2023-2024学年江苏省镇江市高二（上）期中数学试卷（解析版）

2023-2024学年江苏省镇江市高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.点P（5,-5）到直线4x-3y=0的距离为（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】解：设点P（5,-5）到直线4x-3y=0的距离为d,

（）

a=-|5-x4—-3x-—5|=/

则V42+32

故选：D.

2.圆01：》2+_/+2%-6^-26=0与圆。2：/+/-4%+2丁+4=0的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

【答案】A

【解析】

【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案

［详解］由x?+/+2x—6y_26=0,得（x+lp+（y—3）2=36,

所以圆G的圆心G（T，3）,半径。=6,

由x?+~4x+2y+4=0得（》-2）2+（y+1>=1,

所以圆02的圆心G（2,T）,半径弓=1,

所以|CC|=J（T-2）2+（3+iy=5=八-2,

所以两圆内切，

故选：A

3.记$〃为等差数列MJ的前〃项和.若%+%=24,S6=48,则｛%｝的公差为（）

A.1B.2

C.4D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式及前〃项和公式利用条件为+%=24,£=48列出关于％与1的方

程组，通过解方程组求数列｛4｝的公差.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

6x5

则%+%=4+3d+%+4"=2%+7J=245=6%+—d=6q+15d=48

2%+7（/=24

联立16%+15d=48,解得《=4

故选；C.

_----1----=1

4.“2〈加＜6”是，，方程机-26-m表示的曲线为椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可.

［详解］易知2（加＜6时，加_2〉0,6_加＞0,但加=4时有加_2=6_加=2,

此时方程表示圆，所以不满足充分性，

m—2＞0

工2J＜6-m＞0=＞m€（2,4）u（4,6）

若方程加-2+6-冽一1表示的曲线为椭圆，则2。6-加

显然2＜加＜6成立，满足必要性，

—+上=1

故"2＜加＜6”是“方程加-26-m表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.

故选：B

5.已知数歹一%｝满足％=L""2%+1,则%=（）

LLL1.

A.7B.8C,9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推公式一一计算可得.

【详解】因为q=1,2%+1,

ax1出1_%_1"_&_j_

3-5

斫以出-2%+广§02a?+1-52a3+1一12tz4+l9

故选：C

22

土+匕=1_______

6.若点O和点F分别为椭圆43的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则。尸•尸尸的最

大值为

A.2B.3C.6D.8

【答案】C

【解析】

【详解】由椭圆方程得尸（一1,0）,设尸的，为），

---*--*22

X

则OPFP=（x0,为）仇+1,为）=°+沏+为

22

X。Jo

••,P为椭圆上一点，:4+3=1.

——2（1-红）亡-

x4442

,OPFP=o+xo+3=+x0+3=（X0+2）+2.

■--2<x0<2.

，丽,丽的最大值在无。=2时取得，且最大值等于6.

7.已知尸是椭圆C的一个焦点，2是短轴的一个端点，线段8尸的延长线交椭圆C于点。，且

BF=2FD,则椭圆c的离心率为（）

由1

A.3B.6C.3D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由题意设椭圆的焦点在x轴上，尸（。，0）,8（0,6）,设。（XJ）,由丽=2的解得点力坐标,

代入椭圆方程，化简即可求得离心率.

xv

—7=1（。>b>0）77/n\7x

【详解】设椭圆的焦点在1轴上，方程为。b,'（。，⑺，8Dg/n,b）,

设。（X/）,由丽=2丽，且8/=（c,-b）,FD=（x-c,y）,

由点。在椭圆上,

故/b2,整理得/3,

故离心率a3,

故选：A.

【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常

见有两种方法：

c

①求出a,c,代入公式a.

