广东省广州市白云区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷

广东省广州市白云区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若抛物线的焦点坐标为(0，2A．y2=4x B．x2=4y C．2．已知空间向量m=(−2，1，−3)，n=(4，−1，x)，且A．3 B．2 C．−3 D．−43．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为(1，k)，则kA．−1 B．−22 C．224．椭圆x225+A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等5．若两条平行直线3x−4y+m=0(m<0)与3x+ny+6=0之间的距离是3，则m+n=（）A．−13 B．−9 C．17 D．216．过直线l：3x+y−4=0上一点P作圆O：x2+y2=4的两条切线，切点分别为AA．(B．(23，−2)C．(D．(3+7．已知双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，过FA．213 B．21 C．293 8．数列{an}满足an+2+(−1)nA．4 B．5 C．6 D．7二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知数列{an}的前nA．S3，S6，S9成等差数列 B．a3，C．数列{an}是递增数列 10．已知圆C：(x−2)2+(y−2)2A．直线l恒过定点(B．直线l与圆C相交C．直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的方程为x+y−2=0D．圆C上不存在三个点到直线l的距离等于2−11．设A，B为双曲线x2−yA．(2，0) B．(−2，4) C．12．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1B1与BAA1B1是边长为2的正方形，平面A．直线MN//平面ABCB．当a=1时，线段MN的长最小C．当a=22时，直线MN与平面BAD．当a=2时，平面MNB与平面MNB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知△ABC的三个顶点是A(5，−1)，B(1，1)，C(2，3)，则边14．正四面体A−BCD的棱长为2，设AB=a，AC=b，AD15．已知数列{an}满足a1=1，na16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，O为坐标原点，抛物线C：y2=−12x，一条平行于x轴的光线m射向抛物线C上的点A(不同于点O)，反射后经过抛物线C上另一点B，再从点B处沿直线n射出.若直线OA的倾斜角为3π4，则入射光线m四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}（1）求{an}（2）求数列{1Sn}的前18．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4（1）求直线A1C与（2）求点B1到平面CEF19．已知圆C的方程为x2（1）求m的取值范围；（2）当m=1时，求圆O：x2+y20．如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，AD=2DC=2CB=2，E为PD的中点．

（1）证明：CE//平面PAB；（2）若∠PAB=60°，求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值．21．已知数列{an}满足a1=2（1）求证：数列{1（2）设cn=1an−1，记集合{n|k≤c22．如图，在圆O：x2+y2=1上任取一点p，过点p作y轴的垂线段PD，D为垂足，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，当点p在圆O上运动时，记点M的轨迹为曲线C(当点P经过圆与y轴的交点时，规定点M与点p（1）求曲线C的方程；（2）过点T(t，0)作圆O：x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，将|AB|

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点坐标为(0，2)，所以p2=2，即p=2，

所以抛物线的方程为x22．【答案】C【解析】【解答】解：因为空间向量m=(−2，1，−3)，n=(4，−1，x)，且m⊥n，

所以-2×4+1×-13．【答案】D【解析】【解答】解：因为直线的倾斜角为π4，所以直线的斜率为tanπ4=1，

又因为直线的方向向量为故答案为：D.【分析】由倾斜角与斜率的关系先确定直线的斜率，再由方向向量求出k即可.4．【答案】D【解析】【解答】可得椭圆x225+y2椭圆x225−k+y216−k=1(k<16)的长轴长为2故两个椭圆的焦距相等.故答案为：D.

【分析】利用椭圆的标准方程结合长轴长、短轴长的定义结合椭圆的离心率公式和焦距的定义，进而找出正确的选项。5．【答案】A【解析】【解答】因为直线3x−4y+m=0与3x+ny+6=0平行，所以3n=−4×3，解得n=−4，又因为两条平行直线3x−4y+m=0(m<0)与3x−4y+6=0之间的距离是3，

解得m=21（舍去）或m=−9，所以m+n=−13.故答案为：A.【分析】根据两直线平行求出n，再由两平行线间的距离公式求出m，即可求得m+n的值.6．【答案】B【解析】【解答】解：设点P(3因为PA,PB是圆的两条切线，且∠APB=π3，所以OA⊥PA，所以|OP|=4，即3a2+(4−3a)2=4，化简可得a2−2a=0，解得a=0或故答案为：B.【分析】设P(3a,7．【答案】C【解析】【解答】解：设|AF1|=m(m>0)，则|AF2所以|AF1||AB|=又因为|BF1|−|B所以|BF1|+|AF1则|AF1|=10a3，所以|A即(10a3)故答案为：C.【分析】设|AF1|=m(m>0)，即可表示出|AB|、|BF18．【答案】B【解析】【解答】解：因为数列{an}满足an+2+(−1所以a2又因为a3−a所以a=(a解得a1故答案为：B.【分析】由数列{an}满足an+2+(−1)n9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、因为数列{an}的前n项和公式为Sn=n2则S6−S3=30−6=24≠S9C、由Sn=n2−n，当n≥2故an=2n−2，则数列B、由C选项可知：a6−a3=10−4=6=a9D、因为函数f(x)=x2−x故数列{S故答案为：BCD.【分析】根据Sn=n2−n，可求得S3，S6，S9的值，即可判断A；根据10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、直线l:(1+3λ)令3x+y−4=0x+y−2=0，解得x=1y=1，所以直线l恒过定点B、因为定点(1,1)到圆心的距离(1−2)2+(1−2)2=2<4C、圆C:(x−2)2+(y−2所以kAC=2−12−1=1，当直线l与AC垂直时直线l被圆C截的弦最短，直线lD、因为|AC|=(1−2)2+(1−2)2故答案为：BC.【分析】化简直线l方程即可求得定点坐标，再求出定点与圆心的距离，即可判断ABD；当直线l垂直于定点与圆心的连线时弦长最短，即可判断C.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：当直线AB的斜率不存在时，设为x=n，依题知n<−1或n>1，此时线段AB的中点为(n,则选项A中点满足题意，则A正确；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立y=kx+mx2−y2由题知k2−4≠0①，Δ=4k2设A(x1,y1则x1+x2=B、可得k=−2，不满足条件①，故B错误；C、可得k=1,m=3，满足条件D、可得k=−4,m=−3不满足条件故答案为：AC.【分析】考虑直线斜率不存在时，中点在x上，可判定A；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程消元后，利用韦达定理，得到中点坐标之间的关系，再根据二次项系数不等于零及Δ>0验证B，C，D即可.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：以B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：

