2023年浙江中考数学二模试题分项汇编：图形的性质问题（解析版）

专题05图形的性质问题汇总

一、单选题

1.（2023•浙江•模拟预测）如图，点N为直线8。外一点，AC1BD,垂足为点C,点/到直线AD的距离

是线段（）的长度.

A.ACB.CDC.BCD.AD

【答案】A

【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念即可解

答.

【详解】解：18。，垂足为点C,

•・•点A到直线8。的距离是线段/C的长,

故选：A.

【点睛】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离.点到直线的距离是一个长

度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它只能量出或求出，而不能说画出，画出的

是垂线段这个图形.

2.（2023•浙江•模拟预测）如图，AB//CD,Zl=50°,贝上2=（）

A.140°B.130°C.120°D.50°

【答案】B

【分析】先证明乙4。£+/2=180。，再由44QE=1=5O。，从而可得答案.

【详解】解：如图，-：AB//CD,

•Z0E+N2=18O°,

QX\

AB

■：Zl=50°,

...ZAQE=Z1=50°,

.­.Z2=180°-Z^g£=130°；

故选B.

【点睛】本题考查的是对顶角相等，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键.

3.（2023•浙江湖州•统考二模）如图，直线。||6,c是截线,若41=50。，则42=（）

A.40°B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得N3=Zl=50。，再根据对顶角相等即可得.

【详解】解：如图，•.・。|也4=50。，

/3=/1=50°,

由对顶角相等得：Z2=Z3=50°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

4.（2023•浙江温州・温州市第四中学校考二模）如图，点8在以为直径的半圆上，3是灰的中点,

连接8。，/C交于点E,若NEDC=25。,则的度数是（）

C.40°D.45°

【答案】c

【分析】连接根据点8是元中点求出N/OC=50。，根据三角形内角和可求解.

・••2是就的中点，ZEDC=25°,

ZADB=ZEDC=25°,

ZADC=ZADB+ZEDC=50°,

是直径，

ACAD=90°,

ZACD=90°-ZADC=40°.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆的性质，掌握圆内弧和圆周角的关系以及三角形内角和是解题的关键.

5.（2023•统考二模）如图，AB与。。相切于点3,若OO的半径为2,AB=3,则NO的长为（

Q

BA

A.75B.而C.sf\3D.4

【答案】C

【分析】连接08,根据切线的性质可得进而勾股定理即可求解.

【详解】解：如图所示，连接

■■AB与QO相切于点B,

；.0BLAB,

・•,G>O的半径为2,AB=3,

在RtZWOB中，08=2，40=胃炉+9="+22=万,

故选：C.

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

6.（2023•浙江金华•统考二模）若长度分别为a,2,3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是

（）

A.1B.2C.5D.8

【答案】B

【分析】根据三角形三边之间的关系可得1<。<5,再逐一分析即可.

【详解】解：3-2<"3+2,

故只有2符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用三角形三边之间的关系是解决本题的关键.

7.（2023・浙江•模拟预测）如图，AB//CD,乙4=52°,ZC-ZB=6°,则ZB的度数为（）

C.55°D.58°

【答案】A

【分析】根据平行线的性质得出NC=NN,根据NC-N8=6。，即可求解.

【详解】解：•••,AB//CD,ZA=52°,

NC=/A=52°,

■.■ZC-ZB=6°,

.•./8=/C-6°=52°-6°=46°,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.

8.（2023・浙江•模拟预测）如图，。。的直径CD垂直弦N8于点E,且CE=3,DE=7,贝l]/E=（）

卜，

I/

.4\

>D

A.4B.2C.V21D.V29

【答案】C

【分析】连接CM，根据题意先求出半径，在中，利用勾股定理求解.

【详解】解：连接CM,如图所示.

•••CE=3,DE=1,

OA=OD=—CD=—（CE+DE）=5,OE=DE—OD=2,

在RtAAOE中，AE=>JOA2-OE2=,5?-2?=后.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，熟练运用相关定理是解题的关键.

9.0023•浙江•模拟预测）如图，已知AB是。。的直径，2C与。。相切于点瓦连接NC,若BC=1,OB=6，

则AC的长为（）

A.3B.2C.百D.1

【答案】A

【分析】根据切线得到乙42c=90。，结合勾股定理即可得到答案；

【详解】解：rBC与。。相切于点2,

NABC=90°,

,：OB=C.，48是。。的直径，

AB=2C,

•••BC=\,

■■AC=7（2A/2）2+12=3，

故选：A.

