广西壮族自治区三新学术联盟2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

广西壮族自治区三新学术联盟2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2A．(1，0) B．(14，0) 2．已知向量a=(−1，3，2)，bA．﹣4 B．4 C．14 D．3．设P是椭圆x26+A．6 B．22 C．4 D．4．已知等差数列{an}A．6 B．3 C．4 D．55．已知两直线y=x+2k与y=−x的交点在圆x2+yA．−1<k<1 B．−2<k<2 C．−3<k<3 D．−6．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2A．9 B．72 C．70 D．487．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)，以双曲线C的右顶点A为圆心，bA．2 B．43 C．238．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，P(x，y，z)是正三棱柱ABC−A1B1C1的底面A1A．x2+y2=43 B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若圆M：(x−k)2+(y−1)2=8与圆NA．−32 B．1 C．3.810．关于x，y的方程x2A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆11．已知{an}是等差数列，其前n项和为SA．a1+5a3=S7 B．S12．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是底面A1B1C1D1内的动点，E，FA．AP⋅B．三棱锥P﹣ABD的体积不变，表面积改变C．若PK⊥平面B1EFD．EP2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若点M(−1，2)在抛物线x214．已知空间向量a=(1，0，−1)，b=(2，−1，1)，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是15．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为个．(用含n的代数式表示)16．如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A，C同时出发，以相同的速度1分别向点B，D运动，最后同时到达，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．在等比数列{a（1）已知a1=−2，a6（2）已知公比q=2，前6项和S6=189，求18．已知圆C经过A(−1，0)，B(3，2)两点，且圆心（1）求圆C的方程；（2）过点(−2，0)的直线l与圆C交于P，Q两点，若|PQ|=6，求直线l的方程．19．已知△ABC的周长为22+2，其中点A(−1，（1）求点C的轨迹方程；（2）设D为点A关于直线x−2y−32=020．如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，P为线段AD上的动点，E，F为下底面上的两点，且AE=AF，∠EAF=120°，EF交AB于点G．（1）当AP=32时，证明：OP⊥平面（2）当△PEF为等边三角形时，求二面角P−EF−C的余弦值．21．已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A（1）求抛物线的方程；（2）抛物线的准线与x轴交于点F'，过点F'的直线l交抛物线于M，N两点，当F'22．已知数列{1an+1（1）求出{a（2）设bn=nanan+2，数列{bn}

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由抛物线y2=x得出焦点在x轴的正半轴，所以此抛物线的焦点F坐标是14，0。2．【答案】A【解析】【解答】解：已知向量a=(−1，3，2)，b=(2，−6，z)，

因为a∥b，所以，设a→=mb3．【答案】D【解析】【解答】解：因为x26+y24=1，所以a2=6，b2=4，又因为a>0，b>0，所以a=6，b=2，

设4．【答案】A【解析】【解答】解：已知等差数列{an}的前5项之和为25，a2=−1，设首项为a1，公差为d，

则S5．【答案】B【解析】【解答】解：联立y=x+2ky=-x得出交点坐标为-k，k，

因为两直线y=x+2k与y=−x的交点在圆x2+y2=8的内部，

则-k2+k6．【答案】D【解析】【解答】解：因为正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=3，S4=15，

因为S4≠2S2，所以q≠1，

则S2=a11-q27．【答案】C【解析】【解答】解：因为∠MAN=60°，所以点A到渐近线距离为32b，其中一条渐近线方程为：bx-ay=0，

所以aba2+b2=38．【答案】A【解析】【解答】解：由正三棱柱ABC−A1B1C1，A1A=AB=2，根据空间直角坐标可得，

A0，0，0，A10，0，2，又因为Px，y，z是正三棱柱ABC−A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，9．【答案】A,C【解析】【解答】解：圆M：(x−k)2+(y−1)2=8的圆心Mk，1，半径r1=22，

圆N：(x−1)2+(y−k)2=2的圆心N1，k，半径r2=2，

因为圆M：(x−k)2+(y−1)2=810．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：关于x，y的方程为x2+my2=m(m∈R)，

当m=0时，则x=0，此时表示的曲线为y轴；

当m=1时，则x2+y2=1，此时表示的曲线为圆；

当0<m<1或m>1时，则x2m+y2=111．【答案】A,C【解析】【解答】解：根据题意，数列{an}是等差数列，设公差为d，

因为a12=0，所以a1+11d=0，所以a1=-11d。

对于A，因为a1+5a3=a1+5a1+2d=6a1+10d=-56d，，

又因为S7=7a1+7×62d=-77d+21d=-56d，所以a1+5a3=S7，所以A对；

对于B，因为an=a1+n-1d=-11d+n-1d=12．【答案】B,C【解析】0【解答】解：对于A，点P是底面A1B1C1D1内的动点，则存在实数x，y，

使得A1P→=xA1D1→+yA1B1→=xAD→+yAB→，则AP→=AA1→+A1P→=AA1→+xAD→+yAB→，

所以，AP→·AD→=AA1→·AD→+xAD→·AD→+yAB→·AD13．【答案】x【解析】【解答】解：因为点M(−1，2)在抛物线x2=2py上，所以-12=4p，

