山西省吕梁市孝义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案）

山西省吕梁市孝义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．Sn是等比数列{an}的前n项和，A．2 B．4 C．2 D．12．已知函数f(x)=lnx−x2，f'(x)为A．-1 B．0 C．1 D．23．数列0，52，−A．an=nC．an=(−1)4．已知定义在(0，3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式A．(0，1) C．(2，3) 5．已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，则实数A．-4 B．2 C．4 D．86．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中前5天共分发多少升大米？（）A．1170 B．1440 C．1512 D．17727．f'(x)是函数A．f'(π)=−2π C．f'(0)=−1 8．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM=2MC，PN=ND，若A．−23 B．23 C．19．用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)⋯⋯(n+n)=2n⋅1⋅3⋯⋯(2n−1)(n∈N*A．2k+3k+1 B．2k+1k+1 C．2k+1 10．已知数列{an}满足3an−2aA．202331 B．202333 C．20236311．设抛物线y2=8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2−4x+3=0A．22+3 B．22+5 C．12．已知函数f(x)=ex−aA．(0，1) B．(0，1二、填空题13．函数f(x)=xex的极值点为14．若函数f(x)=x3+(a−1)x2+3ax的导函数f'15．已知等差数列{an}满足a11+a12+a13>016．对正整数n，函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得φ(441)=，数列{nφ(7n)}的前n项和三、解答题17．已知函数f(x)=13x3+ax+b，当x=2（1）求函数f(x)的解析式：（2）求函数f(x)在[−4，18．已知数列{an−1}是递增的等比数列，a（1）求数列{a（2）求数列{nan}19．如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km．设点C到点B的距离为x．（参考数据：3≈1.7（1）写出运输时间t(x)关于x的函数；（2）当点C选在何处时运输时间最短？20．已知正项等差数列{an}，a1=2，且a1，a2−1，a3（1）求数列{an}（2）若cn=bn+1a21．已知圆N经过点A(3，1)（1）求圆N关于直线x−y+3=0对称的圆的方程；（2）若点D为圆N上任意一点，且点C(3，0)，求线段CD的中点22．已知函数f(（1）讨论函数f(（2）设函数f(x)图象上不重合的两点A(x1，y

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】依题意，根据等比数列{an}的性质，a2+故答案为：A

【分析】根据等比数列性质，利用a22．【答案】A【解析】【解答】由题意可得，f'(x)=故答案为：A．

【分析】直接利用导数的定义，即可解出．3．【答案】C【解析】【解答】对于A，a1=1对于B，a1=1+(−1)1=0对于C，a1=(−1)+11=0对于D，a1=52−故答案为：C.

【分析】根据数列的项逐项判断可得答案.4．【答案】B【解析】【解答】由图象可知：f(x)在(0，1)，(2，故等式f'(x)<0的解集为故答案为：B

【分析】根据函数图象得到单调性，从而确定不等式f'5．【答案】C【解析】【解答】抛物线的准线方程为：x=−p2，因为M到焦点距离为5，所以M到准线的距离1+p2=5，即p=8，则抛物线方程为y2=16x，将(1，m故答案为：C.

【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义，从而结合已知条件求出p的值，进而求出抛物线的标准方程，再利用点在抛物线上结合代入法，从而求出实数m的值。6．【答案】A【解析】【解答】由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列{an}记第一天共分发大米为a1则前5天共分发大米5a故答案为：A．

【分析】建立等差数列模型，根据等差数列求和公式可求得结果.7．【答案】A【解析】【解答】因为f(x)=x2cos所以f'(π)=2π故答案为：A

【分析】先对函数求导f'(x)=2xcosx+8．【答案】B【解析】【解答】NM=====2所以x=2故答案为：B

【分析】根据向量的线性运算NM=AM−AN=AC+9．【答案】D【解析】【解答】当n=k时，左边=(k+1)(k+2)⋯⋯(k+k).当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+2+1)⋯⋯(k+1+k−1)(k+1+k)(k+1+k+1).所以要增乘的是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1故答案为：D

【分析】分别求出当n=k时和当n=k+1时，左边的代数式，即可得到正确答案.10．【答案】A【解析】【解答】由3an−2若an−an−1=0所以an+1−anan−an−1则有a6也即a6=a故答案为：A.

【分析】根据递推公式得到数列{an+1−an}是以11．【答案】D【解析】【解答】如图所示：因为圆的方程为x2+y2−4x+3=0即为(x−2)2因为2|AP|+|QB|=2(|AF|−R)+(|BF|−R)，所以2|AP|+|QB|=2|AF|+|BF|−3，又因为|AF|=xA+所以2|AP|+|QB|=2x设l：x=my+2，所以x=my+2y2=8x，所以x所以2|AP|+|QB|=2xA+综上可知：(2|AP|+|QB|)min故答案为：D.

