湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在等比数列{an}中，若aA．3 B．4 C．6 D．82．已知直线l的倾斜角α满足120∘<α⩽135∘A．[−1，−3C．(−3，−1]3．已知曲线x24+A．4 B．8 C．12 D．204．若抛物线C：y2=2px(p>0)A．x=2 B．x=1 C．x=−1 D．x=−25．已知向量a=(1，−2，3)A．-6 B．-3 C．3 D．66．我国古代数学名著《九章算术》中将有三条棱互相平行且只有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍.如图，今有一刍甍，四边形ABCD为平行四边形，EF∥平面ABCD，且AB=2EF，点M在棱FC上，且2FM=MC.设AB=a，A．23a+C．56a+7．已知实数x，y满足x2A．18 B．17 C．18．已知斜率为2的直线l与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A．32 B．34 C．23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知点P(1，3)与Q(−3，1)到直线A．2x+y=0 B．x−2y−3=0 C．2x+3y−5=0 D．3x−2y+7=010．已知{an}，{bn}均是公差不为0的等差数列，a1A．b1=4 C．{anbn11．已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，直线AB过点T(2pA．|AF|的最小值为pB．以线段AB为直径的圆与C的准线相离C．△AOB的面积为定值D．OA⊥OB12．已知四棱台ABCD−A1B1C1DA．直线CD1与平面B．若直线AC1与平面BDD1B1交于点C．平面A1CDD．若点P，Q分别在直线AA1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．双曲线x2−y14．直线l：(3a−1)x+(a+2)y+a−5=0(a∈R)所过定点的坐标为15．已知公比q≠1的等比数列{an}满足a3，a9，a616．如图，已知AB，BC是圆E的弦，|AB|>|BC|，P为ABC的中点，且P在弦AB上的射影为Q，则|AQ|=|AB|+|BC|2，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知A(−3，2)，B(5四、解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．（1）已知等差数列{an}满足a（2）已知等比数列{an}的公比q=3，且a32a618．已知椭圆C：x2a2（1）求C的方程；（2）设直线y=x与C交于A，B两点，求19．已知圆C经过A(−1，2)和B(8，（1）求圆C的方程；（2）若圆C'与圆C关于直线l：2x+y=120．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB=∠ADC=90∘，且（1）证明：直线BD⊥平面PAC；（2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.21．已知在数列{an}中，a1=1（1）证明：{a（2）已知bn=an2n，求数列22．已知曲线C上的动点M满足||MF1（1）求C的方程；（2）已知直线l与C交于P，Q两点，过P，Q分别作C的切线，若两切线交于点R，且点R在直线

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：在等比数列{an}中，因为a2=1，a4=2，设公比为q，

又因为a故答案为：D.【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而建立方程组求出公比的值，再利用等比数列的性质得出等比数列第八项的值.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为直线l的倾斜角α满足120∘<α⩽135∘，

又因为k=tanα，当α=120°时，则k=-3，

当α=135°时，则k=-1，则直线l的斜率k的取值范围为(−33．【答案】B【解析】【解答】解：因为曲线x24+y2m=1(m≠0)的焦距为4，

当4>m>0时，曲线为焦点在x轴上的椭圆，

所以a2=4,b2=m,c=a2-b2=4-m,

所以，2c=24-m=4，所以，m=0（舍）；

当m>4时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，

所以a2=m,b4．【答案】D【解析】【解答】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0，

因为抛物线焦点F到直线3x−y+23=0的距离为23，故答案为：D.【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点F的坐标，再利用点到直线的距离公式得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，进而得出抛物线的准线方程.5．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量a=(1，−2，3)，b=(1，x，1)，c=(2，0，故答案为：C.【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出x，y值，从而得出x+y的值.6．【答案】A【解析】【解答】解：因为2FM=MC，得出AM=AF→+FC→3故答案为：A.【分析】利用已知条件结合向量共线定理、三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理，进而找出正确的选项.7．【答案】B【解析】【解答】解：令k=y+4x+5=y--4x--5，

则k可看作圆x2+y2−6x+1=0上的动点到点(5，-4)的连线的斜率，

因为圆x2+y2−6x+1=0的圆心为(3，0)，半径长为22故答案为：17【分析】令k=y+4x+5=y--48．【答案】D【解析】【解答】解：设斜率为2的直线l方程为y=2x+m,

因为直线l与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A，B两点，

联立二者方程，即x2a2+y2b2=1y=2x+m，整理可得b2+4a2x故答案为：D.

【分析】设出直线的斜截式方程，再联立直线与椭圆方程，从而结合韦达定理和中点坐标公式得出点M的坐标，再利用两点求斜率公式得出b29．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为点P(1，3)与Q(−3，1)到直线l的距离相等，

所以，直线l过PQ的中点或直线PQ的斜率与直线l的斜率相等，

当直线l过PQ的中点时，因为PQ的中点坐标为M1-32,3+12，

即M-1,2，所以，直线2x+y=0或3x−2y+7=0满足题意；

当直线PQ的斜率与直线l的斜率相等时，kl=kPQ=故答案为：ABD.【分析】利用已知条件结合点到直线的距离相等，得出直线l过PQ的中点或直线PQ的斜率与直线l的斜率相等，再利用中点坐标公式和直线过点的方法、两点求斜率公式，从而得出满足要求的直线方程.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为数列{an}，{bn}均是公差不为0的等差数列，所以，d1≠0，d2≠0，

