数学优化训练：古典概型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2古典概型2。1古典概型的特征和概率计算公式2。2建立概率模型5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.掷一颗骰子,出现3点的概率是（）A.B。3C.D.答案：C解析:发生的概率:发生事件数除以全部事件数.掷一颗骰子共有6种等可能结果，出现3点是其中的1种结果,其概率为。2.下面是古典概型的是（)A。任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B.为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件时C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D。抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止答案：C解析:A项尽管点数之和只有有限个取值：2，3,…，12,但它们不是等可能的,例如抛一次两枚都出现2点，和为4点,也可能是1点,3点或3点，1点,其和都为4点,共3种情况,但点数和为2的只有一种情况是1点，1点。B项尽管各个正整数被取到是等可能的，但正整数有无限多个。C项只有n个等可能的结果.D项可能结果(即抛掷次数可能取值）是无限多的.故选C项.3。盒中有10个铁钉，其中8个是合格的,2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（）A。B。C.D。答案:C解析:从盒中取一个铁钉包含基本事件总数为10,其中抽到合格铁钉(记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）=。4.从1,2,3，4，5五个数字中,任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全相同的概率为（）A。B.C。D。答案：D解析：从这5个数字中任意有放回地连续抽取三个数字有53种抽法，三个数字完全相同的抽法有5种,所以要求的概率为.5.利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生，其中戴眼镜的同学有123人,若在这个学校随机调查一名学生,则他戴眼镜的概率是____________.答案：61.5％解析:简单随机抽样是等可能抽样，所以每个个体被抽到的概率相同,即=61.5%。10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.某小组共9人,分得一张演出的入场券，组长将一张写有“得票”字样和写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽取一张，以决定谁得入场券,则（）A。第一个抽签者得票的概率最大B.第五个抽签者得票的概率最大C。每个抽签者得票的概率相同D.最后抽签者得票的概率最小答案:C解析：得票根据古典概型的基本特征可知“每个抽签者得票的概率相同”，此即抽签具有公平性原则.因为抽签法是简单随机抽样，所以是等概率抽样，故选C项。2.掷两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率为（）A.B.C.D。答案：C解析:掷两颗骰子,每颗骰子可能的结果有6种,所以共有36个基本事件.事件“点数之和为6”包含的基本事件有（1，5),（2，4)，(3，3），（4，2)，（5，1）共5个，因此其概率为。3。在一次问题抢答的游戏中，要求找出每个问题所列出的4个答案中唯一正确的答案。其抢答者随意说出了其中一个问题的答案，这个答案恰好是正确答案的概率为（）A.B.C。D。答案:B解析：抢典答者从4个答案中随意说一个是等可能的，由古典概型计算公式即得解。4.中央电视台“幸运52"栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，规则如下:在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻)，某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（）A。B。C。D。答案：C解析：共5个奖，前两次已翻出两个,所以余下的18个商标牌中只含有3个奖。由于每次翻牌是等可能的,所以由古典概型的概率计算公式，可得概率为.故选C项.5。抛掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M：“一次正面向上，一次反面向上”；事件N：“至少有一次正面向上”。则下列结果正确的是（)A.P（M)=,P(N）=B.P（M）=，P(N）=C。P(M）=,P(N)=D.P（M)=，P(N）=答案：D解析：抛掷一枚均匀的硬币两次的基本事件共有四个:（正,正），(正,反）,(反,正)，（反,反)，M包含的基本事件为(正,反）,(反,正）,N包含的基本事件为(正,正)，（正，反），(反,正),故P（M）=,P（N)=.6.某国际科研合作项目由两个美国人、一个法国人和一个中国人共同开发,现从中随机选出两人作为成果发布人,选出的两人中有中国人的概率是多少?解:两个美国人分别用美1和美2表示，这个试验的基本事件共有六个：（美1，美2)，(美1，法)，(美1,中）,(美2,法),（美2,中),(法,中),记事件A=“选出的两人中有中国人”，则P（A）=。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1.一个均匀的正方体玩具各个面上分别标有数字1,2，3,4，5，6，将这个玩具先后抛掷2次，则向上的数之和是5的概率是（）A。B.C.D。答案:A解析：第一次抛掷有6种不同的结果，第二次抛掷又有6种不同的结果,共有36种不同的结果。向上的数的和为5的可能情况有4种，分别是（4，1)，(1，4），（2,3),(3，2），故所求概率为P（A)=。2.有100张卡片(从1号到100号）,从中任取1张,取得卡号是7的倍数的概率为（）A。B。C。D。答案：A解析：有100张卡片（从1号到100号)，从中任取1张，有100种取法，而卡号是7的倍数的有14张,所以概率为。3。