等差数列的前n项和公式 教学设计

课程基本信息课题等差数列的前n项和公式授课课教师教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册（A版）出版社：人民教育出版社教学目标1.课程目标(1).掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(2).掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(3).掌握等差数列的前n项和的简单性质．2.素养目标(1).数学抽象：等差数列前n项和公式(2).逻辑推理：等差数列前n项和公式的推导(3).数学运算：等差数列前n项和公式的运用教学重难点1.教学重点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.2.教学难点：等差数列的前n项和公式的推导教学过程时间教学环节主要师生活动一、数学史引入教师介绍高斯的故事.问题1计算1＋2＋3＋…＋100的值.意图：引出高斯首尾配对的方法.追问：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.意图：探究高斯方法简化运算的本质原因，即通过等差数列的性质，将不同数求和问题转化为相同数求和的问题，从而用乘法运算简化了求和运算.二、层层递进，推导公式问题2你能用上述方法计算1＋2＋3＋…＋101吗？意图：为后续研究一般性问题时对项数奇偶进行讨论的方法做铺垫.预案：1＋2＋3＋…＋101＝(1＋101)＋(2＋100)＋…＋(50＋52)＋51＝102×50＋51＝5151追问：你还能想到其他方法吗？预案1：1＋2＋3＋…＋101=(1+101)+(2+100)+(3+99)+…+(50+52)+51=50×102+51=5151预案2：1＋2＋3＋…＋101=(1+2+3+…+100)+101=5050+101=5151问题3计算1＋2＋3＋…＋n.意图：这个问题既是问题1和问题2的推广，又是等差数列的一个特殊情形，为进一步解决一般等差数列的求和问题做铺垫；同时，在对项数分奇偶讨论之后，学生会发现结论的一致性，这可以引发进一步的思考，从而发现倒序求和的方法；此外，这个问题又是一个常用的结论，对于公式（2）的推导也可以用到这个结论.问题4不分类讨论能否得到最终的结论呢？意图：引导学生将公式变形，通过变形之后的等式的意义，构造对应的计算方法，得到倒序求和的方法.追问：你能说说这种方法巧妙在哪里吗？意图：总结不等数求和转化为相等数求和的倒序求和的方法.活动：引导学生从几何上体会倒序求和的方法.问题5倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢？意图：应用倒序求和的方法求一般等差数列的前n项和，得到公式（1）.三、公式(1)的理解和简单应用1.作用1：已知，n，a1和an，求Sn.追问：你能用文字语言表述这个公式吗？意图：由文字语言的表述，提炼利用公式（1）求等差数列的前n项和所需要的条件，即a1，an和n.练习：在等差数列{an}中，a1＝7，a50＝101，求S50.解：根据公式（1）S50=2.作用2：已知Sn，n，a1和an中任意3个，求第4个.3.变形理解：等差数列前n项的平均值等于首项与第n项的平均值.四、公式(2)的推导与应用问题6能不能用a1和d来表示Sn呢？意图：希望学生能够利用公式(1)和等差数列的通项公式推出公式(2).追问：如果不利用公式(1)的结论，你还有其他方法得到公式(2)吗？意图：从数列前n项和的定义出发，将每一项用首项和公差表示，再分组求和.活动：类比公式(1)的应用，分析公式(2)的应用. 意图：作用1：已知a1，d和n，求Sn.作用2：已知Sn，n，a1和d中任意3个，求第4个.练习：在等差数列{an}中，a1=12，d=−16，Sn＝－解：把a1=12，d=−16,Sn=−5，代入−5=12n+n2n=12或n=−5意图：结合等差数列的通项公式，从方程角度分析可以解决的问题，体会方程思想.五、综合应用例1已知数列{an}是等差数列，其前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?解：由题意，知S10=310,把它们代入公式

Sn=n得10a1意图：体会首项和公差对等差数列的确定作用，总结解决等差数列问题的基本量法，并从方程角度理解确定一个等差数列所需的条件数.课堂练习某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S由S20=20a1+因此，第1排应安排21个座位。意