数学优化训练：平面向量的坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.3。2平面向量的坐标运算5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1。在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______，=___________。思路解析:由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.答案：m+nm+n2。下列所给向量共线的有(）A。(1，5)，(5，—5)B。（2，-3），（,-）C。（1，0)，（0，1）D。（1,—3），（8，）思路解析:本题考查平面向量共线的条件，只需将所给坐标代入公式，看“x1y2-x2y1=0”答案:B10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1。已知向量a=（1，2),b=（2,3),c=(3，4)且c=λ1a+λ2b，则λ1、λ2A。—2，1B。1，-2C。2,—1D。—1，2思路解析:因为c=λ1a+λ2b,则有(3，4）=λ1（1，2）+λ2(2，3)=(λ1+2λ2，2λ1+3λ2∴解得λ1=-1,λ2=2.答案：D2。已知|a|=10，b=（3,4),a∥b,则向量a=_____________.思路解析：首先设a=（x,y）,然后利用|a｜=10,a∥b，列出含x、y的两个等式，解出x、y.答案:(6，8)或(-6，-8）3。已知点A（，1）、B（0，0）、C(，0）。设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有=λ，其中λ等于()A。2B.C。—3D.-思路解析：∵AE为∠BAC的平分线，∴∴=—2.∴=-=-2—=—3。答案:C4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1）、B（—1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为_________________。思路解析:将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程。答案:x+2y—5=05.用坐标法证明++=0.思路解析:本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来,然后进行向量运算。证明：设A（a1,a2)、B（b1，b2)、C(c1,c2）,则=（b1—a1，b2-a2），=（c1-b1,c2—b2)，=(a1-c1,a2—c2）.∴++=（b1-a1,b2—a2)+（c1-b1,c2-b2）+（a1—c1，a2—c2）=（b1—a1+c1—b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2—c2)=（0,0）=0.∴++=0.6。平面内给定三个向量:a=（3,2）,b=(—1，2），c=(4，1)。（1)求3a+b—(2）求满足a=mb+nc的实数m和n；（3）若（a+kc）∥(2b—a)，求实数k；(4）设d=(x，y)满足(d—c）∥(a+b)且｜d-c｜=1，求d。思路解析:根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解.解:（1)3a+b—2c=3(3,2)+（—1，2)—（2)∵a=mb+nc,m、n∈R，∴(3，2)=m(—1,2）+n（4，1)=（—m+4n，2m+n）。∴（3）∵（a+kc）∥（2b—a)且a+kc=（3+4k，2+k）2b—a=（—5，2），∴（3+4k）×2-(—5)×（2+k）=0。∴k=-.(4)∵d—c=(x—4，y-1)，a+b=(2，4)，且(d-c)∥（a+b)且|d—c｜=1,∴∴d=(）或d=（).志鸿教育乐园聪明的学生物理课上，老师正在讲振动和共鸣，为了让学生更好地理解它们的物理原理，老师提问道：“如果我朝鱼塘扔一块石头，会发生什么现象？……"学生异口同声地回答：“罚款5元!"30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC中，已知A(2，3)、B（8，-4），G(2，—1）是中线AD上的一点，且｜|=2｜｜,则点C的坐标为(）A.（-4,2）B.（-4，—2）C.(4，—2)D.(4，2)思路解析：设C点坐标为（x，y)，由于G是△ABC的重心，则2=，∴x=—4。—1=，∴y=—2。答案:B2.已知A、B、C三点共线,且A(3,-6)、B(-5，2)，若C点横坐标为6，则C点的纵坐标为（)A.-13B.9C.—9D。13思路解析：设C（6，y），则∥.又=(-8，8),=(3，y+6)，∴—8(y+6）-3×8=0。∴y=—9。答案:C3.已知A（-2,4）、B（3，-1)、C（—3，-4）且=3,=2，试求点M、N和的坐标。解：∵A(-2，4)，B(3，-1),C(-3，—4),∴=(—2+3，4+4)=（1，8），=(3+3，-1+4）=（6，3）。