2024北京一七一中初三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京一七一中初三（上）期中数学（时长：120分钟总分值：100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列事件中是不可能事件的是()A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.水中捞月 D.百步穿杨2.下列图形中，属于中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.若关于x的方程的一个根是3，则m-n的值是A.-1 B.-3 C.1 D.34.对于抛物线，下列说法中错误的是（）A.抛物线开口向下 B.对称轴是直线C.顶点坐标是 D.抛物线与x轴没有交点5.已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（）A. B. C. D.6.一元二次方程配方后可化为（）A. B. C. D.7.如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（）A.30° B.40° C.50° D.60°8.如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.将抛物线向左平移3个单位后，再向下平移1个单位，此时抛物线的解析式______．10.某市启动城市绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量9235369662133532036335807312628成活频率0.9000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是______（精确到）11.如图所示：小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是__________．12.如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则______．13.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，则由题意可列方程为_____．14.若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是______．15.如图，抛物线与直线相交于，和，2)两点，则不等式的解集为___．16.京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，），线段CD为半圆的直径，且CD=4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有________．（填正确结论的序号）①图形G关于直线y=0对称；②线段MN的长为；③扇形OMA的面积；④当＜a＜2时，直线y=a与图形G有两个公共点．三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每题6分，27、28题每题7分）17.解方程．18.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC＝∠CAD∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠APC＝∠BAC19.如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．

（1）求这座石拱桥主桥拱的半径；（2）有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．20.如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为O0,0，A5,0，．将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为．（1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标；（2）求点经过的路径的长（结果保留）．21.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．23.如图，某居民小区改造，计划在居民小区的一块长50米，宽20米的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的，求人行通道的宽度是多少米?24.如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．25.如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据：x（米）0124678y（米）22.152.282.442.52.492.44（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米；（3）求出y与x的函数解析式；（4）判断排球能否过球网，并说明理由．26.已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为．（1）若，，则_______；（2）当，时，都有，求的取值范围．27.在中，，，于点，点是上动点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段．（1）如图1，当点在线段上时，求证：点是线段中点．（2）如图2，作点关于点的对称点，连结，．①依题意补全图形．②猜想的度数，并证明．28.在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点给出如下定义：若直线，中一条经过点，另一条是的切线，则称点是弦的“关联点”．（1）如图，点，，①在点，，中，弦的“关联点”是______．②若点是弦的“关联点”，直接写出的长；（2）已知直线与，轴分别交于点，，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”，记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】C【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．根据中心对称图形的概念进行求解即可．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．3.【答案】B【分析】把x=3代入已知方程，即可求得（m-n）的值．【详解】解：由题意，得

