点到直线的距离公式（1课时）教案

第二章直线和圆的方程2.3.3点到直线的距离公式（1课时）【教学内容】点到直线的距离公式，及推导和应用．【教学目标】1．利用坐标法推导并掌握点到直线的距离公式，培养和提高数形结合、数学运算能力；2.利用向量法推导点到直线的距离公式，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法和坐标法的差异，培养数学运算、逻辑推理素养；3．能利用点到直线的距离公式，解决一些简单问题，培养数学运算、问题转化能力．【教学重难点】教学重点：点到直线的距离公式；教学难点：点到直线的距离公式的推导．【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）上节课我们研究两点间的位置关系，得到两点间的距离公式.今天我们来研究点与直线的位置关系.我们知道，在解析几何中，点在直线上，则满足直线方程.如果点不在直线上，还可以研究点到直线的距离.在就是我们今天要学习的内容——点到直线的距离公式.热身练习：点P(−1,2)到直线x=2的距离是_____.点P(−1,2)到直线y=1的距离是_____.答：通过作图，能作出点P到直线l的距离即点P到直线的垂线段的长度，分别为3和1.追问:那么点P(−1,2)到直线2x+y−10=0的距离呢？问题1：如图，已知点，直线，如何求到直线的距离？分析：要求点到直线的距离，即求点与垂足间的垂线段距离.追问1：如何求出的距离？利用两点间距离公式，确定，点的坐标.其中，点坐标已知.只需求的坐标.追问2：如何求出点的坐标？点是直线与垂线的交点，所以联立两条直线方程求交点坐标.追问3：如何求垂线的方程？已知一点，当斜率存在时，求出的斜率，即可写出的点斜式方程.斜率不存在时，方程为x=x0追问4：如何求垂线的斜率？垂线与直线垂直，直线的斜率为，可得垂线的斜率.由此，求得垂线方程为，整理得.解方程组：将（1）×A+（2）×B得，整理得.同理可得则.利用两点间距离公式通分，原式由此，求得点到直线的距离.问题5：公式有什么结构特征？公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符.这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正.分母则是未知数系数的平方和再开根.从向量法的推导过程中，我们也能发现实际是与已知直线垂直的方向向量的模.问题6：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?如图，点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的.追问7：点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？设M(x,y)是直线上的任意一点，是在直线方向上的投影.追问2：的模投影向量的模？，其中n是与直线的方向向量垂直的单位向量.追问8：如何利用直线方程得到与直线的方向向量垂直的单位向量n呢?因为直线的一个方向向量为(−B,因此，由向量的数量积运算可求得与直线垂直的一个方向向量为(A,B)，由此，与直线垂直的单位向量.由此便可计算的长度.因为，其中，所以(5)因为M(x,y)在直线上，则.代入(5)式整理得.问题9:除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗?构造直角三角形，过点P作与x,y轴平行的直线交于点S、R，典型例题讲解：例1.求点到下列直线的距离.（1）2x+y−10=0.（2）3x=2(1)根据点到直线的距离公式得（2）先将直线化为一般式3x−2=0，再代入点到直线公式得例2.已知的三个顶点分别是，求的面积.解：如图，设边AB上的高为h，则.边AB上的高就是点到直线AB的距离.边AB所在直线的方程为，即.点到直线的距离.因此，.追问10:你还有其他方法吗？答：割补法求三角形面积，构造方法不唯一.课堂小结：1．本节课，我们学习了点到直线的距离公式，它是解析几何中非常重要的一个公式.推导公式中完整介绍了两种方法：第一种方法是坐标法，将点到直线距离转化为两点间的距离，由两点间的距离公式得到结论，这种方法思路自然但运算复杂；第二种方法是向量法，运用向量的投影和数量积运算进行推导，虽然运算量不大，但是需要一定的整体观和构造技巧.2．能利用点到直线的距离公式，解决数学问题，注意运用公式前，将直线方程化为一般式.答疑课程：问题1：本节课我们学习了什么？答：本节课的核心就是点到直线的距离公式.即点到直线的距离为.问题2：如何证明这个公式？答：我们采用三种方法推导：1、坐标法（求垂足Q的坐标）2、向量法3、等面积法除了这三种证明方法，你还有没有其他的想法？请同学们课后思考？问题3：坐标法和向量法各有特点，说一说你的体会？答：坐标法是解析几何问题中最本质的方法，都是通过点的坐标建立方程再计算获得结论.第二种坐标法采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算.向量法利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式。这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识.问题4：公式怎么记忆呢？答：公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正.分母则是未