2024-2025学年高一数学上学期期中必刷压轴60题（解析版）

期中真题必刷压轴60题（20个考点专练）

一、根据特称（存在性）命题的真假求参数

1.（22-23高一上•山东淄博・期末）若命题/“*eR,座2+2小+3=0”为假命题，则实数加的取值范围

是.

【答案】^G[0,3）

【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数

【分析】原题转化为方程加犬+2加x+3=0有解，求出加的范围，然后在R中的补集即为所求.

【详解】因为“*eR,mx2+2mx+3=0"

所以方程mx2+2mx+3=0有解，

当”7=0时，方程0./+2*0.+3=0无根；

当机手。时，A=4m2-4/w-3>0,即加e（-s,0）U[3,+co）

又因为命题?是假命题，贝。e[0,3）

综上：me[0,3）

故答案为：me[0,3）

二、根据必要不充分条件求参数

2.（23-24高一上•陕西西安•阶段练习）已知二次函数》=/一2办-3a②，aeR.

⑴若不等式V<0的解集为卜卜1<x<3},求实数。的值及该二次函数的最小值；

（2）若-1<x<2是不等式/<0成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】⑴。=1,5=T

12

⑵a——<a<—

33

【知识点】根据必要不充分条件求参数、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数

【分析】（1）根据题意，列出不等式，利用二次不等式的性质，可得参数的值，结合二次函数的性质，可

得答案；

（2）根据题意，列出不等式，利用十字相乘法，结合分类讨论，可得其解集，根据必要不充分条件，可得

答案

【详解】（1）由题意知不等式x?_2办-3/<0的解集为3T<x<3｝,

—1+3=2a

即方程Y一2姓一3a2=0的两根为-1,3,所以一卜3=-3尸得0—

因为了=/-2x-3=(x-l『-4,所以当x=l时，坨n=T.

(2)不等式歹<0,即*-2QX-3Q2=(X-3Q)(X+Q)<0.

当。=0时，不等式歹<0的解集为0；

当。>0时，不等式了<0的解集为｛x卜a<x<3a｝；

当a<0时，不等式了<0的解集为｛x|3a<x<-a｝.

因为-l<x<2是不等式了<0成立的必要不充分条件，所以不等式了<0的解集是卜卜1<》<2｝的真子集.

当。=0时，满足；

[—a2—12

当。>0时，由%/c，w0<a<-；

[3（2<23

当。<0时，由<,得一彳<。<0.

[-a<23

/<2]

所以实数4的取值范围是I33J.

三、用不等式表示不等关系

3.（23-24高一上•新疆•期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮

球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加

入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总

人数至少为（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【知识点】用不等式表示不等关系

【分析】依题意列出不等式，结合其整数的性质依次从小到大分析即可得解.

【详解】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a,b,c,

若c=l,贝IJ〃+bN3+2=5,不满足3c>o+b；

若。=2,贝|Jq+bN4+3=7,不满足3c>a+b；

若c=3,贝lJa+bN5+4=9,不满足3c>a+b；

若c=4,则q+bZ6+5=11,满足3c>a+b；

贝!l%n=4,0nm=6,6mm=5,则（a+b+cL=15.

故选：C.

四、差法比较代数式的大小

4.（23-24高一上•山东潍坊•期中）某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分

别为q,&且q7%.若他每次购买数量一定，其平均价格为2；若他每次购买的费用一定，其平均价格为

白，贝I（）

A.bx<b2B.b1>b2

C.t\=b?D.瓦,优不能比较大小

【答案】B

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】根据条件分别计算出小打，作差比较大小即可.

【详解】假设每次购买这种物品的数量为加，

则平均价格4=誓%=幺詈；

假设每次购买这种物品所花的钱为〃，

nn

则第一次购得该物品的数量为一，第二次购得该物品的数量为一,

%a2

_2〃_2_2。必2

2---

则平均价格A+2L±+±«I+«2，

.,；Q[+〃22〃]〃2（〃]+2）2—4〃]/

贝I]bx-b2=--'=―—'"

2ax+a2

=（%二琢>0

2（4+。2）

所以4>b2,

故选：B.

