2025届湖南省常德市芷兰实验学校高考数学倒计时模拟卷含解析

2025届湖南省常德市芷兰实验学校高考数学倒计时模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A． B． C． D．2．已知满足，，,则在上的投影为（）A． B． C． D．23．已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（）A． B．C． D．4．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()A．3 B． C． D．5．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A． B．C． D．6．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若集合，则=（）A． B． C． D．9．已知函数，，且，则（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或810．已知集合，，若AB，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．012．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________，该几何体的表面积为_________．14．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E，F分别为，的中点，，则球O的体积为______.15．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________16．设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）18．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：表1：新农合门诊报销比例医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院门诊报销比例60%40%30%20%根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例70%10%15%5%如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望．19．（12分）已知直线：（为参数），曲线（为参数）．（1）设与相交于，两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．20．（12分）已知函数（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.21．（12分）设函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且，求的最小值．22．（10分）已知两数．（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，若恒成立，求的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.2、A【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.3、B【解析】

由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为.故选B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.4、B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5、D【解析】

根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.6、A【解析】

建立平面直角坐标系，求出直线，设出点，通过，找出与的关系．通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围．【详解】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线，设点，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A．【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．7、A【解析】

由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详解】由得：，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.8、C【解析】

求出集合，然后与集合取交集即可．【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．9、B【解析】

根据函数的对称轴以及函数值，可得结果.【详解】函数，若，则的图象关于对称，又，所以或，所以的值是7或3.故选：B.【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题10、D【解析】

先化简，再根据，且AB求解.【详解】因为，又因为，且AB，所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11、A【解析】

由函数，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意函数，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、A【解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1．三视图；2．几何体的表面积．14、【解析】

可证，则为的外心，又则平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.【详解】解：，，，因为为的中点，所以为的外心，因为，所以点在内的投影为的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．15、【解析】

先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为的直角三角形，高为的棱柱，所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题16、【解析】

利用行列式定义，得到与的关系，赋值，即可求出结果。【详解】由，令，得，解得。【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】

选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.【详解】选择①时：,，故.根据正弦定理：，故，故.选择②时，，，故，为钝角，故无解.选择③时，，根据正弦定理：，故，解得，.根据正弦定理：，故，故.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）的发分布列为：X2060140400P0.70.10.150.05期望．【解析】

（Ⅰ）由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；（Ⅱ）由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得的分布列，进而求出概率．【详解】解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为，，，，而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：人，设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为，则；（Ⅱ）由题意可得随机变量的可能取值为：，，，，，，，，所以的发分布列为：X2060140400P0.70.10.150.05所以可得期望．【点睛】本题主要考查互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）；（2）．【解析】

(1)将直线和曲线化为普通方程，联立直线和曲线，可得交点坐标，可得的值；（2）可得曲线的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.【详解】解：（1）直线的普通方程为，的普通方程．联立方程组，解得与的交点为，，则．（2）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，从而点到直线的距离是，由此当时，取得最小值，且最小值为．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题.20、（1）（2）【解析】

（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用绝对值三角不等式，求得的取值范围，根据分段函数解析式，求得的取值范围，结合题意列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1），由得或或；解得.故所求解集为.（2），即.由（1）知，所以，即.∴，∴.【点睛】本小题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.21、（1）或（2）最小值为．【解析】

（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.（2）计算得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得．所以所求不等式的解集为或．（2）根据函数图像知：当时，，所以．因为，由，可知，所以，当且仅当，，时，等号成立．所以的最小值为．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.22、（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1【解析】

（1）