②只需要根据一个条件得到关于。，b,C的齐次式，结合〃=02—'2转化为q,c的齐次式，然后等式（不

等式）两边分别除以a或邪转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

8.已知尸为抛物线C:/=4x的焦点，过厂作两条互相垂直的直线5直线/i与C交于/、8两点，直线

b与C交于D、E两点，则|48田。国的最小值为

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】

【详解】设“（心必），8（工2，p2），°（》3，歹3），£（》4，了4）,直线4的方程为，=%（Al）,联立方程

/=4x-2k；-4Ik-+4

J=K（X-1）,得好》2_2好x_4x+好=0,...1k；k；,同理直线4与抛物线

_2-+4

的交点满足34只，由抛物线定义可知阴+口©=*+々+/+》4+2夕=

2k：+42好+4,4416

4-7-I—T+8>2/--——+8=16

—4——+k；kl丫k；k,；2

k；kfk；k：,当且仅当公=一心=1（或一1）时，取等

号

点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直

线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到

用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为a,则

\AB\=^—sin2(«+-)c°s'a

sm-a,则2，所以

M5|+|DE|=-^+^^=4(^^+

cosasmacosa

1112•2\Asincccoscc.__,

——--x)=44(z——-—+——--)(cosa+sma)=4(2+——-—+——--x)>4x(z2+2)x=16

sinacosasinacosasina

9.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中

二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,ll』6从第二项起，每一项与前一项的差组成的

新数列2,3,45是等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列现有二阶等差数列,其前六项分

%+1

别为1，3,6,10,15,21,则〃+1的最小值为（）

33

A.2B.4C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可.

【详解】数列｛"〃｝前六项分别为16,61015,21,

依题知-4=2,%—。2=3,%/=4,…—%_]—〃,

伍_1）（2+〃）/、

an-ax=2+3H-----\-n=--------------（n>2）

叠加可得：2,

2

得%n一-+n…,x

I2+1/+〃

a1=-----=1凡=------

当”=1时，2，满足2,

n2+,〃

所以2

an+\_n1_72+1111T1

所以〃+1277+12〃+12v22

〃+11

当且仅当2〃+1时，即〃=后一1时，等号成立，

又〃eN*,所以等号取不了，所以最小值在"=1取得，

4+1

当”=1时，«+1,

所以最小值为1.

故选：C

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

10.（多选）下列说法正确的是（）

A.“。-1”是"直线/x_y+l=0与直线x—ay_2=0互相垂直，，的充要条件

B.经过点（1/）且在无轴和歹轴上截距都相等的直线方程为％—2=°

C.已知直线歹=底，则直线的倾斜角为60°

D.若两直线4：（）V与2（=9平行，贝产=-7

【答案】CD

【解析】

【分析】直接利用直线间的位置关系以及直线平行和垂直的充要条件可得A错误，D正确；分别讨论截距

是否为零可判断B错误，由直线倾斜角与斜率之间的关系可得C正确.

【详解】对于A：“直线片》一＞+1=°与直线%一少一2二°互相垂直，，的充要条件是/+。=0,

解得。=0或-1,故A错误；

对于B：经过点°」）且在％轴和歹轴上截距都相等的直线方程为X+〉—2=°或＞=》，故B错误；

对于C：已知直线＞=则直线的倾斜角为满足tan©=G,故倾斜角8=60。，故c正确；

对于D：若两直线,1：（）V与2（+。）k9平行，

所以（。+3）（。+5）-8=0,解得、=一7或—1,

当。=一1时，两直线重合，故。=一1舍去，故D正确.

故选：CD.

_3

11.已知等差数列｛%｝为递减数列，且4=1,“必4,则下列结论中正确的有（

115

—an=——〃+—

的公差为2B,22

C.数列｝是公差为-1的等差数列口.%%+%=-

【答案】ABC

【解析】

3

【分析】A选项，根据等差数列的性质得到%+%=2%=2,从而求出4—5,

，得到公差，A

正确；

利用等差数列求通项公式求出B正确；

由%。"=2%,得到当〃22时，2%-2%_］=-1,结合。；=4,从而得到c正确;

_A7—2—

在C选项的基础上，求出4%='-/=—2,结合22,求出答案.

_3

［详解］由题意知，4+%=2%=2.又4%~

3

%9—2xH—=0

故心，。4可看出方程4的两根,

•.•数列｛""｝为递减数列，

d%-421

，公差22,故A正确;

ciy—a?—d=2

115

q=2+(/—K)<—=—nH——

222,故B正确;

2a“-2%=2(4_%)=2x

由上可知"4=2%则当〃22时，

当〃=1时，a」=4.