所以p=14，则该抛物线的方程为14．【答案】(【解析】【解答】解：已知空间向量a=(1，0，−1)，b=(2，−1，1)，

则向量b在向量a上的投影向量的坐标是a→·b→a→·a→15．【答案】9n+3【解析】【解答】解：由题意可知，设数列an为12，21，30，······，

又因为数列12，21，30，······为等差数列，所以数列的通项公式为an=a1+n-1d=12+9×n-1=9n+3，n∈N*，

所以，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为16．【答案】6【解析】【解答】解：如下图，建立空间直角坐标系，

根据题意可得：两动点的距离最小值坐标分别为：P1，t，0，Q0，1，t，0≤t≤1，

由空间两点间距离公式可得

PQ=1-02+t-12+0-t2=2t2-2t+2=2t-122+17．【答案】（1）杰：设公比为q，由a1=−2，a6=1所以S4（2）由S6=a【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出公比的值，再结合等比数列的前n项和公式得出等比数列{an}18．【答案】（1）解：kAB=2故AB的垂直平分线所在的直线方程为y=−2(x−1)+1，即y=−2x+3，y=−2x+3，x+y−1=0，解得x=2半径R=(−1−2)2+（2）解：当直线l斜率不存在时，此时与圆C没有交点，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx−y+2k=0，由|PQ|=6，可得圆心到直线l的距离为d=|4k+1|1+k故直线l的方程为y=0或8x+15y+16=0．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出AB的垂直平分线所在的直线的斜率，再结合中点坐标公式和点斜式方程得出AB的垂直平分线所在的直线方程，再联立直线方程得出两直线交点坐标，进而得出圆心坐标，再结合两点距离公式得出圆的半径长，进而得出圆C的标准方程。

（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线l斜率不存在时，此时与圆C没有交点，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的点斜式方程，再转化为直线的一般式方程，再结合点到直线的距离公式和弦长公式，进而得出直线l的斜率，从而得出直线l的方程。19．【答案】（1）解：由题意可知AB=2，|CA|+|CB|=2因此a=2，c＝1，则点C轨迹方程为x22（2）解：设点D(x0，于是有y0x0+1=−2设点(x1，y1则|CD|=x由于y1∈[−1，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式和椭圆的定义，进而判断出点C的轨迹为椭圆，进而结合长轴长和焦距求解方法，进而得出a，c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆的标准方程，进而得出点C的轨迹方程。

（2）利用点与点关于直线对称的求解方法，再结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而解方程组对称点D的坐标，再结合代入法和椭圆的标准方程以及两点距离公式，进而将CD的长转化为二次函数，再结合二次函数的图象求值域的方法，进而得出线段CD的长度的取值范围。20．【答案】（1）解法一：连接OP，CG，由题意可知∠EAF=120°，且AE=AF，因此EF⊥AO，且点G为OA中点，考虑△BCG与△AOP，OACB=24=因此△BCG∽△AOP，故∠POA+∠CGB=90°，因此OP⊥CG，在圆柱中，DA⊥平面AEF，EF⊂平面AEF，因此DA⊥EF，又因为EF⊥AO，DA∩AO=A，DA，AO⊂平面ABCD，因此EF⊥平面ABCD，由于PO⊂平面ABCD，因此EF⊥PO，由于EF⊥PO，CG⊥PO，EF∩CG=G，EF，CG⊂平面CEF，因此OP⊥平面CEF；解法二：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，此时O(0，2，0)，由于AE=AF，∠EAF=120°，可求出E(−3，1因此OP=(0，−2，32)，设平面CEF的法向量n=(a，不妨令b=2，则a=0，c=−32，则由于OP=−n，因此（2）解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则有E(−3，1，0)，F(3，若△PEF为等边三角形，则|PEPE=(−3，1，−k)，|PE|=由(1)知平面CEF的法向量为n=(0，2，−PE=(−3，1，−22)则−3x1+y1−22z设二面角P﹣EF﹣C为α，cosα=【解析】【分析】（1）利用两种解法求解。

解法一：利用等腰三角形三线合一，进而证出线线垂直，再结合中点的性质和两三角形相似，对应边成比例和两角互余，进而证出线线垂直，再利用圆柱的结构特征和线线垂直证出线面垂直，从而证出直线OP⊥平面CEF。

解法二：利用已知条件，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面CEF的法向量，再利用向量共线定理，进而证出直线OP⊥平面CEF。

（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合等边三角形的结构特征和向量求模公式，进而得出点P的竖坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面CEF的法向量和平面PEF的法向量，再结合数量积求二面角的平面角的余弦值的方法，进而得出二面角P−EF−C的余弦值。21．【答案】（1）解：由题知，设直线AB的方程是y=2(x−p2)，A，B两点的坐标分别为(与y2=2px联立，消去y，得4x由抛物线定义得|AB|=x所以p=4，从而抛物线方程是y2（2）解：由题知，直线MN的斜率存在且不为0，F'(−2，0)，设直线MN的方程是联立方程得y=k(x+2)y2=8x由Δ=64−64k2>0设M(x1，y∴y1∴F=(k2+1)(x1解得k2=13，∴直线l的方程为y=±3【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出直线的点斜式方程和点A，B的坐标，再联立直线与抛物线方程和韦达定理，再结合抛物线的定义和两点