山东省聊城市水城慧德学校2024-2025学年高二上学期十二月月考数学试卷

2024-2025学年第一学期聊城市水城慧德学校十二月月考高二数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．已知直线,则直线l的倾斜角为()A. B. C. D.2．已知直线与圆交于A,B两点,且,则()A.4 B.-4 C.2 D.-23．已知椭圆上存在两点M、N关于直线对称.若椭圆离心率为,则的中点坐标为()A. B. C. D.4．设是正三棱锥,是的重心,G是上的一点,且,若,则()A. B. C. D.15．已知抛物线的焦点为F,准线为l,且l过点,M在抛物线C上,若点,则的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.56．已知点,,动点P满足条件.则动点P的轨迹方程为()A. B.C. D.7．曲线与曲线（）的()A.短轴长相等 B.长轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等8．如图,已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中.“果圆”与轴的交点分别为,,与y轴的交点分别为,,点P为半椭圆上一点（不与重合）,若存在.,则半椭圆的离心率的取值范围为()A. B. C. D.二、多项选择题9．向量,,若,则()A. B.C. D.10．已知直线l经过点,且被两条平行直线和截得的线段长为5,则直线l的方程为()A. B. C. D.11．已知F为椭圆的左焦点，直线，与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则()A.的最小值为2B.的面积的最大值为C.直线的斜率为D.为直角三、填空题12．已知圆,过圆C外一点P作C的两条切线,切点分别为A,B,若,则__________.13．已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，直线与准线相交于点B，则线段的长度为________.四、双空题14．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且，则______________.五、解答题15．(1)已知空间向量,,求;(2)已知,,若,求实数的值16．如图所示，C，D分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，O为中点，E为母线的中点.（1）证明：平面；（2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值.17．如图,在四棱锥中,平面,,,,,M为棱的中点(1)证明：平面;(2)求平面和平面夹角的余弦值;18．如图,在五棱锥中,,,,,,.（1）证明:平面.（2）求平面与平面的夹角的余弦值.19．如图,直四棱柱中底面为平行四边形,,,P是棱的中点.（1）证明:平面;（2）求二面角的余弦值.参考答案1．答案：A解析：直线l的斜率,由于,所以,的倾斜角为.故选：A.2．答案：D解析：由题意可得圆M的圆心为,半径,则圆心M到直线l的距离.因为,所以,即,解得.故选：D.3．答案：C解析：设点、,线段的中点为,则,由题意,椭圆的离心率为,可得,因为M、N关于直线对称,且直线的斜率为1,则,将点M、N的坐标代入椭圆方程可得,上述两个等式作差可得,可得,即,即,即,①又因为点在直线上,则,②联立①②可得,故线段的中点为.故选：C4．答案：C解析：如下图所示,连接并延长交于点D,则点D为的中点,为的重心,可得,而,,所以,,所以,,因此,.故选：C.5．答案：D解析：由题可得,准线l的方程为.由抛物线的定义可知,,.故选：D.6．答案：A解析：,由,结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以,为焦点的双曲线右支,在双曲线中,,可得,,所以,动点P的轨迹方程为.故选：A.7．答案：C解析：A选项,明显短轴不相等,一个,,故错误;B选项,一个另一个为,故错误.D选项,离心率,结合前面提到了a不相等,故错误;曲线的焦半径满足,而焦半径满足,故两曲线的焦半径相等,故焦距相等,C正确.8．答案：D解析：（解法1）设,,因为,,所以,.,所以.因为,所以.因为,所以,即,解得.（解法2）设,,因为,,所以,,所以.因为,所以.因为存在.,所以在上有解.因为,且,所以在上有解,即在上有解.因为,所以,即解得.9．答案：BC解析：因为,所以,由题意可得,所以,,,则.故选：BC.10．答案：BC解析：若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为,此时与、的交点分别为,,截得的线段的长,符合题意,若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为,解得,解得,由,得,解得,即所求的直线方程为,综上可知,所求直线l的方程为或,故选:BC.11．答案：BCD解析：设椭圆C的右焦点，由椭圆对称性知线段，互相平分于点O，则四边形为平行四边形，如图，则，有，当且仅当，即时取“=”，A不正确；设，，则，当且仅当，即时取“=”，即，因，垂足为E，则，B正确；因，有，由椭圆对称性可得，而，则直线的斜率，C正确；设，由及得，，即，直线，的斜率，有，而，于是得，有，所以为直角，D正确.故选：BCD.12．答案：1解析：由圆可得圆心坐标为,半径,由、为圆C切线,故,又故,又,故为等边三角形,故.故答案为：1.13．答案：解析：由点在抛物线上,可得,即,又,所以直线AF的方程为,与准线方程联立可得,所以14．答案：-14;6解析：已知直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,且,则,即,解得,故.故答案为:-14;6.15．答案：(1)(2)2.解析：(1),所以(2),,,,,即,解得.16．答案：（1）详见解析；（2）解析：（1）设的中点为F，连接，，，，，在中，为三角形的中位线，所以，，因为C，D分别为半圆弧上的两个三等分点，为等边三角形，，所以，，易得四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；（2）解法一：过D作的垂线，则垂足M为的中点，过M作的垂线，设垂足为N，连接，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，又因为，，所以平面，，则为平面与平面的夹角，设底面半径为R，则，，，在中，，即，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为.解法二：作的中点Q，连接，以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2，则，，，，，，由图形可知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，，所以是平面的一个法向量，，即平面与平面的夹角的余弦值为.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)取中点N,连接,.在中,M,N分别为,的中点,则,,因为,,则,,可知四边形为平行四边形,则,且平面,平面,所以平面.(2)因为平面,,平面,则,,且,以D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,取的中点E,连接,因为,,则,.又因为,所以四边形为矩形,且,可知四边形是以边长为2的正方形,则,,,,,,可得,,,设平面的法向量为,所以,令,则,,所以平面的一个法向量为,易知为平面的一个法向量,所以,所以平面和平面夹角的余弦值为.18．答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明:因为,,,,所以,,则,,因为,平面,平面,所以平面.（2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系.,,,则,.易得平面的一个法向量为,设平面的法向量为,则,可取.设平面与平面的夹角为,则,即平面与平面的夹角的余弦值为.19．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）连接,因为,,,所以,又,所以,所以,所以,又,所以,因