数学优化训练：7正切函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§6正切函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.函数y=tan（—x)的定义域是（）A.｛x|x≠，x∈R}B。｛x|x≠,x∈R｝C.｛x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}D.｛x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}解析：要使函数有意义，需满足—x≠+kπ（k∈Z）,所以x≠+kπ（k∈Z）,也可写成x≠+kπ（k∈Z).答案：D2.作出函数y=|tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间。解:y=｜tanx|(k∈Z)，所以其图像如图所示，单调增区间为[kπ,kπ+）（k∈Z）;单调减区间为（kπ-,kπ］(k∈Z）.3。x取什么值时，有意义?解:由题意得tanx≠0，∴x≠kπ（k∈Z)。又x≠kπ+(k∈Z）,∴x≠kπ(k∈Z）.故当x∈{x｜x≠kπ，k∈Z}时，有意义.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.函数y=tanx(≤x≤且x≠0）的值域是（)A.［-1,1]B。［—1,0）∪（0，1］C.(—∞，1］D.［—1，+∞)解析:先画出y=tanx在［,］上的图像，再根据所给的定义域结合图像研究y=tanx的值域。答案：B2。tan1，tan2，tan3的大小关系为（）A.tan1＞tan2＞tan3B.tan1＞tan3＞tan2C。tan2＞tan1＞tan3D.tan3＞tan2＞tan1解析：tan1=tan（π+1)，2、3、π+1∈(，)，因为y=tanx在(，）上是增函数，所以tan1＞tan3＞tan2.答案：B3。在区间（)范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图像交点的个数为（)A。1B。2解析：先在同一坐标系下作出函数y=tanx与函数y=sinx的图像，通过图像研究它们的交点个数。答案:C4。不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）tan167°与tan173°；（2)tan（)与tan（）。解：（1)∵90°〈167°<173°<180°，又∵y=tanx在（90°，270°）上是增函数，∴tan167°〈tan173°。（2）∵tan（)=tan(），tan（）=tan（），又∵<〈，函数y=tanx,x∈（，）是增函数，∴tan（）〈tan（），即tan（）〈tan（).5.根据正切函数的图像，写出下列不等式的解集：（1)tanx≥—1;（2）tan2x≤—1。解:作出y=tanx的图像，如图.（1）∵tanx≥—1，tan（）=-1,在(,）内,满足条件的x为≤x<,由正切函数的图像，可知满足此不等式的x的取值集合为{x｜+kπ≤x〈+kπ,k∈Z｝.(2)在（，)内,tan(）=-1.∴不等式tan2x≤-1的解集由不等式kπ〈2x≤kπ（k∈Z)确定解得<x≤(k∈Z）。∴不等式tan2x≤-1的解集为｛x｜<x≤，k∈Z}。30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1。下列函数中是奇函数的是(）A.y=-sinxB.y=｜sinx|C.y=cosx+1D.y=tanx—1解析：用定义判断函数的奇偶性.一一验证可以发现只有Ａ项的函数为奇函数.答案：A2.若tanx=且x∈（，），则x等于（)A.B。C。D。解析：由于tanx=＜0，且x∈(），即x的终边在y轴的右侧,可知x=.答案:B3.若cos(π+α）=,且α∈（,0），则tan(+α）的值为（）A.B.C.D。解析:cos（π+α）=-cosα=，∴cosα=.又α∈（，0)，∴sinα=.∴tan（+α）=cotα=.答案：A4。据正切函数的图像,写出不等式tanx≥0成立的x值的集合：________________.解析:画出y=tanx在（)上的图像。找出tanx=时的角x=，从而得出结果kπ+≤x＜kπ+（k∈Z）。答案：｛x｜kπ+≤x＜kπ+（k∈Z）5。化简：。解：原式==-1。6.已知α是第二象限角，且cos（α)=，求的值。解：原式=，∵cos（α—）=sinα=,且α是第二象限的角，∴cosα=。∴原式=。7。证明.证明：左边==，右边=，左边=右边，∴原等式成立。8。请利用单位圆中的三角函数线，完成下面两个问题:（1）当0＜x＜时，tanx与x的大小关系；(2)方程tanx=x在＜x＜内有解吗？如有，有几个解？解:(1）如图(1),x=，角x的正切线为AT,即tanx=AT,由Ｓ扇形AOP＜Ｓ△OAT，即OA·AP<OA·AT,得AP〈AT.∴tanx〉x（0〈x〈）。（2)由于y=x与y=tanx为奇函数，由（1）的结论，得当<x<0时tanx<x。又x=0是方程x=tanx的解,因此方程x=tanx在（）内有唯一的解,即x=0.9。画出函数y=tanx+|tanx|的图像，并简述其主要性质。解：∵y=tanx，当x∈(,0)时,y〈0