数学整合提升学案：第一章坐标系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精整合提升知识网络知识回顾一、极坐标系1.极坐标与直角坐标的互化公式:2.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)ρ等技巧。3。建立极坐标系后,给定ρ(ρ≥0）和θ，就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是:（1）由θ定射线.根据θ角确定点M所在的射线OM;(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=ρ,点M的位置即可确定.4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ）(ρ≥0)。特别注意:(1）一般地,极坐标（ρ，θ）与(ρ,θ+2kπ）(k∈Z）表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示。（2）如果规定ρ≥0，0≤θ<2π，那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）表示;同时，极坐标（ρ,θ）表示的点也是唯一确定的。二、几种特殊的极坐标方程1.过点（a，0)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=a.2。过点(a，π）（a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=—a，如图(1）。3.过点(a,）（a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=a,如图(2）.4。过点（a，）（a〉0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=-a,如图（3）.5.过极点倾角为α的直线方程是θ=α（ρ∈R）.三、几种特殊位置的圆的极坐标方程1.以极点为圆心且半径为r的圆的极坐标方程ρ=r.2。过极点且圆心坐标为（a，0)(a>0）的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ.3。过极点且圆心坐标为（a，π)(a>0）的圆的极坐标方程为ρ=—2acosθ。4。过极点且圆心坐标为(a,）（a〉0）的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.四、柱坐标系如图,建立空间直角坐标系O-xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用（ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π）来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ,z）(z∈R）表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z）之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ,z）叫做点P的柱坐标，记作P（ρ，θ,z），其中ρ≥0,0≤θ〈2π，-∞〈z〈+∞。五、球坐标系如图,建立空间直角坐标系O—xyz，设P是空间任意一点，连结OP，记｜OP｜=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，θ,φ）表示.这样，空间的点与有序数组（r，θ，φ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组(r,φ，θ）叫做点P的球坐标，记作P（r，φ，θ），其中r≥0，0≤θ〈2π，0≤φ≤π.典例精讲【例1】极坐标方程4ρsin2=5表示的曲线是（)A。圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:直接由所给方程判断较难,可把它化为直角坐标方程去判断.4ρsin2=4ρ=2ρ—2ρcosθ=5。∴2=5+2x。∴y2=5x+，表示抛物线.答案：D【例2】极坐标ρ=cos(—θ）表示的曲线是…（)A。双曲线B。椭圆C.抛物线D。圆解析：ρ=cosθ+sinθ，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ。∴（x2+y2）=x+y,表示圆。答案：D温馨提示注意对称点的求法，掌握特殊的对称情况。【例3】在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程为（)A.ρsinθ=2B。ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=—4解析：如右图，⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥Ox，OA为直径，｜OA|=4,l和圆相切，l交极轴于B（2,0)，点P（ρ,θ）为l上任意一点,则有cosθ==,得ρcosθ=2。答案：B温馨提示求切线、求距离、求面积等问题要做到极坐标方程与普通方程的结合及灵活运用.【例4】如右图,长方体OABC-D′A′B′C′中，｜OA|=3,|OC｜=5，|OD′｜=3,A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标.解:求点的柱坐标,需要找到空间任意一点P在Oxy平面上的射影及在平面Oxy上的极坐标(ρ，θ）(ρ≥0，0≤θ＜2π)。C点的ρ、θ为｜OC|及∠COA,B′点的ρ、θ分别为|OB｜=，θ=∠BOA,tan∠BOA==,∴∠BOA=arctan。P点的ρ、θ为OE、∠AOE,｜OE|=|OB｜，∠AOE=∠AOB。∴C点的柱坐标为(5，,0)，B′点的柱坐标为（，arctan，3)，P点的柱坐标为（,arctan,3）.类题演练1已知点M的极坐标为(-5，），下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是()A。（5，—)B.(5，)C。(5,-）D。(—5,-）解析：注意ρ＜0时确定位置。答案：A变式提升1在极坐标系中点（ρ，θ）与（—ρ，π—θ）的位置是…()A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C。重合D。关于直线θ=（ρ∈R）对称解析:点（—ρ,π—θ）与(ρ,—θ)是同一个点，它与点（ρ，θ）关于极轴对称.答案：A类题演练2点P0（ρ0,θ0）（ρ0≠0)关于θ=(ρ∈R)的对称点的极坐标为（）A。（-ρ0，θ0）B.(ρ0，-θ0）C。(-ρ0,-θ0)D.(ρ0,)解析:P0(ρ0,θ0）(ρ0、-θ0）（—ρ0、-θ0）.答案:C变式提升2点P(-2，π）关于直线θ=(P∈R)的对称点的坐标为______________.解析:点P（-2,π)即为P（2,）。点P、P′、O组成等腰三角形，且θ=为∠POP的平分线，故为(2,)。答案:(2，）类题演练3已知直线的极坐标方程ρsin(θ+）=,则极点到该直线的距离是_______________.解析:由ρsin(θ+)=，可得ρsinθ+ρcosθ=2，即得x+y—2=0.∴点O(0,0）到直线x+y—2=0的距离为d=。答案：变式提升3已知点A（3,)，B（—4，),O(0,θ),则△ABO的面积为_______________。解析:点B(—4，)B(4,