x=3满足方程，

所以，9+3m-3n=0，

解得，m-n=-3．

故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．4.【答案】D【分析】根据二次函数顶点式的性质逐项分析即可【详解】解：由，可知，，则抛物线的开口向下，∴选项正确，不符合题意；对称轴为直线x=2，∴选项正确，不符合题意；顶点坐标为,，∴选项正确，不符合题意；令，则解得，∴与轴的交点为：，∴D选项错误，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握的图象与性质是解题的关键．5.【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．根据二次函数的性质，进行求解即可．【详解】解：∵，，对称轴为y轴，∴在对称轴的左侧，y随着的增大而减小；∴当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是：；故选：D．6.【答案】D【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可．【详解】解：移项得，配方得，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．7.【答案】D【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD为⊙O的直径，推出∠DCA=90°，最后根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通过计算即可求出结果．【详解】解：∵∠ABC=30°，∴∠ADC=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=90°-30°=60°．故选D．【点睛】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC和∠DCA的度数．8.【答案】B【分析】本题考查了弧长的计算、勾股定理，由勾股定理可得长方形的对角线长为，结合第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到，即可得出第一次走过的路径，再由第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到，计算出第二次走过的路径，即可得解．【详解】解：第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到，长方形的对角线长为，此次点走过的路径为，∵第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，∴第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到，此次点走过的路径为，∴点翻滚到时，共走过的路径长为，故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得解，熟练掌握平移法则是解此题的关键．【详解】解：将抛物线向左平移3个单位后，再向下平移1个单位，此时抛物线的解析式，故答案为：．10.【答案】【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，掌握在大量重复试验中可以用频率估计概率是解决问题的关键．根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．【详解】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是，故答案为：．11.【答案】【分析】本题考查了切线的性质，含直角三角形的性质，以及勾股定理．连接，根据题意求出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得，从而得出光盘的直径．【详解】解：连接．∵，∴，∵和与相切，∴，∴，∵，∴，∴由勾股定理得，∴光盘的直径是．故答案为：．12.【答案】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握旋转的性质得到相等的线段与旋转角．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：把绕点逆时针旋转，得到，，，，，，∴，故答案为：．13.【答案】60（1﹣x）2＝52【分析】根据题意直接进行列出方程即可．【详解】解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：第一次下调到60（1﹣x%），第二次下调到60（1﹣x%）（1﹣x%），∴60（1﹣x）2＝52．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．14.【答案】【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可．【详解】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3，∴圆锥的侧面积是；故答案为∶．15.【答案】##【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系；根据图象，抛物线与直线相交于和两点，即可得出关于的不等式的解集．【详解】解：抛物线与直线相交于和两点，关于的不等式的解集是．故答案为．16.【答案】②④【分析】用待定系数法求出抛物线表达式，从而得出对称轴，令求出点坐标，即可得出的横坐标，由勾股定理求出点坐标，从而得出的长，由三角函数求出的度数，由扇形面积公式从而得出，由图像得出当时，直线与图形的交点个数．【详解】如图，交轴于点，，，，设抛物线表达式为，把代入解得：，，图形关于直线对称，故①错误；令得：，解得：或，，，在中，，，故②正确；，，，，故③错误；由图可知，，当时，直线与图形有两个公共点，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标．三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每题6分，27、28题每题7分）17.【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴或，∴，．18.【答案】（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∴∠BAC＝∠CAD∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．19.【答案】（1）这座石拱桥主桥拱的半径为（2）此渔船不能顺利通过这座桥【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键．（1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解；（2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解．【小问1详解】解：∵，∴，设主桥拱半径为，由题意可知，，∴，，∵，∴，∴，解得，，∴这座石拱桥主桥拱的半径为．【小问2详解】解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，如图，设为该渔船的上端，连接，∵，船舱顶部为长方形并高出水面，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴此渔船不能顺利通过这座桥．20.【答案】（1）见解析，；（2）．【分析】（1）将点分别绕点顺时针旋转90°得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可；（2）根据弧长公式求解即可；本题主要考查了作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式．【小问1详解】如图所示，即为所求，点的坐标为；【小问2详解】由图知，，，∴点在旋转过程中所走过的路径长为．21.【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．【分析】（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.【详解】（1）解：由题意：．∵，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：解：令，，则原方程为，解得：．【点睛】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.22.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出解方程组即可；（2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下方，在两根之间即可．【详解】解：(1)抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0)代入坐标得：，解得，所求抛物线的解析式是y=x(2)当y=0时，，因式分解得：，∴，∴，当y＜0时，函数图像在x轴下方，∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．23.【答案】人行通道的宽度是米【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（50﹣3x）米、宽为（20﹣2x）米的矩形，根据两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（50﹣3x）米、宽为（20﹣2x）米的矩形，根据题意得：（50﹣3x）（20﹣2x）50×20，解得：＝25（舍去），，∴x．答：人行通道的宽度是米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】（1）证明见解析；（2）PD=．【分析】（1）连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线．（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．【详解】（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．∴∠OAP=90°．∴OA⊥AP．∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．∴AD=AC•tan30°=3×．∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°．∴∠P=∠PAD．∴PD=AD=．25.【答案】（1）见解析（2）2，2.5（3）（4）能，理由见解析【分析】（1）先根据已知数据描点，然后用平滑的曲线连接；（2）由表格和函数图象即可求得击球点的高度和排球飞行过程中可达到的最大高度；（3）根据表格数据设顶点式，然后代入数据即可求得答案；（4）根据y与x的函数解析式，令x=9代入求得y的值与2.24比较即可得到答案．【小问1详解】解：如图，【小问2详解】解：∵当x=0时，y=2，∴击球点的高度为2米；由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5），∴排球飞行过程中可达到的最大高度为2.5米；【小问3详解】解：由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5），∴设y与x的函数解析式为，∵当x=0时，y=2，∴，解得：，∴；【小问4详解】解：排球能过球网.理由如下：当x=9时，，∵，∴排球能过球网．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、画二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．26.【答案】（1）5（2）【分析】（1）根据，即可求解；（2）根据，，，进行讨论求解即可【小问1详解】解：由题意得：抛物线的对称轴为：直线，∴，故答案为：5．【小问2详解】①当时，，∵，∴，，∵，∴．②当时，则与条件矛盾，③当时，与条件矛盾，综上，当，时，都有，的取值范围．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并正确理解题意是解题的关键．27.【答案】（1）见解析（2）①见解析；②，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；（1）①根据题意以点E为圆心，为半径画弧，交BD于点，再连接，即可；②延长到H使，连接，，，可得是的