五、基本不等式的应用

5.（22-23高一上•山东•期中）己知x>0,y>0,且x+y+肛=3,若不等式x+y27”?恒成立，则实

数机的取值范围为（）

A.-2<m<1B.-1<m<2

C."zW-2或D."zV-l或机，2

【答案】B

【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题

【分析】首先根据基本不等式得到（工+用小=2,结合题意得到苏一加W（x+y）1nm,即疗一机《2,再解不

等式即可.

【详解】孙=3-（x+y）wSp，当且仅当x=V=l时等号成立，

解得x+y22,即（x+yL=2.

因为不等式x+加2一加恒成立，

所以加2一加«（x+y）min，即加？—加工2,解得一加42.

故选：B

6.（多选）（23-24高一上•山东烟台•期中）已知4>0,6>0,2。+6=1则（）

112

A.必的最大值为三B.—1"：的最小值为6

8ab

C.的最大值为0D.。+4的最小值为:

8b8b8

【答案】AC

【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不

等式“1”的妙用求最值

【分析】根据均值不等式和不等式的性质判断AB,消元思想和函数性质的应用判断CD即可.

【详解】对于A：l=2a+b>2y/2ab^>ab<-f

8

当且仅当a==：时取到等号，A正确；

42

c12f12""64aclb4a

对于B：—+—=—+—（2a+Z））=4+—+—->4zi+2J—x—=o8,

ab\ab）ab\ab

当且仅当。=!，/>=：时取到等号，B错误；

42

对于C：2a+6=lna=1>o,所以6e(0,l),所以

ZoOZoOZ\,ZoO

"j所以『b1

S^-+—>2,—i---=o>

28b28b44

当且仅当。）:取到等号，c正确;

11-b1

对于D：-1---=----1—

8b28b

由函数性质易知/㈤=46）在（0,1）单调递增，所以/伍）=46＜/（1）=3,

所以,小一少,'胃,故口错误，

故选：AC

7.（多选）（23-24高一上•湖南长沙•阶段练习）设。，6为两个正数，定义。，6的算术平均数为

4（a,b）二卒,几何平均数为G（a,6）=而，则有：G（a,b）＜A（a,b）,这是我们熟知的基本不等式.上

个世纪五十年代，美国数学家DH.Ze/wver提出了Ze历wer均值"，即乙（。,6）=-「其中。为有

505

,M_a°-+b-_y[a+4b

理数.如：与"尸尸二匚工.下列关系正确的是（）

y[ay[b

A.L05（a,b）＜A（a,b）B.£0（«,/?）＞G（«,/））

C.L2（a,b）NL、（a,b）D.Ln+l（a,b）＜L^a^b）

【答案】AC

【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、柯西不等式求最值

【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.

.、当花刀、卜Lo5(a，b)=^+弋=工"+b),

【详解】A：°-5V71112IL故A对；

y/ay/b

cT/7、Q0+b02ab/labr-r1..

B：L(a,b)————r=-----—f==y]ab—G(a,b),故B错；

0a+ba+b2vub

„r/a2+b2rl八a+b

C：七(。,6)=------>4((1,1))=不一,

a+b2

222

Z,(a,b)2(/+/)2(/+/)a+b++]j

1JL\a,b)(«+Z))2cr+bUlaba2+b2+2ab-'双…

an+1+b"+1

n

乂/T+尸

L*i(a,b)nn(a”+i+6"+i)(4+b^

D：由柯西不等式,a+b故D错.

L"(a,b)an+bn(an+bn)2~(an+bn)2

4

故选：AC.

8.（23-24高一上•山东烟台•期中）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来

水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）

与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单

位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为C（x）=U（x>0）.将该企业的净水设备购置费与安装后4

年需缴水费之和合计为了（单位：万元）.

（1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积X的取值范围；

（2）设备占地面积x为多少时，V的值最小？

【答案】⑴[11,20]

（2）设备占地面积为15m2时，y的值最小.