又因为a1=3且an−1bn−1=23，所以，a1−1b1−1=23，则3−1b1−1=23，所以b1=4,所以A对；

根据等差数列的通项公式特征结合a故答案为：ABD.【分析】利用已知条件结合代入法得出b1的值，从而判断出选项A；利用等差数列的通项公式的结构特征和已知条件得出数列{an}，11．【答案】B,D【解析】【解答】解：设A对于A，若AF=p2,则点A与坐标原点O重合，

直线AT为x轴，与抛物线C不可能有两个交点，所以A错；

对于B，如图，设AB的中点为M，过A，B，M分别向准线引垂线，

垂足分别为A1,B1,M1,

则MM1=AA1+BB12=AF+BF2>AB2【分析】利用已知条件结合抛物线的定义、几何法、抛物线的性质、韦达定理、直线与圆的位置关系、三角形的面积公式、两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而找出正确的选项.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：根据题意，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：

对于A，由AB=AD=AA1,可知a→=1,1,1为平面A1BD的一个法向量，

又因为CD→=AD1→-AC→=-2,-1,2,所以，a→·CD1→=-2-1+2=-1≠0，

所以，a→与CD1→不垂直，即直线CD1与平面A1BD相交，所以A对；

对于B，连接AC1,A1C1,AC,设正方形ABCD的中心为O，正方形A1B1C1D1对于D，设AP→=0,0,λ，AQ→=AC→+mCD1→=2-2m,2-m,2m,其中λ，m∈R，

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，借助空间向量得到线与平面的法向量不垂直判断出选项A；借助相似三角形计算判断出选项B；由棱台和棱锥的体积公式结合作差法判断出选项C；设出点P，Q坐标结合距离公式计算判断出选项D，从而找出说法正确的选项.13．【答案】y=3x或y=−3x【解析】【解答】解：因为双曲线x2−y29=1，所以a2=1,故答案为：y=3x或y=−3x.【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点坐标，从而得出a，b的值，进而得出双曲线的一条渐近线方程.14．【答案】(−1【解析】【解答】解：因为直线l：(3a−1)x+(a+2)y+a−5=0(a∈R)，

所以a3x+y+1+-x+2y−5=0，所以，3x+y+1=0-x+2y−5=0，

故答案为：(−1，【分析】利用已知条件结合直线方程变形，从而建立x，y的二元一次方程组，进而解方程组得出直线恒过的定点坐标.15．【答案】64【解析】【解答】解：因为公比q≠1的等比数列{an}满足a3，a9，a6成等差数列，且a1≠0，

所以，2a9=a3+a6,所以，故答案为：6457【分析】利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的通项公式，从而建立公比的方程，进而解方程得出q3的值，再利用等比数列前n项和公式得出S16．【答案】x【解析】【解答】解：设圆的一般方程为x2+y2+D1x+Ey+F=0，其中D1,E,F∈R，

因为A(−3，2)，B(5，6)，所以，线段AB的长度为AB=-3-52+2-6故答案为：x2【分析】利用已知条件结合两点距离公式和阿基米德折弦定理得出BC的长，再结合两直线平行斜率相等和两点求斜率公式，进而得出C，D的坐标，再结合圆的一般方程和点代入法得出圆的一般方程.17．【答案】（1）解：设等差数列{an}则an所以3d=9，3a所以a（2）解：因为等比数列{an}的公比q=3所以a3所以S【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而建立首项和公差的方程组，再解方程组得出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式；

（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出首项的值，再结合等比数列前n项和公式得出数列{an18．【答案】（1）解：由题意知C的半焦距c=3因为离心率e=ca=b=a所以C的方程为x（2）解：联立方程得x26所以|AB|=2由对称性可知|BF所以△ABF2【解析】【分析】（1）利用已知条件结合焦点坐标得出c的值，再利用椭圆的离心率公式得出a的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，从而得出椭圆的标准方程；

（2）利用已知条件联立直线与椭圆方程得出交点A，B的坐标，再结合两点距离公式和图形的对称性，进而由三角形的周长公式得出三角形△ABF19．【答案】（1）解：根据题意设圆C的方程为(x−a)2将A(−1，2)解得a=3，因此圆C的方程为(x−3)2（2）解：因为圆C'与圆C关于l对称，所以两个圆的圆心关于l由（1）知圆C的圆心为C(3，5)，设圆C'则y0解得x0=−5，所以圆C'的方程为(【解析】【分析】（1）利用已知条件结合圆的标准方程和点代入法，从而解方程组得出圆的标准方程；

（2）利用圆C'与圆C关于直线l对称，所以两个圆的圆心关于l对称，半径相等，再利用圆的标准方程求出圆C的圆心坐标，设出圆C'的圆心坐标，再结合中点坐标公式和点代入法以及两直线垂直斜率之积等于-1，从而建立方程组得出圆C'20．【答案】（1）证明：根据题意，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，所以BD=(因此BD⋅所以BD⊥AP又因为AP∩AC=A，所以直线BD⊥平面PAC.（2）解：根据（1）知，BD=(2，因为BC=(设n=(x，y则n⋅BC=因为|cos〈所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为21【解析】【分析】（1）根据题意，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理证出直线BD⊥平面PAC；

（2）根据（1）知，BD=(2，−2，0)为平面PAC的一个法向量，再利用BC=(21．【答案】（1）证明：因为Sn=n(1+两式相减得an+1整理得(n−1)an+1=n两式相减整理得2a即{a（2）解：由条件及（1）知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以{所以bn则Tn1两式相减得1=1整理得Tn【解析】【分析】（1）利用已知条件结合Sn,an的关系式和分类讨论的方法，再结合检验法和等差数列的定义，进而证出数列{an}为等差数列；

（2）由条件及（1）知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列{a22．【答案】（1）解：因为||||MF所以曲线C是以F1所以实半轴长a=1，半焦距