从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（)A.B。C。D。1答案:C解析：这里所有的基本事件为:甲、乙;甲、丙；乙、丙，即基本事件共有三个.甲被选中的事件有两个，按等可能性事件的概率,有P(甲)=.故选C项。4。假设一对夫妇生育男孩或女孩的概率均为0.5,且两次生育的概率互不影响,则这对夫妇前两胎生育都是男孩的概率是（)A。0.5B。0.25C。0.75答案：B解析：所有基本事件数为:（男，男）,（男,女）,（女，男），（女,女）,∴两胎都生男孩的概率为.5.在分别写有1、2、…、9的9张卡片上任意抽取一张，则抽得卡片上的数字能被3整除的概率是（)A.B。C。D.答案：D解析：从9张卡片中任取一张有9种不同的取法，其中3的倍数有3、6、9三个数,所以抽得卡片被3整除的概率为.6。（2007广东高考,文8)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4，5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(）A。B。C.D.答案：A解析：5个小球随机取2个的方法有10种,即基本事件有10个：(1,2),（1，3),（1,4),(1，5），(2，3),(2,4），（2，5）,(3,4），(3，5），（4，5)。数字之和为3的只有一个(1,2),数字之和为6的有两个：(1,5）(2，4），∴所求概率为。故选A项。7。若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点Q的坐标，则点Q在圆x2+y2=16内的概率为___________.答案：解析:基本事件总数为6×6=36,记事件“点Q在圆x2+y2=16内"为A，则A所包含的基本事件有（1，1),（2，2），（1，3），（1，2),（2，3），（3,1），(3，2），（2,1）共8个，所以P（A）=。8。同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4，5,6),则:（1）求朝上的一面数相同的概率;（2)求朝上的一面数之积为奇数的概率.解:由题意知：基本事件总数为6×6=36种不同的结果,每一结果都是等可能的出现。(1)其中朝上的一面的数相同的结果有6种：(1，1),(2，2）,(3,3),(4，4）,(5,5）,(6，6），故所求事件的概率是P=。（2)朝上的一面数之积为奇数,当且仅当两个正方体朝上的一面的数都是奇数,其可能出现的结果数为：P==。9.已知集合M=｛-2,3｝，N=｛—4，5,6｝，两个集合中各取一个元素作为点的坐标，该点为第二象限点的概率为多少？解:由题知:从M、N中各取一个元素作为点的坐标，基本事件共有12个：(—2,-4），(-2，5),（—2，6)，（3，—4），（3,5），(3,6）,（-4，—2)，（—4,3），（5，-2)，(5,3）,(6,-2),(6,3)，设点为第二象限内的点为事件A，则A={(-2,5）,(—2,6),（—4,3）},包含3个基本事件，所以该点为第二象限内点的概率为P==。10.袋子中有3个形状相同但是颜色不同的球，分别是1个红球，1个蓝球和1个黄球，如果每次从袋子中取出1个球，连续取2次,其中1个是黄球的概率为多少？（分取出后放回与不放回两种情况）解：(1）不放回抽取：解法一:共有6种结果：（红,蓝）,(红，黄），（蓝，红），（蓝，黄)，（黄，红），(黄,蓝）.其中满足题意的只有4种，即(红，黄），(蓝,黄）,（黄,红），（黄，蓝），所以所求的概率为.包含3个基本事件,分别为（红，蓝)、（红，黄）、(蓝，黄)。其中事件A表示“其中1个是黄球”包含2个基本事件：（红，黄）、（蓝黄),故P（A）=.（2)放回抽取：共有9种结果：（红，红），（红，蓝),(红，黄）,(蓝，蓝)，（蓝，红），（蓝，黄）(黄，黄），(黄,红）,(黄，蓝）；其中满足题意的有（红，黄），（蓝、黄），(黄，红），（黄，蓝）4种，所以所求的概率为。综上可知：含有1个黄球的概率为或。2.3互斥事件5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.对于对立事件和互斥事件,下列说法正确的是(）A.如果两个事件是互斥事件，那么这两个事件一定是对立事件B.如果两个事件是对立事件,那么这两个事件一定是互斥事件C。对立事件和互斥事件没有区别，意义相同D.对立事件和互斥事件没有任何联系答案:B解析：对立事件必是互斥事件,互斥事件未必是对立事件.2。从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（）A。至少有1个黑球与都是黑球B.至少有1个黑球与至少有1个红球C.恰有1个黑球与恰有2个黑球D.至少有1个黑球与都是红球答案：C解析:设A=“恰有1个黑球”,B=“恰有2个黑球”。事件A与B不可能同时发生,因此事件A与B互斥。但是A与B也有可能都不发生,因此A与B不对立;至少有1具黑球与都是黑球既不互斥也不对立；至少有1个黑球与至少有1个红球既不互斥也不对立;至少有1个黑球与都是红球对立也互斥.3.把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌"是(）A。对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对答案:C解析：只有一张红牌,甲、乙不能同时分得，所以互斥。但有可能甲、乙都没分得红牌,而丙、丁中一人获得，所以不对立.4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0。28,那么摸出黑球的概率是_____________.答案:0.3解析：事件“摸出黑球”的对立事件为：“从中摸出1个球是红球”或“从中摸出1个球是白球”，根据对立事件的公式，摸出黑球的概率:1—0.42—0。28=0。3。10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1。若事件A、B互斥，那么（）A.A∪B是必然事件B.∪是必然事件C.与一定互斥D。与一定不互斥答案：B解析:用集合表示法中的韦恩图解释.2。一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.两次都不中靶D。