2024北京燕山初三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京燕山初三（上）期中数学考生须知1．本试卷共7页，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷、答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．3．选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹笔作答．4．所有试题均在答题卡上作答，在试卷上作答无效．一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.二次函数的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.如图，将绕点O逆时针旋转30°得到，则＝（）A.30° B.60° C.70° D.90°4.一元二次方程的解是（）A. B.C. D.5.已知，则代数式的值为（）A.2 B. C.3 D.6.用配方法解方程，下列配方正确的是（）A. B. C. D.7.已知抛物线，其中，．下列说法正确的是（）A.该抛物线经过原点B.该抛物线的对称轴在轴左侧C.该抛物线的顶点可能在第一象限D.该抛物线与轴必有公共点8.如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（）A.正比例函数关系，一次函数关系 B.正比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，正比例函数关系 D.一次函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.点关于原点的对称点的坐标为________．10.若关于的一元二次方程有实数根，写出的一个值可以是________．（写出一个即可）11.在函数中,当x＞1时,y随x的增大而___．（填“增大”或“减小”）12.写出一个二次函数，使其满足：开口向下且过点，这个二次函数的解析式可以是________．（写出一个即可）13.已知抛物线上有两点和，则________．（用“”，“”，“”填写）14.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为________．15.如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是________．16.某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．三、解答题（本题共68分，第17题~第22题，每题各5分；第23题~第26题，每题各6分；第27题~第28题，每题7分）17.解方程：．18.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A与点D对应，点B与点E对应．（1）依题意补全图形；（2）直线AB与直线DE的位置关系为___________．19.已知是方程的根，求代数式的值．20.已知二次函数．（1）在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点____________该函数的图象上（填“在”或“不在”）．21.如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，交于点F．若，求的长．22.在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标．23.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围．24.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数25.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出关于原点对称的；（2）求出的面积．26.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．27.如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．28.定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．图①图②图③（1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象；（2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；D．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意．故选：D．2.【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案．【详解】解：二次函数顶点坐标为．故选：D．3.【答案】B【分析】根据旋转图形的定义，可得，结合已知条件，算得．【详解】解：∵绕点O逆时针旋转30°得到，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了旋转角的定义，确定相关的旋转角是解题的关键．4.【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，即可．【详解】解：∵，∴或，∴；故选A．5.【答案】B【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再代入到进行计算即可得．【详解】解：∴∴则，故选：B．6.【答案】C【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据，配方得进行作答即可．【详解】解：，，，故选：C．7.【答案】C【分析】根据函数的图象与系数的关系，需要对题中所给的，，进行分类讨论，也可以画出它的草图，然后根据图象解答即可．【详解】解：A、∵，∴该抛物线与轴的交点在轴上方，不经过原点，∴此选项说法错误，不符合题意；B、∵，∴与异号，∴，∴该抛物线的对称轴在轴右侧，∴此选项说法错误，不符合题意；C、由已知可得抛物线顶点为，已知，所以顶点可能在第一象限，第四象限或者轴上，∴此选项说法正确，符合题意；D、令，则，∴，而无法判断其正负情况，∴不能判断抛物线与轴必有公共点，∴此选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数各项系数对其图象的影响，对已知条件进行分类讨论是解决问题的关键．8.【答案】D【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可．【详解】解：由题意，，，则，则，，∴与满足一次函数关系，与满足二次函数关系，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”是解题的关键．【详解】解：关于原点的对称点的坐标为，故答案为：．10.【答案】1（答案不唯一）【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．根据非负数的性质可得当时，一元二次方程有实数根，于是只要使c的值为负数即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，∴的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．11.【答案】增大【分析】根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而增大，可得到答案．【详解】由题意可知:函数,开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为，∴当时，y随的增大而增大，故答案为：增大．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键．12.【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查构造二次函数．根据开口向上，得到，与y轴交于点，得到，进行构造即可．【详解】解：设抛物线的解析式为，∵抛物线的开口向下，与y轴交于点，∴，，∴二次函数可以为：；故答案为：（答案不唯一）13.【答案】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．【详解】解：将和代入得，，∴．故答案为：．14.【答案】【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解题的关键．利用矩形的性质以及旋转变换的性质得到，，进而求解即可．【详解】解：如图：四边形是矩形，点，，，，由旋转变换的性质可得：，，在第二象限，，即旋转后点的对应点坐标为-2,3．故答案为：-2,3．15.【答案】【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合．由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可．【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，∵图象交于点，点，∴当时，，故答案为：．16.【答案】①.2∶3②.【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：，解得：，∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，∵加工时间相同，∴，解得：，∴；故答案为，．【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17题~第22题，每题各5分；第23题~第26题，每题各6分；第27题~第28题，每题7分）17.【答案】【分析】用因式分解法求解即可．【详解】解：或∴【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．18.【答案】（1）见解析（2）AB⊥DE【分析】（1）直接根据旋转的性质作图即可；（2）如图：延长交于点F，然后根据旋转的性质可得，然后根据对顶角相等并结合即可解答．【小问1详解】解：如图即为所求：．【小问2详解】解：延长交于点F由旋转可得:,∵,∵∵，∴,∴，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解答本题的关键．19.【答案】7【分析】根据方程解的定义得到，再根据进行求解即可．【详解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．20.【答案】（1）作图见解析（2）不在【分析】（1）利用五点法作图即可；（2）把代入函数解析式求得函数值即可判断．【小问1详解】解：如图，x0123y3003【小问2详解】解：把代入函数解析式得，，∴不在函数图象上，故答案为：不在．【点睛】本题考查画二次函数图象及二次函数图象上点的坐标，利用描点法作出函数图象是解题的关键．21.【答案】【分析】利用旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴是等腰直角三角形．∴．【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．22.【答案】（1）（2）对称轴为直线，顶点为【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及顶点坐标和对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）运用待定系数法求解即可；（2）配方成即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线经过和两点，，解得：，∴解析式为：；【小问2详解】解：，∴对称轴为直线，顶点为．23.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论；（2）先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2，然后求解不等式即可解答．【小问1详解】证明：由题意，．∴该方程总有两个实数根．【小问2详解】（2）解：解方程，得：，．∵方程有一个实数根小于2，∴．∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根．24.【答案】6【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】（1）图形见解析（2）【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征，能够利用关于原点对称的点的坐标的特征作出，并灵活运用‘割补法’求出其面积是解决本题的关键．（1）利用关于原点对称的点的坐标特征：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为．求得，，即可作出．（2）利用“割补法”构造梯形，则的面积梯形的面积，即可求出的面积．【小问1详解】如图，即为所求．【小问2详解】解：如图，构造梯形．由平面直角坐标系中图形可知：，，，．．26.【答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了二次函数的性质（1）依据题意，若，从而对称轴是直线，进而可以得解；（2）把，代入解析式，根据得出的取值范围．【小问1详解】解：由题意，若