•・•数列｛%%｝是首项为4,公差为-1的等差数列，故C正确;

由C选项知：%/=5-〃,故—=5-7=-2,

%

22

-13

QjQ,+。4=5-/+———-

故D错误.

故选：ABC

12.已知尸是左右焦点分别为公，鸟的椭圆4+2一上的动点，回（°,2）,下列说法正确的有（）

一明+陀=4B.附H*的最大值为20

MP

C,存在点P,使40耳=120°D.\\的最大值为2+V2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对于选项4由椭圆的定义可得选项A正确;

对于选项尻由椭圆的性质可知I尸耳H尸g&2亚，故选项B正确;

对于选项C,又由椭圆的性质可知：当点尸为椭圆的上顶点或下顶点时，/耳尸月最大，所以

4PB:60。

2,即4尸尸2<120。，故选项C错误；

对于选项小设尸,？。（^。,^^^。），则|MP|=J-2（sin。+上）2+12,当$也夕=—1时，

也尸京=2+色故选项。正确，

【详解】对于选项4由题设可得：°=2,b=6=c,

由椭圆的定义可得：10片1+10乙卜2"=4,故选项A正确；

对于选项民由椭圆的性质可知：1=2C=2V2（当尸为椭圆的右顶点时取”=”），故选

项8正确；

对于选项c,又由椭圆的性质可知：当点尸为椭圆的上顶点或下顶点时，/耳壁最大，此时

tanZF'PF2=-=V2<V3"即<60。ZFPF<120°「

2b，所以2,即〃。2<1"，故选项C错误；

对于选项“，设P（2cos，,sin8）,则

\MP\=7（2cos6»-0）2+（V2sin6-2）2=J-2s加?6»—4也sin。+8=J-2（sind+也f+12当sind=—]时

囚尸京=2+色故选项。正确，

故选：ABD

【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.

（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通

过讨论函数的值域来求参数的变化范围.

（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有

三角式.

（5）利用数形结合分析解答.

13.已知圆C：（x—=1,点尸是直线/：x+J=°上一动点，过点P作圆C的切线尸4尸8,切点

分别是A和8,下列说法正确的为（）

]_

A.圆°上恰有一个点到直线/的距离为aB.四边形/C8尸面积的最小值为1

C.切线长4的最小值为1D.直线N8恒过定点

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,利用圆心到直线/的距离公式,即可求解；对于B,由圆的性质，切线长

E=JPC12_/=Jpc0—1,当|PC|最小时，眼有最小值，即可求解；对于C,四边形尸的

面积为1PHlc闻引尸即可求解；对于D,由题可知48在以尸C为直径的圆上，利用两圆方程求得直

线48的方程，即可求解.

【详解】对于A,因为圆C：（x—2?+/=1,所以圆心C（2,0）,半径厂=1,

则圆心C到直线/：x+>=°的距离为£所以直线与圆相离，

所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为3—1VdVa+1,

V2-l<-<V2+1，所以圆上有两个点到直线/的距离为故错误;

而2C5,A

当『q最小时，忸闻有最小值，此时即1尸。1皿=后,

则⑹小k1=1

故C正确;

S=SACP+SRCP=2X-X\AP\X\AC\=\AP^CA=\AP\

对于B,四边形如8尸的面积为：…皿2...........................,

因为14Plmm=L故四边形ZC8尸的面积为1,故B正确；

对于D,设尸&T),因为P4P8为过点尸作圆°的切线，

^PALAC,PBLBC则4台在以尸C为直径的圆上，又。(2。),

/.(x-?)(x-2)+(7+)(j-0)=0x2+y2-(t+2)x+ty+2t=0

又圆C：(X_2)2+y2=],即+y2_4x+3=0,

上述两式相减，得直线28的方程为G—/+少—3+2/=°,即2x-3T(x-y-2)=0,

'2x-3=031(3O

vx=-y———j—

由1X—y—2=0,得2',2,即直线48恒过定点(22人故口正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是分析得48在以尸C为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直

线48的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解.