【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用

【分析】（1）由题意解不等式0.2x+--^7.2,即可求得；

x+5

（2）利用基本不等式即可求解.

QQ

【详解】（1）由题意得V=0.2x+--（x>0）.

要满足题意，则yW7.2,

OQ

即0.2x+——W7.2,解得：llVx<20.

x+5

即设备占地面积X的取值范围为[11,20].

八。80x+580lx+580.__/T-T_

（2）y—0.2,xH-------=--------1---------122J-------x---------l=2jl6-I4—7,

x+55x+5v5x+5

当且仅当亭=2=X=15时等号成立.

所以设备占地面积为15m2时，y的值最小.

9.（23-24高一上•山东烟台•期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基

本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出

南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东

门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则.若一小城，如图

X

15

所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）

)

A.2函里B.4A丽里C.6厢里D.8丽里

【答案】D

【知识点】基本(均值)不等式的应用、基本不等式求和的最小值

EF-GF

【分析】根据题意得G4=----------,进而得斯・Gb二匹•GZ=4x2.5=10,再结合基本不等式求4(即+GF)

EB

的最小值即可.

【详解】因为1里=300步，

则由图知£8=1200步=4里，G/=750步=2.5里.

FFGF

由题意，得由~f1

EB

贝=E3-GN=4x2.5=10,

所以该小城的周长为4(EF+GF)>^EF-GF=8厢，

当且仅当EF=GF=历时等号成立.

故选:D.

10.(23-24高一上•湖南长沙•阶段练习)已知函数/(x)=x-2,g(x)=x2-2mx+4(%eR),若对任意国e[l,2],

存在344,5],使得g(xj=/(x2),则掰的取值范围_____.

【答案】]"行

_4J

【知识点】求二次函数的值域或最值、基本(均值)不等式的应用、函数不等式恒成立问题、函数不等式

能成立(有解)问题

【分析】

由题意可判断{y，=g(x),lWxW2}£{y,=/(x),4Wx45},由此求出/(x)e[2,3],可得相应不等式恒成

立，转化为函数最值问题，求解即可.

【详解】由题意知｛引尸g(x)”尤W2｝u｛中=〃X),4W｝；

当xe[4,5]时,/(x)e[2,3],

故g(x)=/-2加x+4(weR)需同时满足以下两点：

①对VXE[1,2]时,g(x)=x2-2mx+4<3

2加Zx+L恒成立，

由于当Vxe[l,2]时，y=x+^为增函数，

X

2m+—

24

②对VXE[1,2]时，g(x)=x2-2mx+4>2,

2一

2加Kx+—恒成立，

由于无+2220,当且仅当x=2,即x=J^e[l,2]时取得等号，

X%

2m<26.,:.m<V2,

me—,V2,

l_4」

故答案为：14」

11.（23-24高一上•江苏连云港•阶段练习）设矩形的周长为16,如图所示，把它沿对角

设48=x,A"）产的面积为S.

⑴用x表示如长，并写出x的范围;

（2）求S的最大值.

…旧、,,8x-32口”。

【答案】（1）尸。的长为>=------且4Vx<8

X

(2)48-1672

【知识点】分式型函数模型的应用、基本(均值)不等式的应用

【分析】(1)设=结合CP+PD=X,得出方程J(8-x)2+j?+y=x,求得y="六，进而得到

4Vx<8,即可求解；

(2)由$=二(8-无)•y=:;(8-x)•上二=4-(-x--+12)=48-4.(x+—),结合基本不等式，即可求解.

22xxx

【详解】(1)解：因为矩形的周长为16,由/2=x,则3c=8-x,

设尸D=>,由丝△CB'P,可得DP=B，P=y,

在直角^CB'P中，可得CP=yJCB'2+B'P2=7(8-x)2+y2,

又由CP+PQ=x,可得J(8_x)2+/+y=x,整理得好应干

又因为可得x>4且8-工>0且，解得4Vx<8,

所以心的长为y=空上且4Vx<8.