【点睛】本题考查圆切线性质及勾股定理，解题的关键是根据切线得到直角三角形.

10.（2023•浙江宁波•统考二模）如图，点。、£是A/BC边8C上的三等分点，且ADIBC,尸为4D的中

点，连接班'、EF,若BF=3,则/C的长为（）

A.4.5B.6C.7.5D.9

【答案】B

【分析】由已知条件可得斯=8尸，可证E尸是△加C的中位线，从而可以求解.

【详解】解：.•・£）、E是08C边上的三等分点，

.：。是3后的中点，E是的中点，

•••AD1BC,

.-.EF=BF=3,

•••万为4D的中点,

.•.E尸是AD4c的中位线，

AC=2EF=6.

故选：B.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形中位线的性质，掌握相关的性质是解题的关键.

11.（2023•浙江金华•统考二模）如图，在中，NB=75。,ZC=45°,BC=6-26,P是上一动

点，PELAB于点、E,尸。_L/C于点。，则线段DE的最小值为（）

A.y/3B.1C.3A/3-3D.4拒-6

【答案】A

【分析】当3c时，线段。E的值最小，利用四点共圆的判定可得：/、E、P、。四点共圆，且直径为

AP,得出NNED=NC=45。，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得"EZJsjcB,贝I]

ArFD

—,设/O=2x，表示出NE和NC的长，求出/E和NC的比，代入比例式中，可求出DE的值•

ACBC

【详解】解：当APLBC时，线段DE的值最小（因为4E、P、。四点共圆，尸/是直径，ABAC=60

定值，所以直径尸4最小时，所对的弦最小），如图1,

^.^PE：LAB于点E,L/C于点。,

NAEP=ZADP=90°,

：.ZAEP+ZADP=180°,

.・/、E、P、。四点共圆，尸4是直径，

在RMPQC中，ZC=45°,

••・△尸。。是等腰直角三角形，尸。=45。，

・・・AAPD也是等腰直角三角形，

・•・/。4。=45。，

.・.ZPED=ZPAD=45°,

NAED=45。,

・•.ZAED=ZC=45°,

•；/EAD=/CAB,

・•・AAED^^ACB,

AEED

,•就一前’

设4O=2x,则尸。=。。=2%，Z尸=2岳，

如图2,取ZP的中点。，连接E。，

图2

贝1」4。=。5=。尸二岳，

•・•/LEAP=ABAC-ZPAD=60。—45。=15。，

・•.ZEOP=2ZEAO=30°,

过后作EW_L4P于

贝UEM=——x，cos30°=——,

2OE

•*OM=日乂亚天=^~%,

V22

.V6_2V2+V6

,•A.M=72xH-----x---------------x，

22

由勾股定理得：/£=JN"+EN，=J2也;瓜*+［曰工）=（6+1卜，

.（V3+l）xED

4尤-6-273,

-,-ED=V3，

则线段DE的最小值为百，

故选:A

【点睛】本题考查了四点共圆的问题，四点共圆的判定方法有：①将四点连成一个四边形，若对角互补，

那么这四点共圆；②连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆；通过四点

共圆可以利用同弧所对的圆周角得出角相等，从而证得三角形相似，得比例式，使问题得以解决.

12.（2023•浙江温州•统考二模）如图，正五边形/8CDE内接于OO.对角线/C,BD交于点、F,则"ED

的度数为（）

E©

A.106°B.108°C.110°D.120°

【答案】B

【分析】如图，先根据正五边形的性质，可知蕊①

==3圆周长，进而求出

ZDBC=ZACB=^x^x36Q°=36°,求出/力阳=/8斤C=

：108。，即可得到答案.

【详解】•••五边形NBCDE为正五边形，

AB=BC=CD=DE=EA

AB=CD=圆周长

ZDBC=ZACB=-x-x360°=36°

25

尸。=180°—2x36°=108°,

AAFD=ABFC=\^°，

故答案为B

【点睛】本题以正多边形和园为载体，考察正多边形和园的性质为核心，灵活运用相关定理来分析求解即

可.

