，由可看作函数与函数的纵向距离，当切点与端点到直线纵向距离相等时，取得最大值的最小值，由，得，则切线方程为，过端点的平行线为，当纵向距离时，即时，纵向距离有最大值的最小值，此时纵向距离，即．故答案为：．34．（2024•江苏一模）已知函数是奇函数，若对于随意的，关于的不等式（a）恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由奇函数的性质可得，恒成立，即，故即，此时单调递减的奇函数，由不等式（a）恒成立，可得恒成立，结合二次函数的性质可知，，所以．故答案为：．35．（2024•江都区校级模拟）函