X

(2)解：由a的为直角三角形，可得：

11or_ao3?32I

S^-(8-x)-y=-(8-x)----------=4.(-x-—+12)=48-4-(x+—)<48-4x2Jx--=48-1672,

22xxx，x

当且仅当工=三时，即x=4及时，等号成立，

X

所以am5面积的最大值为48-16垃.

12.(23-24高一上•山东•期中)某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生

产设备，预计使用该设备后前”(〃eN*)年的支出成本为(10/-5")万元，每年的销售收入95万元.设使用

该设备前〃年的总盈利额为/(〃)万元.

(1)写出/(")关于〃的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：

方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；

方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；

问哪种方案较为合理？并说明理由.

【答案】⑴/5)=T0("T)(”9),该设备从第2年开始实现总盈利；

(2)方案二更合适，理由见解析.

【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本(均值)不等式的应用

【分析】(1)根据题意，直接求得了(〃)，令/(〃)>0,结合〃的取值范围，即可求得结果；

(2)分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.

【详解】(1)由题意可得/■(〃)=95"-(10"2-5〃)-90=-10/+100〃-90=-10(〃-1)(〃-9),

由〃")>0得1<〃<9,又“eN*,所以该设备从第2年开始实现总盈利.

(2)方案二更合理，理由如下：

方案一：由(1)知，总盈利额/("hTOr+ioow-gOn-lOe-Sy+lGO,

当〃=5时，/(〃)取得最大值160,

此时处理掉设备，则总利润为160+20=180万元；

方案二：由(1)可得，

平均盈利额为E®=T0/+I0°”9Q

nn

=-10,+2]+1004100一20^TJ=40,

9

当且仅当〃==,即〃=3时等号成立；

n

即〃=3时，平均盈利额最大，此时/(")=120,

此时处理掉设备，总利润为120+60=180万元.

综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.

六、根据分段函数值相等求参数

y/x,x>0

13.(23-24高一上•江苏淮安•期中)已知函数”x)=1,若机<",=则〃一力的取值

—x+l,x<0

12

范围是()

A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2]D.弓,2)

【答案】B

【知识点】分段函数的性质及应用

【分析】画出图象，根据图象确定〃7,〃的取值范围，得出”一机的取值范围.

【详解】根据图象〃x)=0有两个交点，/«e(0,1],

m<n，f(m)=f(n),

/(x)=l时，m=0,令五=1,x=\,故〃=1,所以〃一加二1；

/(x)=。时，m=-2,令4=0，x=l,故〃=0,根据题意〃wO,所以〃一机v2

所以〃-加w[1,2).

故选：B

七、由抽象函数的周期性求函数值

14.（23-24高一上•江苏淮安•期中）已知定义在（0,+8）上的函数/（x）,满足〃9）+1=/（力+/（田，且

佃=0,则/（*=（）

A.1B.10C.11D.1024

【答案】C

【知识点】由抽象函数的周期性求函数值

【分析】根据〃孙）+i=/（x）+/（y）进行赋值，得到/'（xb/im+i进而求解答案即可.

【详解】因为定义在（0,+8）上的函数/（X）,满足/（到）+l=/（x）+/（＞）,

所以令X=y=l,得+1=+所以=

令匕，得小＞1=｛）+/出,

因为m°，所以〃x）=4£i+i,

所以/（2|。）=/（29）+1=/（28）+2=-.=〃2）+9=/（1）+10=11.

故选：C

八、“三个二次”综合问题

15.（23-24高一上•山东烟台•期中）已知在（一8,1]上递减的函数Hx）=N—2笈+1,且对任意的打,

切曰0,f+1],总有贝"（一兀⑸区2,则实数f的取值范围是（）

A.［-V2,V2］B.［1,V2］

C.［2,3］D.［1,2］

【答案】B

【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数

【分析】由函数Hx)=N—2笈+1在(-8,1］上递减，可得仑1,从而可得;(x)在［0,f+1］上的最大值为人0)=

1,最小值为2〃+1=—/十］,进而得］从而求出f的取值范围

【详解】由于兀t)=N—2a+1的图象的对称轴为x=3

又y=Ax)在(-8，1］上是减函数，所以仑1.

