九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数同步练习5新版新人教版

Page1锐角三角函数一、单选题

1．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）．A．2B．1C．D．2．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为

（）．A．B．C．D．33．已知Rt△ABC中，∠C=90º，那么cosA表示（）的值．A．B．C．D．4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=8，CD=4，DA=3，则sinB的值是（）．A．B．C．D．5．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形态是（）．A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．如图，点E.F分别为正方形ABCD中AB.BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD=（）．A．

B．

C．

D．二、填空题

7．若α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=_________．8．计算（sin30°）-1-（tan60°）0=________．9．如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为______米．10．在直角三角形中，斜边和始终角边的比是5∶3，最小角为α，则sin

α=_______________，cosα=_________________，tanα=__________________．11．已知∠A.∠B.∠C分别是△ABC的三个内角，若，则△ABC的形态为_______．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=__________．13．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，则BE+CE=____．14．如图，A.B.C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC围着点A逆时针旋转得到△AB1C1，则tanB1的值为

．三、解答题

15．先化简，再求值，其中x=2sin60°+1．16．（1）计算：（-1）2-2cos30°++（-2025）0；（2）当x为何值时，代数式x2-x的值等于1．17．（1）一个人由山底爬到山顶，需先爬45°的山坡200m，再爬30°的山坡300m，求山的高度（结果可保留根号）．（2）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或运用其他字母），使AC=BD，并给出证明．你添加的条件是：

．证明：18．如图所示，某幼儿园为了加强平安管理，确定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D.B.C在同一水平地面上．若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证平安，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．20．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=，CD=．（1）求tan∠ABD的值；（2）求AD的长．21．如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．（1）设∠BPC=α，假如sinα是方程5x2-13x＋6=0的根，求cosα的值；（2）在（1）的条件下，求弦CD的长．22．△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，AD=AC=7，BD=BC．动点M从点C动身，以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，同时，动点N从点D动身，以每秒2个单位的速度沿DA向点A运动．当一个点到达点A时，点M、N两点同时停止运动．设M、N运动的时间为t秒．（1）求cosA的值．（2）当以MN为直径的圆与△ABC一边相切时，求t的值．参考答案1．学问点：命题与定理、特别角的三角函数值．答案：A．解析：试题分析：原式=（）2+×=+=2．故选A．考点：1．特别角的三角函数值；2．实数的计算．2．学问点：锐角三角函数的定义．答案：A．3．学问点：特别角的三角函数值．答案：D．解析：试题分析：依据直角三角形三角函数值得求法即可得出；cosA=，所以选D．考点：三角函数．4．学问点：特别角的三角函数值、解直角三角形．答案：A．解析：试题分析：过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠A=90°，∴CE=AD=3，AE=CD=4，∴BE=AB-AE=8-4=4，在Rt△CEB中，∵BC=，∴sinB=．故选A．考点：1．直角梯形；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义．5．学问点：特别角的三角函数值．答案：B．解析：试题分析：∵sinA=，∴∠A=30°，又∵cosB=，∴∠B=30°，所以∠C=180°-30°-30°=120°．故△ABC是钝角三角形．故选B．考点：1．特别角的三角函数值；2．三角形内角和定理．6．学问点：锐角三角函数的定义、解直角三角形．答案：D．7．学问点：同角三角函数的关系．答案：30º．解析：试题分析：∵cosα=sin60°，sin60°=，∴cosα=．∵α为一锐角，∴α=30°．考点：特别角的三角函数．8．学问点：特别角的三角函数值．答案：1．解析：试题分析：依据特别角的锐角三角函数值即可求得结果．（sin30°）-1-（tan60°）0=（）-1-1=2-1=1．考点：本题考查的是特别角的三角函数．点评：解答本题的关键是驾驭好特别角的锐角三角函数．9．学问点：锐角三角函数的定义、特别角的三角函数值、解直角三角形的应用-坡度坡角问题．答案：．解析：试题分析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，AC=30×25=750（米），∴AD=AC•sin45°=（米）．在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）．考点：1．解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；2．锐角三角函数定义；3．特别角的三角函数．10．学问点：锐角三角函数的定义、解直角三角形答案：．11．学问点：特别角的三角函数值．答案：直角三角形．解析：试题分析：依据题意得，2sinA-1=0，且cosB-=0，即sinA=cosB=，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=90°．故△ABC是直角三角形．故答案是直角三角形．考点：直角三角形．12．学问点：特别角的三角函数值、解直角三角形．答案：．解析：试题分析：如图，由勾股定理得AC=，AD=4，cosA=，故答案为：．考点：1．勾股定理；2．三角函数．13．学问点：线段垂直平分线的性质、锐角三角函数的定义．答案：6或16．解析：试题分析：有两种情形，须要分类探讨：①若∠BAC为锐角，如图所示，∵AB的垂直平分线是DE，∴AE=BE，ED⊥AB，AD=AB．∵AE=5，tan∠AED=，∴sin∠AED=．∴AD=AE•sin∠AED=3．∴AB=6．∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6．②若∠BAC为钝角，如图所示，同理可求得：BE+CE=16．综上所述，BE+CE=6或1614．学问点：锐角三角函数的定义、旋转的性质答案：解析：试题分析：A.B.C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC围着点A逆时针旋转得到△AB1C1，依据旋转的特征，∠B=∠B1，所以tanB1=tanB，又因为tanB=，所以tanB1的值为．考点：旋转，三角函数．点评：本题考查旋转，三角函数，解答本题的关键是驾驭旋转的特征，熟识三角函数的定义，会用三角函数的定义来解本题．15．学问点：分式的化简求值、特别角的三角函数值答案：．解析：试题分析：先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果后代入求出即可．试题解析：当x=2sin60°+1=2×+1=+1时原式．考点：1．分式的化简求值；2．特别角的三角函数值．16．学问点：实数的运算、零指数幂、解一元二次方程-公式法、特别角的三角函数值．答案：（1）2（2）x1=，x2=．解析：试题分析：（1）由数的乘方、0指数幂及特别角的三角函数依次求出，再依据混合运算的法则进行计算即可．（2）由题意可关于x的一元二次方程：x2-x=1，解方程求出x的值即可．试题解析：（1）原式=1-2×++1=1-++1=2；（2）由题意得，x2-x=1，整理得，x2-x-1=0，∵a=1，b=-1，c=-1，∴b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5．∴x1=，x2=．考点：1．实数的混合运算；2．特别角的三角函数值；3．零指数幂；4．解一元二次方程．17．学问点：全等三角形的性质、锐角三角函数的定义．答案：（1）解；依题意，可得山高h=200sin45°+300sin30°=200×+300×=150+．∴山高为m．（2）解：添加条件例举：AD=BC；OC=OD；∠C=∠D；∠CAO=∠DBC等．证明例举（以添加条件AD=BC为例）：∵AB=AB，∠1=∠2，BC=AD，∴△ABC≌△BAD（SAS）∴AC=BD．解析：试题分析：（1）干脆应用正弦函数求解．（2）要证AC=BD，只要AC和BD所在的三角形全等即可，由∠1=∠2，故可添加AD=BC；OC=OD；∠C=∠D；∠CAO=∠DBC等，均能构成全等三角形．答案不唯一．18．学问点：锐角三角函数的定义．答案：6-2.59=3.41（米）＞3米，这样改造是可行的．解析：试题分析：∵在直角三角形ABC中，sin45°=，∴AC=AB·sin45°=．∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，∴BC=AC=，∵在直角三角形ADC中，tan30°=，∴CD==∴BD=CD-BC=（-）≈2.5875≈2.29∵6-2.59=3.41（米）＞3米，∴这样改造是可行的．