【分析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将2|AP|+|QB|表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标xA，xB的特点结合基本不等式求解出2|AP|+|QB|的最小值．12．【答案】A【解析】【解答】由题意可得：ex∴e∴e令g(x)=e∴x−lna>ln(x+1)，记h(x)=x−lna−ln故当x∈(−1，0)时，h'(x)<0，此时h(x)单调递减，当x∈(1，故实数a的取值范围为(0，1)．故答案为：A

【分析】首先将不等式进行恒等变形，然后构造新函数，结合函数的性质即可求得实数a的取值范围．13．【答案】x=-1【解析】【解答】由题设f'当x∈(−∞，−1)当x∈(−1，+∞)所以f(故答案为：x=-1

【分析】求出导函数，并求出导函数的零点，研究零点两侧的符号，由此可得f(14．【答案】y=6x−2【解析】【解答】因为f'(x)=3x2+2(a−1)x+3a为偶函数，所以2(a−1)=0又f(1)=4，故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y−4=6(x−1)，即故答案为：y=6x−2．

【分析】求出导函数f'(x)=3x2+2(a−1)x+3a，由其为偶函数得a=1，然后计算出斜率f15．【答案】23【解析】【解答】a11+a12+a13=3aS23=1SnSn+1故答案为：23

【分析】根据题意得到a12>0，a13<0，计算得到16．【答案】252；(6n−1)【解析】【解答】因为441=3所以不大于441的数中，能被i（i＝3，7）整除的数与441都不互质，所以φ(441)=441−441因为除了7的倍数外，其他数都与7n互质，所以φ(则Sn=6×(1+2×7+⋯+n×7所以−6S故Sn故答案为：252；(6n−1)7

【分析】由质因数分解求得441=32×72，利用质因数结合定义可求得φ(441)=441−4413−44117．【答案】（1）解：因为f(x)=13x依题意可得f'(2)=0f(2)=−43所以f(x)=1（2）解：由（1）知f(x)=13x令f'(x)=0，解得x=2或所以当−4<x<−2时f'(x)>0，当−2<x<1时所以f(x)在[−4，−2]上单调递增，在又f(−2)=283，f(1)=1所以f(x)最大值为283，最小值为−【解析】【分析】(1)求导函数，建立方程，可求a、b的值，即可求出函数f(x)的解析式；

(2)比较端点值和极值得出函数f(x)的最大值与最小值.18．【答案】（1）解：设数列{an−1}的公比为q，b由a2=5得b2=4，由所以4(q+q2)=24，解得q=2所以bn所以数列{an}（2）解：由条件知nan=n⋅则2A将以上两式相减得−A所以An设Bn则Sn【解析】【分析】（1）由数列{an−1}是递增的等比数列，求出其通项公式，即可求{an19．【答案】（1）解：由题意知|OC|=1202+∴t(x)=（2）解：t令t'(x)=0，得当0<x<403时，t'(x)<0，当所以x=403≈68时所以当点C选在距B点68km时运输时间最短．【解析】【分析】(1)根据题意先求出OC和AC，然后利用勾股定理以及时间=距离/速度，即可得到答案；

(2)对f(x)进行求导，利用导数求解函数单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案.20．【答案】（1）解：设数列{an}因为a1=2，且a1，a所以2(2+2d)=(2+d−1)所以d＝3，所以an由2Sn+1=2所以{bn}又b1=1（2）证明：cn所以Tn因为(12)【解析】【分析】（1）利用a1=2，且a1，a2−1，a3成等比数列，列出方程2(2+2d)=(2+d−1)2，求出公差d＝3，所以an=3n−1，再利用2Sn+1=221．【答案】（1）解：由已知可设圆心N(a，从而有(a−3)2所以圆N的圆心为N(2，所以圆N的方程为(x−2圆心关于x−y+3=0的对称点为(1所以圆N关于直线x−y+3=0对称的圆的方程为(x−1（2）解：设M(x，y)，D(x1x=x1+3又点D在圆N：(x−2)2+故所求的轨迹方程为：(x−5【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和解方程组的方法得出圆N的标准方程，再结合圆与圆关于直线对称的求解方法，再利用中点坐标公式得出所求对称圆的圆心坐标，再结合圆与圆关于直线对称半径相等，进而得出圆N关于直线x−y+3=0对称的圆的标准方程。

（2）设M(x，y)，D(x1，y22．【答案】（1）解：函数f(x)且f①当a≥0时，f'(x)=②