只有一次中靶答案：C解析：连射两次有3种结果：“两次全中”“恰有一次中"“两次都未中”.“至少一次中”包括前两种情况,所以“两次都不中靶"与“至少一次中靶"既互斥又对立，所以选C项.3。从一批产品中取出3件产品，设M=“三件产品全不是次品”,N=“三件产品全是次品”，Q=“三件产品不全是次品"，则下列结论正确的是（）A.M与Q互斥B。N与Q互斥C.任何两个均互斥D.任何两个均不互斥答案：B解析：C项包含三件产品中“三正"“二正一次"“一正二次”三种情况.4。某射手一次射击中,击中10环、9环、8环的概率分别是0。24、0。28、0.19,则该射手在一次射击中不够9环的概率是(）A.0.29B。0.71C答案:D解析:记该射手击中10环、9环的概率分别为A、B。则该射手在一次射击中不够9环的概率P=1-P(A）-P(B）=0.48。5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0。3，两人下成和棋的概率为0。5，那么甲不输的概率是____________。答案：0.8解析：事件“甲不输”包括互斥事件“甲获胜”与“两人下成和棋”，根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率:0.3+0.5=0.8。6.某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示：年降水量（单位：mm）［100，150）［150,200）［200，250）［250，300）概率0。120。250。160.14(1）求年降水量在[100，200）（mm）范围内的概率;(2）求年降水量在［150,300）（mm）范围内的概率.解：（1）记这个地区的年降水量在［100，150)、［150，200）、［200，250)、［250,300）（mm）范围内分别为事件A、B、C、D.这4个事件是彼此互斥的。根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在［100,200）（mm）范围内的概率是P(A+B)=P（A）+P（B）=0。12+0。25=0。37。(2）年降水量在［150，300)(mm)内的概率是P(B+C+D）=P(B）+P（C)+P（D)=0。25+0.16+0.14=0.55.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.一箱机器零件中有合格品4件,次品3件,从中任取2件，其中事件:①恰有1件次品和恰有2件次品;②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件合格品和至少有1件次品;④至少有1件次品和全是合格品.四组中是互斥事件的组数是（）A.1组B.2组C.3组D.4组答案：B解析：①互斥，②不互斥,③不互斥，④互斥且对立,所以①④互斥,选B项.2.某人射击一次,设事件A：“中靶”；事件B：“击中环数大于5”；事件C：“击中环数小于5”;事件D：“击中环数大于0且小于6”,则正确的关系是（）A.B与C为互斥事件B.B与C为对立事件C.A与D是互斥事件D。A与D为对立事件答案：A解析：“击中环数大于5”的对立事件是：“击中环数不大于5”，它包括事件“击中5环".3。一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）A.B.C。D。答案:B解析:记事件“转盘指针分别落入红、黄、蓝、黑区域”分别为A、B、C、D，则它们两两互斥.∵P（A)=，P(C)=,∴P（A+C)=P（A）+P(C）=.4。盒子里有大小相同的3个红球，2个白球，从中任取2个，颜色不同的概率是（）A.B.C.D.答案：C解析：给球编号画树状图.由树状图,易知共有20种不同结果,其中颜色相同的有8种，因此颜色不同的概率为.5.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需车的概率为（）A.0。20B。0。60C答案：C解析:记乘客“乘3路车"的事件为A，“乘6路车"的事件为B，则P（A）=0。20，P（B）=0.60,∵A与B互斥，∴由概率加法公式知，乘客乘上所需车的概率为P(A+B）=P(A）+P（B)=0.20+0。60=0.80.故选C项。6。从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4。8g的概率是0.3,质量不小于4.85g的概率是0。32，那么质量在[4.8，4。85）g范围内的概率是_____________.答案：0.38解析：设事件A=“质量小于4.8g的羽毛球"，B=“质量在［4.8,4.85）g范围内的羽毛球”，C=“质量不小于4。85g的羽毛球”.则A、B、C互斥,且A+B+C=Ω,所以P（Ω)=P（A+B+C），即1=0.3+P(B）+0。32,所以P（B）=0.38。7.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0。025，炸中第二、三军火库的概率各为0。1.只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率.解：设A、B、C分别表示炸中第一、第二及第三军火库这三个事件，已知P(A）=0。025，P（B）=P(C）=0。1,又设D={军火库爆炸},则D=A+B+C，其中A、B、C是互不相容事件，即互斥事件(因为只投掷了一枚炸弹，故不可能同时炸中两个以上的军火库),故由加法定理有,P(D）=P（A+B+C）=P(A)+P（B）+P(C)=0.025+0.1+0。1=0。225.8.射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0。24、0。28、0.19、0.16、0。13，计算这个射手在一次射击中:（1）射中10环或9环的概率;(2)至少射中7环的概率；（3)射中环数不足8环的概率.解:设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环"“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E,则A、B、C、D、E是彼此互斥事件，用概率的加法公式求得:（1）P(A+B）=P（A)+P（B)=0.24+0.28=0。52，所以射中