三、填空题：本大题共5小题，共20分.

14.直线//—左+1过定点为.

(U)

【答案】

【解析】

【分析】先把直线化为点斜式，从而可确定定点.

【详解】直线/可化为点斜式=

所以直线""一上+i过定点°』）.

故答案为：

15.与双曲线169共渐近线且过点的双曲线方程是

£

9_x2

【答案】44

【解析】

1

【分析】据题意可设所求方程为169，代入点坐标可得到4,进而求得双曲线方程.

二-片-2/r\2--1

【详解】据题意可设所求方程为169，把C3，一3力代入易得Z,故所求双曲线方程为

2

------2

2—匕=1

44.

2_二=1

答案：44

【点睛】求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立见8,的方程，求出"I'2即可，注意

c2=/+a2,e=g£._Zl=/l

。的应用；离心率相同的方程可设为。2/.

16.在数列也｝中,%=4,%=3%-2,则%=.

【答案】3"+1

【解析】

【分析】利用构造法构造数列｛%—",即可求解.

【详解】解：因为％=3a「2（〃eN）

所以％T=34_l),

生匚=3

所以％T,

所以数列「I｝是一个等比数列,

所以%-1=(4-1>3y,

=3"+1

所以

故答案为：3+1.

2

x5=1(4>6>0)

~+

17.已知,I为椭圆ab上的左右顶点，设点尸为椭圆上异于48的任意一点，直线

的斜率分别为左，左2,若椭圆离心率为2,则占,k2为

【答案】4##-0.25

【解析】

【分析】由题意可得3°),设POWo),由题意可得°力的关系式，结合椭圆系数的关系和

离心率的定义可得.

【详解】解：由题意可得3(%°),设PRoM,"±。,

.I2_J。2..

则由P在椭圆上可得。，

二.直线4P与8P的斜率之积为/—ax0+ax^-a'",

V3cV3Lb2V3

1

:椭圆离心率为——2,可得—a=——2,即AY(2T~2,

b^_]_

故片4.

人.左2=一;

即

故答案为：4.

22

C:二+匕=1_

18.已知椭圆4b和直线/：V=MX+1,若对任意的加eR,直线/与椭圆C恒有公共点，则

实数b的取值范围是.

［答案］［1，4）U（4,+CO）.

【解析】

【分析】由已知直线过定点（°，1），可得（°」）在椭圆内部或在椭圆上，然后分类讨论得答案.

【详解】•••直线/：歹=E+1恒过定点（0,1）,

要使直线1与椭圆c恒有公共点，

则（°，1）在椭圆内部或在椭圆上，

22

C:土+2=1

若椭圆4b是焦点在X轴上的椭圆，贝口46<4；

22

C:二+匕=1

若椭圆4b是焦点在》轴上的椭圆，则b〉4.

:•实数6的取值范围是：Du"+"）.

故答案为：［1'4）"4，+女）.

四、解答题：本题共8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19.已知数列｛恁｝是一个等差数列，且。2=1，〃5=-5.

⑴求⑷｝的通项an\

⑵求｛见｝前n项和Sn的最大值.

【答案】（1）。“=-271+5.（2）4

【解析】

【详解】（I）设｛an｝的公差为d,由已知条件,，解出ai=3,d=—2.

所以an=ai+（n—l）d=—2n+5.

（II）S〃=nai+d=—n2+4n=—（n—2）2+4,所以n=2时，S〃取到最大值4.

20.如图，己知等腰直角三角形48c的斜边48所在直线方程为>=2x-5，其中A点在3点上方，直角

顶点C的坐标为（1'2）.

（1）求N3边上的高线CH所在直线的方程；

（2）求三角形48c的面积.

【答案】（1）%+2歹-5=0

（2）5

【解析】

【分析】（1）利用两条直线垂直的条件可得C"的斜率，再利用点斜式写出直线C"的方程；

（2）利用点到直线的距离公式求得再根据等腰直角三角形的性质与面积公式，求解即可.

