数学优化训练弧度制

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1.2弧度制5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做_______________的角，以弧度为单位来度量角的制度叫_______________.答案：1弧度弧度制2。把-化成度是(）A.—960°B.-480°C。—120°D.—60°思路解析：-=-×180°=—480°.答案:B3.在半径为2cm的圆中，有一条弧长为cm，它所对的圆心角为()A。B.C.D。思路解析：设圆心角为θ,则θ==.答案：A4.已知α=—，则α是()A。第一象限角B。第二象限角C.第三象限角D。第四象限角思路解析：-=—16π+,故-与终边相同.答案：C10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1。下列各角中与终边相同的角为()A.435°B.465°C。225°D.-435°思路解析:=7×15°=105°。435°=360°+75°，465°=360°+105°，225°=360°—135°，—435°=—360°+（-75°)。答案：B2。直径为4cm的圆中，36°圆心角所对的弧长是()A.cmB.cmC。cmD。cm思路解析:l=r·α，α=36°=,r=2cm，代入计算可得l=r·α=2·=cm.答案:B3.终边在第三象限的角的集合为_______________.思路解析：在0°—360°间,终边在第三象限的角θ满足180°＜θ＜270°。由终边相同角的意义，知第三象限角α的范围可表示为k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z或2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈Z。答案：{α｜k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z＝＝｝}}或｛α｜（2k+1）π＜α＜2kπ+,k∈Z4.一时钟分针长3cm,经过20min，分针外端点转过的弧长为_______________。思路解析：分针转过的圆心角为α=·2π=，所以分针转过的弧长为l=α·r=·3=2π(cm）.答案：2πcm5.已知(4k+1）π<α<（4k+1)π+，k∈Z，试问是第几象限角?解：∵（4k+1)π＜α＜(4k+1）π+，k∈Z，则kπ+＜＜kπ+,k∈Z.当k为偶数,即k=2n，n∈Z时,2nπ+＜＜2nπ+，故为第一象限角;当k为奇数，即k=2n+1，n∈Z时，2nπ+＜＜2nπ+，故为第三象限角。综上，为第一象限或第三象限角。6.已知扇形周长是6cm，面积为2cm2,则扇形圆心角的弧度数是多少？解：设扇形半径为r，弧长为l，由解得或又由α=，所以α=4或1。7。如图1-1—1,弓形弦长AB=3cm，它所对应的圆周角为图1解：作OH⊥AB于点H.由∠ACB=，则∠AOB=，AH=，OH=tan=×=。故S△AOB=AB·OH=.OA=2·OH=，α=2π—=，故S扇形ACB=·α·OA2=××3=2π。所以弓形面积S=S△AOB+S扇形ACB=+2π（cm2）.8.已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿，小轮有20齿.（1）当大轮转一周时小轮转动的角是多少度?是多少弧度?(2）如果大轮的转速为180r/min，小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每秒转过的弧长是多少?解:（1）当大轮转一周时，小轮转=2.4周,即小轮转2。4×360°=864°，合rad。（2)大轮转速为180r/min，则小轮转速为每分180×=432r，每秒转角为432×=.故小轮周上一点每秒转过的弧长为×10.5=151.2πcm。志鸿教育乐园同理可证爸爸：“小明,考你一道题，树上有两只鸟，打死一只，还有几只？”小明：“一只.”爸爸：“笨蛋，那只鸟还不被吓跑了!再问你一道简单的问题,如果答不对，小心屁股！听着,屋里只有你一个人，现在爸爸进来了，一共有几个人？”小明：“一个."爸爸：“怎么还是一个？”小明：“我被吓跑了！”30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1。已知α=9rad，β=10rad，下面关于α和β的说法中正确的是(）A。都是第一象限角B.都是第二象限角C.分别是第二象限和第三象限角D.