13.（2023•浙江•模拟预测）如图，在。。中，直径与弦CD相交于点E,连接弦8C,BD,AD.若

ZABC=2ZABD,给出下列结论：①BC=BE；@2AD2=AE-AB,则下列判断正确的是（）

A.①，②都对B.①，②都错C.①对，②错D.①错，②对

【答案】A

【分析】根据已知条件设乙=贝IN48c=2a,根据直径所对的圆周角是直角得出/E4D=90。-々,

根据同弧所对的圆周角相等得出N4DE=AABC=2a,根据三角形内角和定理以及对顶角相等得出

NBCE=NBEC,根据等角对等边即可判断①，连接D。，证明，根据相似三角形的性质，

即可得出②，从而求解.

【详解】解：如图所示，连接。。，

ZABC=2.ZABD,设=则4BC=2a,

''AC=AC'

/ADE=ZABC=2a,

■■AB是直径，

：.ZEAD=90°-a,

在/\AED中，NAED=180°-ZEAD-ZADE=180°-（90°-a）-2a=90°-a,

/BEC=ZAED=90°-a,

在△CBE中，AECB=180°-AEBC-ACEB,

二180。-2a-(90。-0=90。-a,

・•.NBCE=/BEC,

.，BC=BE；故①正确；

OD-OA,

NOAD=/ODA=90。一a,

/.ZODA=/DEA,

又/EAD=/DAO,

：.^ADE^^AOD,

AD_AE

,茄一而’

1

即AD92=AOxAE=-ABxAE,

•••2AD2=AEAB，故②正确，

故选：A.

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰

三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

14.（2023•浙江温州・统考二模）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFG”组成，恰好拼成一

个大正方形/5C。，小正方形EFG”的对角线9向两边延长，分别交边43于点“，交边于点N.若

E是的中点，则到的值为（）

AB

3百VioV52A/W

----RD.------rC.ND.-----

5325

【答案】B

【分析】根据正方形的性质得到/。=/2=3。=8=囱〃，NEFH=NMFK=45°,再利用锐角三角形函

数得到MK=FK=W,最后根据勾股定理及全等三角形判定与性质即可解答.

【详解】解：过点〃•作于点K,设4E=a,

・・・£是的中点，

・♦.AH=2a,

A.D=yfsci?

・・•在正方形中，

AD=AB=BC=CD=y/5a,

■：ZEFH=ZMFK=45°,

:.设MK=FK=x,

・•.BK=BF-FK=a-x,

八，“AE1

,/tan/MBK=----=—,

BE2

八iMK1

.♦.tan/MBK------——,

BK2

x_1

a-x2'

：.x=—a,

3

：.MK=FK=-,

3

・・・在凡△依/中，MF=^MK2+FK2=—tz,

3

•・・正方形4BCZ）是由四个全等的直角三角形和一个小正方形斯组亦

・•・QGC知ABE,

.・.ZFBM=ZHDN,

•・•在ABMF和ADNH中,

/EFH=/MFK=45。

<ZFBMtZHDN

BF=DH

ABMF为DNH(AAS),

•・・在Rt^EFH中，FH=y/EF2+EH2=也a，

…2A/2/-55/2

MN----6?+V2Q-------ci，

33

5V2

.-.MN~^~aVlO,

AB-J2a3

故选B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数，掌握锐角三

角形函数是解题的关键.

15.（2023•浙江金华•统考二模）如图，在正六边形N8CDE/中，2c=2,点。在对角线工。上，

BO1OF,以。为圆心，为半径画弧，分别交居于点M,N.则曲的长为（）

【答案】D

【分析】如图，连接。N,OM,证明/A4O=/E4O=60。，而8。，。尸，可得=N/O尸=45。，可

ZABO=ZAFO=180°-60°-45°=75°,OB=OM,ON=OF,证明NMON=90°-2x30°=30°,过B作

BH_LAO于H,AB=2,可得=N3・cos60。=1,BH7展-f=5求解BH=HO=C,可得

BO=J3+3=a，从而可得答案.