【小问1详解】

左=_J_

设C〃的斜率为左S,因为斜边所在直线方程为V=2X-5,所以C"2,

又加经过点CM）,所以3：一=」（一），

即C”的直线方程为3：x+2y-5=0.

【小问2详解】

出-2-5|一指

\CH\-I--------------------------—ZJ

松+「1)2

由题意知，

因为△45C是等腰直角三角形，

所以|阳=2|阳=26,

-\CH\-\AB\=-x45x245=5

所以△4gC的面积为2

21.已知椭圆的焦点为「（£0），片（6,0）,该椭圆经过点p（5,2）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上的点M（x。，打）满足孙,他，求y0的值.

-----1=1K—±—

【答案】(1)459(2)2

【解析】

【详解】试题分析：(1)根据椭圆定义得a,再根据c求b(2)由"Gl耐得/―36+了；=°,再与

椭圆方程联立解得y0的值.

22

二+与=1(。〉b>0),

试题解析：(1)依题意，设所求椭圆方程为ab-

其半焦距c=6.

因为点P(5,2)在椭圆上，

所以2。=附|+|尸闻=&5+6)2+22+a5-6)2+22=6石

所以a=3行,从而〃-a2-c2=9

22

工+匕=1

故所求椭圆的标准方程是459.

⑵由的，叫得

MF,-MF,=(-6-x0,-y0)-(6-x0,-y0^=x1-36+.v；=0

222=2

即4=36-常代入椭圆方程得：-04

22.如图，一抛物线型拱桥的拱顶。离水面高4米，水面宽度N5=10米.现有一船只运送一堆由小货箱

码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持

平.

1U

(1)问船只能否顺利通过该桥？

(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm.若每层小货

箱高3cm,且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央

通过？

【答案】(1)货箱能顺利通过该桥；

(2)需要增加26层可恰好能从桥下中央通过.

【解析】

【分析】(1)以。为原点，过。垂直于N2的直线为了轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程

为9=叼，根据题意知点8(5,-4)在抛物线上，求解抛物线方程，设C(3,-4),过C作的垂线,

交抛物线于。(3,%)，求出CD,即可判断货箱是否能顺利通过该桥.

(2)根据题意，结合(1)的结论进行求解即可.

【小问1详解】

以。为原点，过O垂直于N8的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：

设抛物线方程为9=叼，根据题意知点3(5,-4)在抛物线上;

25225

m=-----x=------------y

.\25=-4m；；.4.4.

可设C(3,-4),过C作48的垂线，交抛物线于。(3,为)，

c2536

9------%y()-------

则4一•.25；

|CZ)|=---(-4)=—>1.5

V2525；.•.货箱能顺利通过该桥.

【小问2详解】

64

(-——1.5)x100=106(°掰)

由题(1)知，货物超出高度为25,

每增加一层，则船体连货物高度整体上升3+1=4(°加)，

106-2“

=26

由货物与桥壁需留下2c〃,间隙.则需要增加层数为4层，

答：船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过.

23.某公司从2020年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长50%.预计以

后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x万元，余下资金再投入下一年的生产.

设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为4万元.

(1)用x表示为,“2,并写出%+i与4的关系式；.

(2)若企业希望经过5年后，使企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金x的值(精

确到万元).

a

［较安］(1)\~1500-x,6/2=2250-2.5%tzw+1=1.5an-x

(2)x=348

【解析】

【分析】⑴根据题意直接得％MOO-x,出=%0+50%)-x,进而归纳出

%+i=L5%-x；

(2)由⑴可得""=L5"%「X(1+L5+L52+…+1.5"-2),利用等比数列的求和公式可得

%(1500-3x)+2》,结合4=3000即可计算出.的值.

