湖南省2021年普通高等学校对口招生考试数学试题

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第=page11页，共=sectionpages33页…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第=page22页，共=sectionpages22页湖南省2021年普通高等学校对口招生考试数学试题题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．已知集合，，且（）A． B．C． D．2．函数的定义域为（）A． B． C． D．3．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．4．为了得到函数的图象，只需要将的图象（）A．向上平移个单位 B．向左平移个单位C．向下平移个单位 D．向右平移个单位5．点到直线的距离为（）A． B． C． D．6．不等式的解集是（）A． B．C． D．或7．“x=1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若，则（）A． B．C． D．9．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则10．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则在抽取的高中生中，近视人数约为（）A．1000 B．40 C．27 D．20第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．已知，且为第四象限角，则____________12．已知向量，，则___________13．的展开式中常数项是______．（用数字作答）14．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________15．已知函数为奇函数，.若，则____________评卷人得分三、解答题16．已知各项为正数的等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.17．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.18．已知函数（1）画出函数的图象；（2）若，求的取值范围.19．如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：平面ACE；（2）设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积.20．已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.21．如图，在中，，点D在BC边上，且，，（1）求AC的长；（2）求的值.22．某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶车辆型号载客量（人/辆）租金（元/辆）A603600B362400学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值.答案第=page99页，共=sectionpages1010页答案第=page1010页，共=sectionpages1010页参考答案1．A【分析】直接进行交集运算即可求解.【详解】因为集合，所以，故选：A.2．B【分析】根据对数函数的真数大于即可求解.【详解】由题意可得：，解得：，所以函数的定义域为，故选：B.3．C【分析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解.【详解】函数的对称轴为，开口向上，所以函数的单调递减区间是，故选：C.4．B【分析】根据“左+右-”的平移规律判断选项.【详解】根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到.故选：B5．D【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点到直线的距离为，故选：D.6．C【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由可得：，解得：，所以原不等式的解集为：，故选：C.7．A【分析】将代入可判断充分性,求解方程可判断必要性,即可得到结果.【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件；由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件,故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.8．A【分析】根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.【详解】A.根据不等式的性质可知，A正确；B.若，，，可知B不正确；C.若，，，故C不正确；D.若，，，故D不正确.故选：A9．D【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若，，则或，故选项A不正确；对于B：如图平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确；对于C：如图在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，则，故选项C不正确；对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内，且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确；故选：D.10．D【分析】根据高中生的总人数乘以抽样比可得所抽的高中生人数，再由近视率为即可求解.【详解】由图（1）知高中生的总人数为人，所以应抽取的高中生为人，抽取的高中生中，近视人数约为人，故选：D11．【分析】首先求的值，再求.【详解】，且为第四象限角，，.故答案为：12．【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】，所以.故答案为：13．15【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得值，则答案可求．【详解】解：由．取，得．展开式中常数项为．故答案为：15．14．【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由可得，所以圆心为，由可得，所以直线的斜率为，所以与直线垂直的直线的斜率为，所以所求直线的方程为：，即，故答案为：.15．.【分析】由，得，由为奇函数得，可求得，再利用得到答案.【详解】因为，，所以，，因为为奇函数，所以，由，得，因为，所以.故答案为：6.16．（1）；（2）【分析】（1）根据条件求出即可；（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】（1）且，，（2）17．（1）分布列见解析；（2）.【分析】（1）首先求随机变量，再利用古典概型求概率；（2）根据（1）的结果求概率.【详解】（1）由条件可知，，，，所以的分布列，如下表，（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.18．（1）答案见解析；（2）【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.【详解】（1）函数的图象如图所示：（2），当时，，可得：，当，，可得：，所以的解集为：，所以的取值范围为.19．（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)连接交于点，连接，由三角形的中位线定理可知，结合线面平行的判定定理可证明平面.(2)由题意可知，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.【详解】（1）连接交于点，连接.在中，因为，所以，因为平面，平面，则平面.（2）因为平面ABCD，所以就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以，又，，所以，所以四棱锥的体积，所以四棱锥的体积为.20．（1）；（2）.【分析】（1）根据题意得，，再结合即可求得答案；（2）联立直线、椭圆方程可得两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.【详解】（1）椭圆经过点，所以，因为离心率为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）由得，解得，所以，或，可得，，或者，，所以.21．（1）（2）【分析】（1）由已知利用余弦定理直接求解．（2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解．【详解】（1），，，在中，由余弦定理得，