考点：三角函数．点评：本题考查三角函数，要求考生驾驭三角函数的定义，会利用三角函数的定义解本题，三角函数是很重要的学问点，中考必考的内容．19．学问点：锐角三角函数的定义、特别角的三角函数值．答案：．解析：试题分析：延长BA.CD交于点E，构成两个含30°角的直角三角形：△EAB，△EAD，应用锐角三角函数定义和特别角的三角函数值求解即可．试题解析：如图，延长BA.CD交于点E．∵∠B=90°，∠C=60°，BC=4，∴∠E=30°，CE=8，BE=．∵CD=3，∴DE=5．∴AE=．∴AB=BE-AE=-=．考点：1．特别三角形的构造；2．锐角三角函数定义；3．特别角的三角函数．20．学问点：勾股定理的应用、锐角三角函数的定义、特别角的三角函数值．答案：（1）1；（2）．解析：试题分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，依据∠C=60°求出CE.DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后依据特别角的三角函数值解答．（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF=AF=，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．试题解析：（1）如图，作DE⊥BC于点E．∵在Rt△CDE中，∠C=60°，CD=，∴CE=，DE=3．∵BC=3+，∴BE=BC-CE=3+-=3．∴DE=BE=3

∴在Rt△BDE中，∠EDB=∠EBD=45º．∵AB⊥BC，∠ABC=90º，∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º．∴tan∠ABD=1．

（2）如图，作AF⊥BD于点F．在Rt△ABF中，∠ABF=45º，AB=1，∴BF=AF=．∵在Rt△BDE中，DE=BE=3，∴BD=．∴DF=BD-BF=-=．∴在Rt△AFD中，AD==．考点：1．勾股定理；2．锐角三角函数定义；3．特别角的三角函数值．21．学问点：圆周角定理、锐角三角函数的定义答案：（1）；（2）8．解析：试题分析：（1）利用十字相乘法，求得一元二次方程的根，即sinα的值．进而求得cosα的值．（2）首先连接BC，利用圆周角定理得到∠B=∠C，∠A=∠D，进而证得△APB∽△DPC．再利用相像三角形的性质定理及（1）中的解，求得弦CD的长．试题解析：（1）∵sinα是方程5x2-13x＋6=0的根解得：sinα=2（舍去），sinα=

∴cosα=（2）连接BC∵∠B=∠C，∠A=∠D∴△APB∽△DPC

∴

∵AB为直径∴∠BCA为直角∵cosα=∴

∴CD=8．考点：1．相像三角形的判定与性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．圆周角定理．22．学问点：切线的性质、锐角三角函数的定义答案：（1）；（2）t=1或t=2．解析：试题分析：（1）设BC=4m，AC=x，用m表示出AC和AB，依据三角函数定义即可求解．（2）分⊙O与AB相切，⊙O与AC相切和⊙O与BC相切三种状况探讨即可．（1）设BC=4m，AC=x，则BD=2m，AD=x，∵BC2+CA2=AB2，∴16m2+x2=(2m+x)2．解之得x=3m．从而AB=5m．因此cosA=．（2）CM=t，AM=7-t，DN=2t，AN=7-2t，其中0≤t≤3.5，记以MN为直径的圆为⊙O，当⊙O与AB相切时，则MN⊥AB，因此，t=2，符合题意；当⊙O与AC