【详解】解：如图，连接ON,OM,

•・•正六边形

・•./BAO=/FAO=60°,

而BO_LOF,

ZAOB=ZAOF=45°f

/.ZABO=ZAFO=180°-60°-45°=75°,

vOB=OM,ON=OF,

AMBO=ABMO=ZOFN=ZFNO=75°,

.../BOM=/FON=3V,

AMON=90。—2x30。=30。，

过8作于〃，AB=2,

AH=4&cos60°=1,

BH=V22—I2=VJ，

•'"BOH=45°,

ABOH=AHBO,

：.BH=HO=6,

•*-BO=J3+3=y/6,

.73。兀义娓屈兀

I-~、=-------=----,

MN1806

故选D

【点睛】本题考查的是圆与正多边形的应用，勾股定理的应用，特殊角的三角函数值的应用，弧长的计算,

作出合适的辅助线是解本题的关键.

16.（2023•浙江•模拟预测）如图，是“8C的高线，则下列结论正确的是（）

A.若BD>CD,则B.若AC>BC,则

C.若BD=CD,则=D.若/。=8C,则Z8=NC

【答案】C

【分析】根据已知条件ND是“BC的高线，则ND/8C,ZADB=ZADC=90°,进而逐项分析判断即可

求解.

【详解】解：是“BC的高线，

AD1BC,AADB=ZADC=90°,

A,若BD>CD,则ZB/D>NZMC,

vZB=90-ABAD,ZC=90-ZCAD,

■.ZB<ZC,故该选项不正确，不符合题意；

B.若AC>BC,则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；

C.若BD=CD,

在△48。,△/CD中，

AD=AD

<NADB=NADC=90°,

BD=CD

△ABD名LACD,

.•.4B=AC,故该选项正确，符合题意；

D.若AD=BC,不能判断4B=/C,则48=NC不一定成立，故该选项不正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形高的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解

题的关键.

17.（2023•浙江•模拟预测）如图，P为。8C内一点，过点P的直线与边48,4C分别交于点M,N,

若点点N恰好分别在2P,。的垂直平分线上，记NP8C=a,4A+24PCB=/3,则&,分满足的关

系式为（）

A

N

B匕----------------3C

A./?-«=90°B,〃-2tz=90。C.a+1/?=90°D.尸+；a=90。

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理可得/PBC+/PC8=18（）o-/5PC,NAMP+ZANP=180。-NA,根据平角

定义可得/"PB+/NFC=180O-48PC,结合点M,点N恰好分别在BP,CP的垂直平分线上可得

ZPBM=AMPB,NNPC=NNCP,结合三角形内外角关系可得=/NNP=2/NPC,即可

得到答案；

【详解】解：•.・点点N恰好分别在3尸，”的垂直平分线上，

：.PM=BM,PN=CN,

■.ZPBM=ZMPB,ZNPC=ZNCP,

-：ZPBC+ZPCB=180°-ZBPC,ZAMP+ZANP=180°-Zyl,ZAMP=2ZMPB,ZANP=2ZNPC,

ZMPB+ZNPC=180°-ZBPC,NPBC=a,ZA+2ZPCB=/3,

+；4=90°,

故选C.

【点睛】本题考查三角形内外角关系，三角形内角和定理及垂直平分线的性质，解题的关键是根据几个关

系等到角度关系.

18.（2023•浙江温州・统考二模）如图，在给定的正方形A8CZ）中，点E从点8出发，沿边8C方向向终点C

运动，DFLAE交AB于点F,以FD,EE为邻边构造口。尸EP,连接CP.则/DbE+/EPC的度数的变化

情况是（）

A.一直减小B.一直减小后增大C.一直增大D.先增大后减小

【答案】A

【分析】如图，过尸作尸”，8C的延长线于石，根据正方形的性质，平行四边形的性质可得乙4£尸=90。,

DF=PE,ZDFE=ZDPE,ZBAE=ZHEP=ZADF,证明尸(ASA),则/尸=3£,证明

AEHP冬ADAF(AAS),则尸〃=/尸，EH=AD,PH=BE,由BC=AB=4D=EH,可得BE=CH,即

CH=PH,ZPCH=45°,尸在NDC77的平分线上运动，ZDFE+ZEPC=ZDPE+ZEPC=ZDPC,

/DPC随着尸点右移，角度一直减小，进而可得结果.

