艺考生专题讲义03 常用逻辑用语

考点03常用逻辑用语知识梳理1．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3)如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．(4)如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．(5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件．2.全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x)x∈M，p(x)x∈M，p(x)x∈M，p(x)精讲精练题型一充分必要条件的判断例1已知，则“”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，“x<2”成立，但,故“”，故“x<2”不是“”的充分条件，“”等价于，即能推出，∴“x<2”是“”的必要条件，故“x<2”是“”的必要不充分条件，故选:B.举一反三1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．2．“1<x<2”是“x<2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵x<3－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p是q的必要不充分条件，故选C.方法总结1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．题型二充分必要条件的选择例2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是()A． B． C． D．【答案】D【解析】“”为真命题，可得，因为，故选:D.举一反三1．命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A． B． C． D．【答案】B【解析】命题为真命题，则对恒成立是的真子集是命题为真的充分不必要条件本题正确选项：2．若p:，且是的充分不必要条件，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为是的充分不必要条件，所以，故选:A.3．已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】B【解析】由得或，解得：或，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是或的真子集，可得：.故选：B4．已知集合A={x|x>5}，集合B={x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(-∞，5) B．(-∞，5] C．(5，+∞) D．[5，+∞)【答案】A【解析】【解析】由题意可知，A⫋B，又A={x|x>5}，B={x|x>a}，如图所示，由图可知，a<5.故选：A.题型三含有一个量词的命题的否定例3命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是_________________________．答案任意一个无理数，它的平方不是有理数解析根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．举一反三1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：任意x∈A,2x∈B，则p是________．答案存在x∈A,2x∉B解析命题p：任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定p应为：存在x∈A,2x∉B.2．已知命题p：x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0，则￢p为____________________．答案∀x∈R，x2＋2x＋2>0方法总结①要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”；②在写出全称命题（或存在性命题）的否定时，一般要在两个地方做出变化：一是量词符号，全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词；二是命题中结论要进行否定．③弄清命题的否定与否命题的区别“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.例4命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]解析由题可知原命题的否定“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).举一反三1．已知命题p：x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0，则￢p为____________________．答案∀x∈R，x2＋2x＋2>02．命题“x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．答案x∈