分别是第三象限和第四象限角思路解析:由1rad≈57°18′，故57°＜1rad＜58°.所以513°＜9rad＜522°,即360°+153°＜9rad＜360°+162°,因此9rad是第二象限角.同理，570°＜10rad＜580°，360°+210°＜10rad＜360°+220°.因此10rad是第三象限角。答案：C2.集合A={α|α=kπ+（—1)k，k∈Z}，B=｛α｜α=kπ±，k∈Z},则A与B的关系是（)A.A=BB.ABC.ABD。A≠B思路解析：A=｛α|α=kπ+（-1）k·,k∈Z}={α｜α=2nπ+，n∈Z｝∪{α|α=2nπ+，n∈Z},B={α|α=kπ±，k∈Z}={α｜α=2nπ+，n∈Z｝∪{α|α=2nπ—,n∈Z｝∪｛α|α=2nπ+，n∈Z}∪｛α｜α=2nπ+，n∈Z}.故AB。答案：B3。一条弦的长度等于半径r，则这条弦所对的圆心角及劣弧长为（）A.1，rB。,rC.,rD.,r思路解析：弦AB=r，圆心为O，△AOB为正三角形，∠AOB=60°=,故劣弧长为r。答案：B4。已知2kπ+<α〈2kπ+（k∈Z`），则为(）A.第一或第二象限角B.第一或第三象限角C。第二或第三象限角D.第三或第四象限角思路解析：由2kπ+＜α＜2kπ+，得kπ+＜＜kπ+（k∈Z）。当k为偶数时，设k=2n（n∈Z），2nπ+＜＜2nπ+，为第一象限角；当k为奇数时,设k=2n+1（n∈Z），2nπ+＜＜2nπ+π+,为第三象限角.可画图表示.答案：B5.已知角α的终边经过点P（—1,—1），则角α为()A.α=kπ+（k∈Z）B.α=2kπ+(k∈Z）C。α=kπ+（k∈Z）D。α=2kπ—(k∈Z）思路解析：由终边过点P（—1,—1），知α为第三象限角，且在(—2π,0）上,=-。故由终边相同的角，得α=2kπ-（k∈Z).选D。答案：B6.若角α是钝角，x∈｛θ|θ=k·180°+α，k∈Z｝,则x是（)A.第二象限角B。第三象限角C。第二象限角或第三象限角D。第二象限角或第四象限角思路解析：x∈{θ|θ=k·180°+α，k∈Z},当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，则x=n·360°+α，90°＜α＜180°；当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z,则x=n·360°+（180°+α),270°＜α+180°＜360°.所以x为第二象限或第四象限角.答案：D7.如果α是第三象限角，β是第四象限角,则是_______________象限角。思路解析:α是第三象限角,故2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈Z。β是第四象限角,故2nπ+＜β＜2nπ+2π，n∈Z，-2nπ-2π＜—β＜—2nπ—。所以（k—n)π-＜＜(k—n）π.令k—n=m,即mπ-＜＜mπ，把整数m分奇偶进行讨论即得。答案:第二或第四8.已知集合A={α｜α=，k∈Z}，B={α=，k∈Z且|k|≤10｝，求与集合A∩B中终边相同的角的集合。解：设α∈A∩B，则α∈A且α∈B,即存在k1∈Z，k2∈Z且|k2｜≤10，使得α=且α=。由=,即9k1π=10k2π，得k1=k2。所以或或因此α=0，—，,即A∩B=｛0，-,}.所求与A∩B中终边相同的角的集合为{α|α=2kπ，k∈Z｝∪｛α｜α=2kπ—，k∈Z｝∪{α|α=2kπ+,k∈Z}.9.如图1—1—图1解:设扇形弧长为l，半径为r,则扇形面积S=l·r.又l+2r=a，S=（a-2r）·r=—r2+ar=-（r—a）2+.故当r=时，扇形面积有最大值，Smax=。由l=a-2r=及α=，得此时扇形中心角α==2(rad）.10。已知集合A=｛α|2kπ+≤α≤2kπ+π，k∈Z}，B={α｜2kπ—〈α<2kπ+}，求A∩B和A∪B。解:利用图形,在坐标系中画出集合A和B，则A∩B=｛α|2kπ+≤α＜2kπ+，k∈Z＝，A∪B={α|2kπ-＜α≤2kπ+π，k∈Z＝.11。用弧度制表示，并分别写出：（1）终边在x轴上的角的集合；（2)终边在y轴上的角的集合.解：(1）终边在x轴上的角的集合为｛α｜α=2kπ,k∈Z｝∪｛α|α=2kπ+π，k∈Z｝={α|α=kπ，k∈Z｝.（2）终边在y轴上的角的集合为｛α|α=2kπ+,k∈Z}∪{α|α=2kπ+，k∈Z｝=｛α｜α=kπ+,k∈Z}。12。已知α、β满足≤α+β≤，-≤α—β≤-，求2α-β的范围.解:由2α—β=(α+β）+（α—β），而≤(α+β）≤，—π≤(α—β）≤—，以上两式相加即得-≤2α—β≤.13。已知一扇形的中心角是α,所