【详解】解：如图，过P作7WL8C的延长线于“，

AD

BECH

--DF±AE,四边形DFEP是平行四边形，

ZAEP=90°,DF=PE,ZDFE=ZDPE,

•.•正方形A8C。，

:.NBAE=NHEP=ZADF,

•••ZBAE=ZADF,AB=AD,AB=ZDAF=90°,

.•."BEADAF(ASA),

••・AF=BE,

•：NHEP=/ADF,ZH=ZDAF=90°,PE=DF,

・•.AEHP咨公DAF(AAS),

PH=AF,EH=AD,

PH=BE,

BC=AB=AD=EH,

・•.BE=CH,

・•.CH=PH,

/.ZPCH=45°f

P在ZDCH的平分线上运动，

••・ZDFE+ZEPC=ZDPE+ZEPC=ZDPC,

・•.ZDPC随着。点右移，角度一直减小，

NDFE+NEPC的度数一直减小，

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与

性质，角平分线等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

19.（2023•浙江温州・统考二模）六一儿童节快到了，小亮在图纸上先画了一个边长为6cm的正方形，再以

该正方形的四个顶点为圆心、6cm长为半径作弧，则图中实线所示的饰品轮廓的长为（）

---6cm---------►£

-------

I\/

I//•

6cm>；

I•.•

»!一1，'---?

A.6V^cmB.127rcmC.671cmD.1272cm

【答案】C

【分析】如图，由题意知，AB=BF，ED=DG，则益+石+应+访=赤+公，根据

奇方907x690万义6工番#.切布一r

EF+AG=[go+1go计算求解即可.

【详解】解：如图，

.4<-------6cm--------►卜：

6cm；\B加

由题意知，AB=BFED=DG^

•*-AB+AD+EB+ED=BF+EB+AD+DG=EF+AG，

90%x6907rx6

・.・EF+AG=--------------1--------------=6万(cm),

180180

・•・实线所示的饰品轮廓的长6兀cm,

故选：C.

【点睛】本题考查了弧长，正方形的性质.解题的关键在于明确轮廓的表达形式.

20.（2023•浙江温州•校考二模）如图，在中，NACB=90。,以其三边为边向外作正方形，连接

AD,AH,AG,DH,若4H=4G=U）,则S△也改的面积为（）

c.20V5D.10V10

【答案】A

【分析】连接HC并延长交40于点Af,得出设48=c,/C=48c=a,依题意/十/，

根据已知条件得出2ab+/=50,a2+b2=50,求得a=而,6=2可，进而求得，根据三角形面积

公式即可求解.

【详解】解：如图所示，

连接HC并延长交/。于点”，

•.•四边形CMS,NCAE是正方形，且4C,/；2c,8共线,

ADCM=ABCH=AACM=ZICH=45°

■.HMLAD

设AB=c,AC=b,BC=a,依题意,2=>+/

■：AH=AG=W

.•.（V2/45）2=2（a2+62）=100,++〃=100

即。2+〃=50①，2a2+2ab+b2=100

■-2ab+a2=50@

由①②得/=2H，

bw0

b=2a③

将③代入①得1+4]=50

解得：a=M（负值舍去），则。=2而

AD=同=46，AH2=（AC+CI）2+IH2={a+b）2+a2

■-AM2=^（AD^=；/

.-.MH2=AH2-AM2=102--/>2=100-20=80

2

••.MH=4小

.-.S,nH34君=40,

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的性质化简，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

二、填空题

21.（2023•浙江金华•统考二模）如图，点8、C、F、£在同一直线上，Nl=/2,BC=EF,要使

△ABCmADEF,还需添加一个条件，这个条件可以是.（不添加辅助线，只需写出一个）

D

【答案】CA=FD,ZB=ZE,ZA=ZD,AB〃DE等

【分析】可选择C4=ED添加条件后，能用SAS进行全等的判；也可选择48=NE添加条件后，能用ASA

进行全等的判定；也可选择乙4=/。添加条件后，能用AAS进行全等的判定；也可选择48〃OE添加条件

后，能用ASA进行全等的判定即可;

【详解】解：添加。=FD,

Zl=Z2,BC=EF,

.•.△ABC出ADEF(SAS),

故答案为：CA=FD-

或者添加ZB=NE,

BC=EF,Z1=Z2,

；.△ABC乌ADEF(ASA),

故答案为：NB=NE：

或者添加NA=ND,

•••Z1=Z2,BC=EF,

：.△/BCJDEV(AAS),

故答案为：/.A—Z.D；

或者添加AB//DE,

•••AB//DE,

■■■NB=NE,

•••Z1=Z2,BC=EF,

；.△ABC短ADEF(AAS),

故答案为：AB//DE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一.