于是=3=3(1，8）=(3，24），=2=2(6，3）=（12，6）.设M（x，y）,则有=（x+3，y+4)，∴即M点的坐标为(0，20）.同理，可求得N（9，2）。因此=（9-0，2-20)=(9,—18)。故所求的点M、N的坐标分别为(0，20)，（9，2）,的坐标为(9，—18）.4。O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈[0，+∞）,则P的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D。垂心思路解析：此题之所以答得不好，主要原因是很多考生看不明白用向量表述的问题,理不清题意。实际上，与分别表示与、同向的单位向量，设1=λ，2=λ,则当λ=0时，P与A重合；当λ＞0时，为菱形AP1PP2的对角线，故点P在∠BAC的平分线或其延长线上。答案：B5。若a=（3,4），b∥a且b的起点为(1,2）,终点为（x，3x)，则b=___________.思路解析:∵b=（x，3x)—（1，2）=（x—1，3x-2)，且b∥a,∴3（3x—2）-4(x-1)=0.∴x=.∴b=（—，—)。答案:（—，—)6.已知点M（x，y)在向量=（1，2)所在的直线上，则x、y所满足的条件为________.思路解析:∵M在所在的直线上，∴∥.又=(x，y)，=(1，2），∴2x-y=0，即y=2x。答案:y=2x7。如图2—3-7所示，已知△ABC中A（7,8)、B（3，5)、C（4，3），M、N是AB、AC的中点,D是BC的中点，NM与AD交于点F.求图2解：∵A(7,8)、B（3,5）、C（4，3），∴=(3—7，5-8）=(—4，-3），=(4-7，3-8）=(-3，—5）.又∵D是的中点，∴=(+）=(—,—4）.又∵M、N分别为AB、AC的中点，∴F为AD的中点。∴=—=(,2）。8.已知点A(2，3)、B(5，4）、C(7,10),若=+λ(λ∈R),则λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上，点P在第三象限内？解:设点P的坐标为（x，y），则=（x,y)-（2，3)=(x—2，y—3），+λ=(5，4）-（2，3）+λ[（7，10）—(2，3）］=（3,1)+λ（5，7）=（3，1)+（5λ，7λ)=（3+5λ，1+7λ）。∵=+λ，∴(x—2，y—3)=(3+5λ，1+7λ）。∴∴P点的坐标为（5+5λ，4+7λ)。(1）若点P在一、三象限的角平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=。（2）若点P在第三象限内，则∴∴λ＜-1,即只要λ＜-1时，点P就在第三象限内.9.如图2—3—图2思路解析：本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情形分别求解。解:（1）当平行四边形为ABCD时，因为=，所以(4，1）=(x+2，y-1)，所以x=2,y=2，即D(2,2).(2)当平行四边形为ACDB时,因为=，所以（-1，-2）=(3—x，4—y），所以x=4，y=6，即D(4，6).（3)当平行四边形为DACB时,因为=，所以(—2—x，1—y）=（4,1），所以x=—6,y=0,即D（—6，0）.10.已知向量=（6,1)，=（x,y）,=（-2，—3)，当∥时，求实数x、y应满足的关系。解:=-=—(++)=-［（6,1）+(x,y）+(-2，-3)］=(—x-4，-y+2）,=(x，y)。当∥时，x（-y+2）-y(-x-4)=0，化简得y=-x。所以当∥时,x、y应满足y=—x.11.已知a=(1，2），b=（—3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向?解法一:ka+b=k(1,2)+(-3，2)=(k—3，2k+2)，a-3b=(1，2）—3(-3，2)=(10，-4)。当ka+b与a—3b平行时，存在唯一实数λ使ka+b=λ（a-3b)。由（k—3，2k+2）=λ（10，-4），∴解之，得k=—,λ=—。当k=—时，ka+b与a—3b平行，这时ka+b=—a+b.∵λ=-＜0，∴—a+b与a-3b反向.解法二：由解法一知ka+b=(k—3，2k+2），a-3b=(10，—4)，∵(ka+b）∥（a-3b），∴（k—3)×（-4）—10×（2k+2）=0.解得k=-,此时ka+b=(-—3，—+2）=(-，）=-(10，—4)=—(a—3b）.∴当k=—时，ka+b与a—3b平行并且反向.12.已知A、B、C、D四点坐标分别为A(1,0）、B(4,3)、C（2,4）、D（0，2)。证明四边形ABCD是梯形.证明：∵=（4，3)-(1,0)=(3，3），=（0，2)—（2，4)=（-2，-2)，∴=—，故与共线，即∥。∴AB∥CD.∵=(0，2)-（1，0）=（-1，2)，=（2，4）-（4，3)=（-2，1)，又∵（—1）×1—2×（—2)≠0，∴AD不平行于BC。∴四边形ABCD是梯形。13.(2005上海）已知函数f（x）=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B