则在区间［0,dl］上，加)max=#0)=1，

y(X)min=/K)=〃一2〃+1=~t2+1,

要使对任意的尤八X2G［0,i+1］,

都有贝内)一人到)区2,

只需1—(―F+1)W2,WW--V2<t<V2.

又仑1,，1vtwV2"

故选：B

16.(23-24高一上•天津•期中)设函数［(x)的定义域为R,满足〃x+2)=2/(x),且当xe(0,2］时，

/(x)=x(x-2).若对任意xe(-oo,间，都有/(x)2-3,则加的最大值为.

9

【答案】1/4.5

【知识点】函数图象的应用、求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题

【分析】根据函数/(x+2)=2/(x),且xe(O,2］时，/(x)=x(x-2),作出函数/(x)的图象，利用数形结

合法求解.

【详解】解:因为函数/(x+2)=2/(x),且xe(O,2］时，/(x)=x(x-2),

所以/(x)=2/(x-2),

当x£(~~2k,-2k+2]时，x+2ke(0,2],

则〃x)=；〃x+2)+?〃x+4)=…$〃x+2%),

爹~(x+2后)(x+2人-2)G皆0，

当x£(2左,24+2]时,x-2k(0,2],

/(x)=2/(X-2)+22/(X-4)=...=2kf(x-2k),

=2*(x-2左)(x-2左一2)e[—2：0],

作出函数/(x)的图象如图所示：

由图象知:当左=2时，XG（4,6],此时/（x）=2"（x-4）e[-4,0],

所以令22口一4乂-6）=-3,解得》=|或x=],

所以对任意xe（-8,间，都有/（X）2-3时，加的最大值为g,

9

故答案为：—

17.（23-24高一上•山东日照•期中）若不等式也产上2>1对一切实数x均成立，则实数力的取值范围

X+X+1

为.若存在实数乩使得关于加的方程/+（3—6）机+6-6=0在上述范围有解，则实数b的取值范

围为.

【答案】[1,5）5,g]

【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数与方程的综合应用、一元二次不等式在实数集上

恒成立问题

【分析】①由条件转化为不等式（加-1）/+（加-l）x+l>0恒成立，运用分类讨论思想及一元二次不等式恒

成立条件可求出加的范围；②由条件转化为方程6=.+3加+6有解,求6的范围即转化为函数

m+1

〃m）=加+3%+6的值域,运用分离常数法及对勾函数的单调性即可得结果.

【详解】由条件可知即为不等式（加T）/+（加_i）x+l>O,xeR恒成立，

当加=1时不等式显然恒成立;

m-1>0

当mwl时，由一元二次不等式（加-1江2+（加-1.+1>0/©区恒成立可得

A<0

Im>1

即j(m-l)(m-5)<01<m<5,

综上可知：加的取值范围为［1,5）；

因为加e［l,5）,可知根+1*0,

依题意，方程+（3-切〃+6-6=0有解，

即方程6=二誓2,04机＜5）有解，

所以求6的范围即转化为求函数/（加）=叱等^,（14加＜5）的值域，

•/加”七+3加+6=（加*）旧〃，+a4＞」+］,

m+1m+1m+\

4

令/=机+1＜2,6）,g（z）=/+-+l,

23

又对勾函数g（。在［2,6）上为增函数，且g⑵=5,g（6）=y,

，g⑺e5,g1,B|J.'./（«）£5d所以6的取值范围为5d

故答案为：［1,5）；5w］

18.（23-24高一上•江苏镇江•期中）已知函数/（力="2-2办+b+2（a＞0）在区间［0,1］上的最大值比最

小值大3,且"1）=0.

⑴求a,6的值；

（2）当xe1,2时，函数y=/（x）的图象恒在函数了=%/+1的图象下方，求实数加的取值范围.

