数值分析方法 课件 5-2 非线性方程组的数值解

数值分析方法主编

李冬果李林高磊面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材第五章非线性方程的数值解法目录/Contents5.1-1非线性方程的近似求根

5.2非线性方程组的数值解

5.3非线性方程近似求根计算机实验

5.1-2非线性方程的迭代法的加速5.2非线性方程组的数值解非线性方程组的数值解法在实际问题中有广泛的应用，特别是在许多工程问题、经济学问题、数学建模、动力学问题等方面，经常会遇到求解如下多元非线性方程组：（1）方程组（1）可表示成向量方程（1）（2）

通常非线性方程组（1）的数值解法主要包括两种方法：

区间迭代法和不动点算法1.不动点迭代法把方程组(2)改写成下面便于迭代的等价形式：（3）连续函数.则的不动点，是迭代函数即满足)(),(****xxxxxGG=的是自变量,,,21xxxnL收敛，若由此生成的序列是连续的,即且)(,),(),()(21xxxxnGGKGG的解。是方程组从而*x（2）且有误差估计式（5）定理的证明较为复杂，我们将略去其证明。例5.2.1设有非线性方程组（6）把它写成等价形式

由此构造不动点迭代法公式（7）解从而取初始点，由迭代公式（7）计算结果如表，可见迭代收敛到方程的解2.Newton迭代法对于非线性方程组，也可以构造于一元方程的Newton迭代法。

在用多元函数泰勒展开，并取其线性部分，则可表示为令上式右端为零，得到线性方程组（8）（9）若矩阵非奇异，则由使（8）右端为零的向量作为新的一个近似值，记为，于是得到Newton迭代格式（10）如果写成一般不动点迭代的形式，则Newton迭代函数为

（11）事实上，在实际计算过程中由于矩阵的逆求解十分耗时，因此通常通过求解线性方程组来替代.如第k步可令先解线性方程组其中包括了计算向量及Jacobi矩阵.例5.2.2用Newton法解例5.2.1的方程组解

对该方程组有取初始向量，解方程组，即求出后，。同理计算结果如表，可见迭代4次可得精确解，显然Newton法的收敛速度比例5.2.1中的迭代法要快的多。k0123400.800.9917872210.9999752291.0000000000.880.9917117370.9999685241.00000000例5.2.3用牛顿法解方程组解先计算Jacobi矩阵由Newton迭代格式（10）得取初始值，则迭代6次可得精度为

=10-6的解

(3.000000，2.645751)T.解线性方程组例5.2.4用修正牛顿法解方程组在附近的解.解先计算Jacobi矩阵从出发计算解线性方程组，即，得于是得新的近似值为反复迭代结果如下：修正牛顿法的每一步迭代所用的计算时间较少，但迭代的收敛速度减低.为了提高收敛速度，可以在求出后，引入修正因子

i(

i为大于1的正数)，对求出的新解采用进行修正.3.最速下降法最速下降法又称梯度法.由著名数学家Cauchy于1847年提出.该方法是求解n元函数无约束最小化问题的一种重要解析方法，用于求解实系数非线性方程组(1)的一组根.该方法使用函数的梯度（一阶导数）或Hesse矩阵（二阶导数）对算法进行优化.即在射线进行搜索，（14）最速下降法计算步骤如下：例5.2.5用最速下降法求解问题：取初始值为.解(1)目标函数的梯度函数为由得令

，(2)从初始值出发进行一维搜索：t为最优步长，则有（3）从出发进行第二次迭代，计算令，则有故（4）进一步从