22.(2023•浙江温州•统考二模)若半径为6的扇形的面积为10万，则该扇形的圆心角为度.

【答案】100

【分析】根据扇形面积公式，列出方程即可.

【详解】解：•••半径为6的扇形的面积为10兀，

解得，n=100,

故答案为：100.

【点睛】本题考查了扇形面积公式，解题关键是熟记扇形面积公式，准确代入求解.

23.(2023•浙江宁波•校联考二模)如图，在平面直角坐标系xQy中，点8在x轴正半轴上，点。在y轴正

半轴上，OC经过4B,D,。四点，4048=120。，。2=4百，则点。的坐标是

【答案】（0,4）

【详解】先利用圆内接四边形的性质得到乙版）0=60。，解直角三角形求出。。，可得结论.

【分析】解：•・・四边形/3OO为圆的内接四边形,

・・2O45+4ADO=180。,

・"00=180。-120°=60°,

•."05=90。，

,,OB/—

在RtAABO中，tan/-BDO=—=V3,

••-05=473

•••(9Z)=4,

：.D(0,4)

故答案为：（0,4）.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是证明

60°.

24.（2023•浙江宁波•统考三模）如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中前的圆心为点A,

ABAC=60°.若/5=lcm,则该三角形的周长是cm.

B

【答案】万

【分析】求出数的长，再乘以3即可.

【详解】解：图中数所在的圆的半径A8=1CM,相应的圆心角的度数为60。,

、160^x17i/、

•••HC的长为一=丁（。加），

loU5

TE

二该莱洛三角形的周长是（cm）,

故答案为：乃.

【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是正确计算的前提，求出半径和相应的圆心角度数是正确

解答的关键.

25.（2023・浙江绍兴•模拟预测）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本

框架.其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,

问径几何？”其意思是：如图，48为。。的直径，弦,CD1AB于点、E,3E=1寸，CD=1尺，那么直径48

的长为多少寸？（注：1尺=10寸）根据题意，该圆的直径为寸.

可

令

缜

爵-fnf

夫

材

-想

任

/Hi<

中

ff*.不

*知

大

小

以

«

«

之

滞

一

【答案】26

【分析】连接OC,由直径N2与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出。E的

长，设OC=CM=x寸，则48=2x寸，OE—（x-1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得

出直径N3的长.

【详解】解：连接OC,

•.•弦CDL48,为圆。的直径，

'E为CD的中点，

又•••CD=10寸，

；.CE=DE=gcD=5寸，

设0c=0/=x寸，则43=2无寸，0E=（X-1）寸，

由勾股定理得：OE2+CE2=OC2,

即（x-1）2+52=/,

解得：x=13,

■•■AB—16寸，

即直径A8的长为26寸，

故答案为：26.

【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一

半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题.

26.（2023•浙江金华•统考二模）如图，”8C内接于圆。，ZS=65°,ZC=70°,若圆。的半径为2,则

阴影部分的面积为.

【答案】乃-2

【分析】连接08、。。，图中阴影部分的面积等于扇形50。面积减去三角形30。面积即可得到答案.

【详解】解：连接05、OC,作81BC,如图所示：

B

C

V=65°,ZC=70°,

.•・/力=45。，

■:前=前，

・•.400=2/4=90°,

•.•08=00=2

・•.ZOBC=ZOCB=45°

-OD1BC

/.BD=CD,BD=OD=6,

••BC=2g，

・•・SA5OC=-X2V2XV2=2,

2

.o_oo_90°X^-X22

••»阴影—》扇形BOC_*B0C—正心/一%―/.

故答案为：n-1.

【点睛】本题考查了不规则图形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式和三角形的面积公式，把不规则图

形的面积转换成规则图形的面积计算是解题的关键.

27.（2023•浙江丽水•校联考二模）如图，将矩形/BCD按如图方式折叠，使得点3与点。重合，折痕为

EF.若40=4cm,AB=8cm,则折痕EF的长为cm.