【小问1详解】

由题意知，

4=1000(1+50%)—x=1500—x

%=%(1+50%)-%=1.5^-x=1.5(1500-x)-x=2250-2.5%

，

an+l=an(1+50%)-x=1.5%-x

【小问2详解】

由⑴可得,%+i=L5%-x

2

ppjan=1.5an_1_x=1.5(1.5a“-2-x)-x=1.5aB_2-1.5x-x

n122

••­=1.5-a1-x(l+1.5+1.5+---+1.5"-)

a=1.5"T(1500-x)-2x(1.5"T-1)=1.5”T(1500-3x)+2x

所以n

,1

即“"=1.5-(1500-3x)+2%

当%=3000时1.5"-1(1500-3x)+2%=3000

1500(2"-S"-1)

x=-------------------(n>3)

解得2"-3"I

1500(25-35-1)

x=------2―-~«348

当〃=5时，2—3万元.

故该企业每年年底扣除消费资金为348万元时，5年后企业剩余资金为3000万元.

22

-=l(cz>0,6>0)

24.已知直线y=2与双曲线cab交于4,8两点，尸是c的左焦点，且

AFLAB,\BF\=2\AF\

(1)求双曲线C的方程;

_2

(2)若P,。是双曲线C上的两点，〃是C的右顶点，且直线M尸与M0的斜率之积为3,证明直线

尸0恒过定点，并求出该定点的坐标.

X------=1

【答案】(1)2

(2)证明见解析，直线P0恒过定点(-2,0)

【解析】

【分析】(1)利用双曲线的几何性质求出b、c,即可求出双曲线C的方程;

(2)设直线〃尸与的斜率分别为左，右，分类讨论：①当直线尸。不垂直于x轴时，利用“设而不

求法”求出加=2左，判断出直线PQ过定点(-2,0).

②当直线尸0垂直于x轴时，设尸&"),解得’=—2,判断出直线尸0过定点(-2,0)

【小问1详解】

因为/尸，肛所以M=2,忸/=4,2|=26

设双曲线C的焦距为2c,由双曲线的对称性知।AB=2c=2A/3

设双曲线C的右焦点为―则忸同一)同=忸同一忸尸|=2"=2,得0=1,

,F6工2_9=]

则6=A/C-a=72,故双曲线C的方程为2.

【小问2详解】

由已知得"O'°),设直线MP与MQ的斜率分别为％1,右，

①当直线PQ不垂直于x轴时：

设直线尸0的斜率为比P。的方程为〉=履+〃'，(1，(2，丁2),

y-kx+m,

<2

2y_

由'2—1'彳曰(左之—2卜之+2加工+机2+2=0当△=8小？一左2+2)>0时

-2kmm2+2

X+x=-xx=—；------

127左2—2,129k2-2,

(he[+m^(kx+m)k1xx+km(x1+x)+m2

必弘2x22

左]左2=

(国T)(%2T)(占T)(12T)中2-G1+%2)+1

那么

F(m2+2)2后7?_2

k?-2—kF""=2(k+m)(k-m)=2(k-m)=_2

加2+2+2km+](左+加yk+m3

左2—2左2—2，得m=2k,符合题意.

所以直线尸0的方程为"M"+2),恒过定点(一2,0).

②当直线PQ垂直于x轴时：

设P6"),因为P是C上的点，所以肥=2/-2,

,,-『2-2/2(1+。2

则(F(-)j3,解得，二一2,

故直线PQ过点(-2,0).

综上，直线P0恒过定点(-2,0).

25.已知正项数列制｝前"项和为S",且满足4S"=(%+1).

(1)求％;

b+1

(2)令记数列｛〃｝前〃项和为北，若对任意的“eN*,均有

(3〃+4)能2(2〃—5)($—北＞2"

9恒成立，求实数机的取值范围.

a=2/7-16?eN*)

【答案】(1)"I)

-1)

⑵1——12,+°0J

【解析】

【分析】(1)根据%与*的关系即可求解；

(2)利用错位相减法求解得北，参变分离即可求机的范围.

【小问1详解】

因为4s.=(%+以，

当〃22,〃eN*时，有4s“_[=(4_]+1)2,

两式相减得

4%=%2-aj+2an-2an_^移项合并同类项因式分解得

4+%.12)=0

因为

所以有4—%-1-2=0,

在4s“=(4+1)中，当〃=1得％=1,

所以数列W是以1为首项，以2为公差的等差数列,

故有％=2〃—l(〃eN*)

【小