【答案】（1）0=3/=1

（2）（3*）

【知识点】函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数

【分析】（1）根据二次函数的性质，得到可得/（x）在［0』上单调递减，求得函数的最大值和最小值，列

出方程，求得。=3,进而求得b的值，得到答案；

（2）根据题意，转化为加＞2-（工）2-62+3在日,2］上恒成立，设/=,€。,3］,设函数

/z（f）=2f2-6l+3jeg,3］,结合二次函数的性质，得到函数最大值，即可求解.

【详解】（1）解：由/（X）=ox?—2〃x+b+2=〃（1一1）2-a+b+2,（a＞0）,

所以/（X）表示开口向上，且对称轴X=1的抛物线,

可得函数/(X)在［0,1］上单调递减,

所以/(x：L=〃l)=-a+6+2J(xL=/(O)=6+2,

又由/■(。)一〃1)=3,可得b+2-(一。+6+2)=3,解得0=3,

所以/。)=—。+6+2=6—1=。，可得6=1,即。=3,6=1,

(2)解：由题意，可得/(x)=3厂-6x+3<+1在耳,2］上恒成立，

即加>2《工)2-62+3在日,2］上恒成立，

1114

设七叱,3］,设g)=2产-6/+3/e［于3］,开口向上，对称轴语，

133

所以，当代耳3］时，函数〃⑺单调递减；当时，函数〃⑴单调递增，

所以〃(。4以3)=2*9-6、3+3=3,所以加>3,

所以实数加的取值范围为(3,+e).

19.(23-24高一上•山东烟台•期中)已知函数/'(力=-^+/，beR,

⑴解关于x的不等式/(x)+2Z>2>0；

⑵从①{中(/(x)<24=上2］,②{/(X)㈠x42/}=卜,2中这两个条件中任选一个,补充在下面问题的

横线处，并给出问题的解答.

问题：是否存在正数,,使得_?若存在，求出f的值：若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【知识点】根据函数的单调性求参数值、解含有参数的一元二次不等式、根据二次函数的最值或值域求参

数

【分析】(1)先代入，再进行因式分解，最后根据参数的取值不同分别得到解集即可；

(2)先将题目意思理解为定义域和值域问题，然后对二次函数对称轴的分布分类讨论，根据不同情况分别

求出/和6的值，再逐一验证是否符合要求即可.

【详解】(1)由/(X)+2/20,则*+乐+26220,

即(x+b)(x-2b)<0,

①当6=0时，不等式的解集为｛0｝；

②当6<0时，不等式的解集为［26,

③当6>0时，不等式的解集为卜A2”，

综上，当6<0时不等式的解集为［26,-川，6=0时不等式的解集为｛0｝,6>0时不等式的解集为［-仇2”；

(2)因为/(x)是开口向下的二次函数，

若选择条件①：

此时d/(x)V2f的解集为xe&2］,

所以/(/)="空=：,且/电力

由/(')="t+2t=b,得一»+3"=/,解得£=

133

当，=］时，6=—,此时/(%)=-，,

—⑶9339)1。

所以——=/—=----F—x—=—<2x—=2^,

UJUJ1624162

因此”;时符合题意；

若选条件②：

此时％£在2］,24,

①当|■N2^=>624%时，/(X)在［，2］单增，此时/«)=/=>—/+4=，=>/=6—1,

且/(2，)=2,=>—4/+26,=2,n，=------,所以6-1=---=>b=1,此时％=0,矛盾;

22

②当时，/(X)在上2］单减，止匕时

且/(/)=2，n—t2+bt=2t=t=b-2,所以2［】=6-2=>b=g,

此时与矛盾；

③当/时，/(x)在单增，|,2?单减，

,/八cb2b2b2

此时n/曰=20-丁+万=n20/=葭

且/-==

所以"="，解得6=2土夜，

o4

当6=2-&时1=3:&,与/矛盾；

当6=2+也■时/=过22，满足所以"过22满足要求；

4224

④当时，/(x)在单增，1,2/单减，

此时/曰=20-了+万=2/,=葭

且/«)='=-t2+bt=t=t=b—\,

所以"=6-1,解得6=4±2也，

O

3b

当6=4-2后时/=3-2&,与]矛盾；

3b

当6=4+2后时f=3+20，与5t<5<2/矛盾，

故正数/的取值为史2区，

4

综上，若选①则若选②则公土芋.