【答案】26

【分析】连接8。交E/于点G,根据矩形的性质以及勾股定理可得2。的长，再由折叠的性质可得

BG=DG,DE=BE,EF±BD,设NEnxcm,则DE=BE=（8-x）cm,在RtZ\4DE中，根据勾股定理可

得DE=BE=5cm,然后在RtAEBG中，根据勾股定理可得EG的长，再证明ABEG也△。9G,可得

FG=EG=V5cm,即可求解.

【详解】解：如图，连接2。交EF于点G,

•.•四边形/BCD是矩形，

ZC=90°,4B=CD=8cm,AD=BC=4cm,ABHCD,

•••BD=yjDC2+CB2=J64+16=4限m，

由折叠的性质得：BG=DG,DE=BE,EFA.BD,

BG=DG=-BD=2氐m,

2

设NE=xcm,则。£=BE=（8-x）cm,

在RtAADE中，AE2+AD2=DE2,

.-.x2+42=（8-x）2,

解得：x=3,

DE=BE=5cm,

在Rt△班G中，EG7BE?—BG?="25-20=瓜m，

•••EF1BD,

；"DGF=/EGB=90。,

•.・ABHCD,

/EBG=ZFDG,/BEG=ZDFG,

ABEGWDFG,

FG=EG=V5cni，

EF=2AAem.

故答案为：20

【点睛】本题主要考查了矩形与图形的折叠问题，勾股定理全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性

质，图形的折叠的性质，勾股定理全等三角形的判定和性质是解题的关键.

28.2023•浙江温州・温州市第四中学校考二模）以菱形/BCD对角线AD上的点。为圆心，为半径作圆,

与相交于点区点4C恰好都在圆。上，若。£＞：。8=2：3,圆的半径r=4,则菱形/BCD的边长为

【答案】2河

【分析】连接NC交AD于点凡过点。作OGLCD于点G,连接OC,先求出8。=10,再由菱形的性质

可得BF=DF」BD=5,ZDFC=NOGD=90°,BC=CD,可证得AOOG/，从而得到

2

—CD

22=OD,即可求解.

DF~CD

【详解】解：如图，连接NC交5。于点R过点。作OGLCQ于点G,连接OC,

根据题意得：。。=。。=4,

；,CD=2DG,

：OD：OB=2：3,

OB=6,

.•.8。=10,

・・・四边形/BQ）是菱形，

：.BF=DF=-BD=5,/DFC=NOGD=90。，BC=CD,

2

•・.ZODG=NCDF,

ADOGS^DCF,

DGOD-CD

即nn2OD

DFCD'

DF~~CD

-CD.

2__=,

5~~CD

解得：CD=2厢.

故答案为：2VHy

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角

形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键.

29.（2023•浙江•模拟预测）已知。8c中，NACB=90。,AC=BC=5.若点尸在“8C内部及边上运动，

且满足N尸/82NPB/,则所有满足条件的点P形成的区域的面积为.

25

【答案】v

4

【分析】过点C作于点。，根据题意可得当NP/52/PA4时，则所有满足条件的点尸形成的区域

125

为△3C,根据S.ADC=-^ABC=—即可求解.

【详解】解：如图所示，过点C作CDJL/3于点D,

•；CB=CA,则CD垂直平分AB,

二当尸在CD上时，ZPAB=NPBA,

当/P/8WNPA4时，则所有满足条件的点尸形成的区域为△/DC,

VZABC=90°,AC=BC=5f

1125

•••S=-XACXBC=-x5x5=—

“ABRCC222f

125

・・

.S^AADnCc=-2^ABC=4—，,

25

故答案为：

4

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关

键.

30.（2023•浙江宁波•统考二模）如图，等腰。8C中，AACB=120°,AC=8,半径为2的。。的圆心在射

线1/C上运动，当与AJBC的一边相切时，线段CO的长度为.

【答案】4或述

3

【分析】根据等腰三角形的性质可得乙45C=/A4C=30。，然后分两种情况当。。与边相切时；当

与3。边相切时，结合切线的性质，即可求解.