则B(0,0,0)，A(0,2,因为BM=AN=a(设AN=λAB1,所以M(2λ,0,易知平面ABC的一个法向量为BBA、因为MN·BB1=0且MN⊄平面ABCB、|MN|=(−2λ)2+(2−2λ)2=8C、当a=22时λ=14此时MN|cosMN→,BC→|=|所以直线MN与平面BAA1B1所成角的余弦值为31010，所以直线D、取MN的中点O，连接BO,B1O,BN,B1M，因为三角形MNB与三角形所以平面MNB与平面MNB1夹角的余弦值为故选：ACD【分析】以B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.13．【答案】2x−y−1=0【解析】【解答】解：因为A(5,−1)则边AB上的高所在直线的斜率为2，又该直线过点C(2,3)，

故答案为：2x−y−1=0.【分析】根据与直线AB垂直可求得斜率，又过点C(14．【答案】8【解析】【解答】解：正四面体A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=π3，因为AB=a，AC=b，故答案为：8【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算即可.15．【答案】n⋅2n−1【解析】【解答】解：因为数列{an}满足a1=1，n所以数列{ann}是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an故答案为：n×2n−1，【分析】由已知条件，推出数列{ann16．【答案】y=12【解析】【解答】解：抛物线C:y2因为直线OA的倾斜角为3π4，所以直线OA的方程为y=−x由y=−xy2=−12x，解得则入射光线m所在直线的方程为y=1则kAF=12−由y=−43(x+18)y则反射光线n所在直线的方程为y=−1故答案为：y=12，【分析】首先得到直线OA的方程，联立直线与抛物线方程，求出A点坐标，即可得到直线m的方程，再求出直线AF的方程，联立直线AF与抛物线方程，求出B点坐标，即可求出直线n的方程.17．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由a1=b1=1，a2+b2=4，S3=6，可得（2）解：Sn=12n(n+1)，可得1【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前n项和公式建立方程组求解即可；（2）由（1）可得Sn=118．【答案】（1）解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(2，0，4)，C(0，2，0)，E(2，1，0)，F(2，0，2)，

所以A1C=(−2，2，−4)，EF=(0，−1，2)（2）解：由(1)知，B1(2，2，4)，C(0，2，0)，E(2，1，0)，F(2，0，2)，

所以CE=(2，−1，0)，CF=(2，−2，2)，CB1=(2，0，4)，

设平面CEF的的法向量为n=(x，y，z)，则【解析】【分析】(1)以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量法求解即可；

（2）由(1)的空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.19．【答案】（1）解：由x2+y2−4x+2my+2m2−2m+1=0，可得(x−2)2+(y+m)2（2）解：当m=1时，圆C为x2+y2−4x+2y+1=0，

联立x2+y2=4x2+y2−4x+2y+1=0，可得两圆的公共弦所在的直线方程为【解析】【分析】（1）将圆C的方程化为标准方程，由2m−m（2）将m=1代入，两圆方程相减，得公共弦所在直线方程，再利用点到直线的距离公式结合勾股定理计算即可.20．【答案】（1）证明：如图，

设PA中点为F，连接EF，FB，

因为E，F分别为PD，PA中点，

所以EF//AD且EF=12AD，

又因为BC//AD，BC=12AD，

所以EF//BC且EF=BC，

即四边形BCEF为平行四边形，

所以CE//BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

（2）解：如图，设AD的中点为O，连接PO，BO，

因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，

则PO⊥AD，又AD=2DC=2CB=2，CD⊥AD，BC//AD，

所以PO=OB=1，AB=2，PA=2，又∠PAB=60°，

所以△PAB是正三角形，则PB=2，

所以PO2+OB2=PB2，即PO⊥BO，又PO⊥AD，OB⊥OD，

则以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0，0，1)，A(0，−1，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，

所以PA=(0，−1，−1)，PB=(1，0，−1)，PC=(1，1，−1)，

设平面PAB的法向量为n=(x，y，z)，

则n⋅PA=0n⋅PB=0，即−y−z=0x−z=0，令x=1，则y=−1，z=1，即n=(1，−1，1)，

【解析】【分析】（1）取PA的中点M，连接BM，EM，推出四边形BCEM为平行四边形，从而得到CE//BM，即可证明；（2）取AD的中点O，连接OP、OB，即可求出PB，从而得到PO⊥OB，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法