【详解】解：•・•等腰中，AC=BC=8,

・•・/ABC=/BAC,

-ZACB=120°f

・•./ABC=ABAC=30°,

当。。与Z5边相切时，设OO与ZB边的切点为点。，连接0。，则。。=2,

/.ODVAB,即//。0=90。，

OA=2OD=4,

/.CO=AC-OA=4；

当。。与8c边相切时，设O。与BC边的切点为点£,连接OE,则OE=2,

B

。⑻

：.OEVBC,即NC£O=90。，

•・•ZOCE=ZCAB+/ABC=60°,

・•.ZCOE=30°,

・•.OC=2CE,

••OE=4OC2-CE2=MCE，

即百。£二2,

••・C£=拽，

3

4G

・•.OC=2CE=^—；

3

综上所述，线段co的长度为4或迪.

3

故答案为：4或逑

3

【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解答是解

题的关键.

31.（2023•浙江•模拟预测）如图，。是。8C的边8C上一点，△/£>（7沿翻折，C点落在点£处，AE

与BC相交于尸点，若斯=4,CF=14,/尸=.AD,则FD=______.

A

一

【答案】6

【分析】设/尸=40=%。尸=x,则NE=4+>,由折叠的性质得：DE=CD=14-x,再由=可

W/-ADC=Z.DFE,可证明,从而得至（］_^=_^^=_^,继而得到关于x的方程，即可求

解.

【详解】解：^AF=AD=y9DF=xf则，£=4十九

由折叠的性质得：DE=CD=14-x,ZADC=ZADE,

•・•AF=AD,

ZAFD=ZADF,

/ADC=ZDFE=/ADE,

•・•NE=/E,

•••小DFEs“DE,

DFEFDE

"IF-DE

•—x=---4--=-1-4-一--x

「y14-x4+y，

整理得：14x-x2=4y,4v+16=（14-x）2,

14x—x2=（14-x）2-16,

即X2-21X+90=0,

解得：x=6或15（舍去），

DF=6.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，证明

△DFESAADE是解题的关键.

32.（2023•浙江温州•校联考二模）如图，在直角三角形46c中，zC=90°,N8/C=60。，点。是3C边上

的一点，连接4D,将△/CD沿4D折叠，使点C落在点E处，当△3DE是直角三角形时，NCAD的度数为

【答案】30。或45。

【分析】分两种情况：当点E在48上时，有直角三角形的性质可得NC/O=30。，当乙8。£=90。时，即E

在A/1C8外时，由折叠可得AE=AC,/E4c=90°,ZADC=ZADE=45,平分/C/E,即

ACAD=45°.

【详解】解：分两种情况：如图，

-.-ZBAC=60°

.-.ZCAD=-ZBAC=30°

2

②当乙切£=90。时，即E在A4cB外时，如图,

由折叠可得:

AE=AC,

NC=NE=90。

ZEAC=90°,

ZADC=ZADE=ix900=45,

2

平分/C/E,

ACAD=45°,

NOBE不可能为直角.

故答案为30。或45。.

【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论.熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角

形的内角和等基本知识点.

33.（2023•浙江温州•校联考二模）如图，在A/2C中，4c2=90。，。是2c边上的点，CD=6,以CD为直

径的圆。与48相切于点E.若弧。£的长为加，则阴影部分的面积.（保留无）

【答案】96-3"/-3"+94

【分析】连接OE,由CD=6,可得圆的半径，由弧DE的长度，可求出此。。的度数，进而可求出BE,AC

的长度，阴影部分面积为$四边形4C0E-S扇形co",§四边形-屋30后，进而可得到答案.

【详解】解：如图，连接OE,

••・48与圆。相切于点£,CD=6,

■■OELAB,OE=CO=—CD=3,

2

设4EOD=K°,

贝=---%x3=——=万，

18060

5=60°,即W)=60°,

.•25=30°,ZEOC=120°,

：.OB=2OE=6,BC=CO+OB=9,3E=tan6(FxOK=36

.­.^C=tan30°xCS=3V3，

.'S四边形=；AC'BC-g°E'BE==9』,

Q_120

3扇形COE—-571,

・•・阴影部分的面积为S四边形ZCOE-S扇形COE=9—371,

故答案为9力-3乃.

【点睛】本题考查阴影部分面积的求法，由题设条件，得出扇形圆心角的度数，将阴影部分面积转化为两

个图形的面积差，转化思想的应用是解题的关键.

34.（2023•浙江杭州・统考二模）如图，PA,总是OO的切线，切点分别为4,B,