20.(22-23高一上•山东•期中)给定teR,若存在实数/使得/(%)=%成立，则定义/为/(x)的广

点.已知函数/(无)=办2+6x+6+6(xeR).

(1)当。=1,6=一3时，求/(x)的1*点；

(2)设。=1,b=-4,若函数/(x)在(0,+句上存在两个相异的/*点，求实数f的取值范围；

(3)对于任意的ae,总存在be[-2,0],使得函数/(x)存在两个相异的广点，求实数/的取值范围.

【答案】⑴/(x)的1*点为1和3；

⑵卜4+2夜,+oo)；

(3)/<-2卡或/>2.

【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次不等式在某区间上有解问题、函数新定义、

函数不等式恒成立问题

【分析】(1)根据给定的定义，解一元二次方程作答.

(2)根据给定的定义及已知，借助二次函数在(0,+")有两个不同零点求解作答.

(3)根据给定的定义，利用一元二次方程恒有两个不等实根列式，再结合恒成立的条件及一元二次不等式

在区间上有解求解作答.

【详解】(1)当。=1,6=-3时，f(x)=x2-3x+3,依题意，x2-3%+3=x,即/-4》+3=0,解得x=l

或x=3,

所以当。=1,6=-3时，/(x)的1*点为1和3.

(2)当。=1,6=-4时，/(x)=x"-4x+2,依题意，/-4x+2=fx在上有两个不同实数解，

即/-(/+4)》+2=0在(0,+句上有两个不同实数解，令g(x)=x2-«+4)x+2,

A=(?+4)2-8>0

因此函数g(x)在(0,+句上有两个零点，而g(0)=2>0,因此r+4,解得/>-4+20,

----->0

I2

所以实数t的取值范围是(-4+2拒,+8).

(3)因函数/(x)总存在两个相异的「点，则方程/("=氏，即办2+9一/卜+6+6=0(。二0卜恒有两个不

等实根，

依题意，对任意的"3』，总存在北[-2,0]使―他-)一446+6)>0成立，

即对任意的。总存在be[-2,0]使四二]>4。成立，而2<4。<4恒成立，

于是得存在be[-2,0],不等式止11>4成立，而破二01>4o62_2«+2M+r_24>0，

一b+6b+6

从而得不等式〃3)=方2-2(7+2)6+/一24>0在[-2,0]上有解，又二次函数〃S)开口向上，

因止匕〃(-2)=/+4/-12>0或%(0)=/-24>0,解〃+务一12>0得f<一6或t>2,

解7-24>0得,t<-2瓜或t>2#),则有/<-2/或/>2,

所以实数f的取值范围是f<-2"或"2.

21.(23-24高一上•山东德州•期中)已知函数/(x)=x2-(a+3)x+6(aeR)

⑴当。=2时,解不等式/汁)20；

(2)解关于x的不等式f(x)<6-3a;

(3)已知g(x)=»u+7-3加,当a=l时，若对任意的占e[1,4],总存在马€[1,4],使/(现)=8伉)成立，求

实数加的取值范围.

【答案]⑴(y,2M3,+动

(2)答案见解析

⑶(f-5]口

【知识点】根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、解含

有参数的一元二次不等式

【分析】(1)利用十字相乘法求解可得；

(2)根据相应方程两根的大小关系分类讨论即可；

(3)将问题转化为/(x)的值域是g(x)的值域的子集求参数范围的问题，然后根据包含关系讨论可得.

【详解】(1)当。=2时，f(x)=x2—5x+6,

所以-5x+6>0«(x-2)(x-3)>0,

解得x<2或

即不等式/(%”0的解集为2M3,十句.

(2)因为函数/(X)=%2-(Q+3)X+6(Q£R),

所以不等式/(x)«6—3〃，等价于公―(〃+3卜+3。40,

即(X-3)(X-Q)«0,

当Q<3时，解得67<X<3;

当a=3时，解得％=3；

当。>3时，角军得3<x<a,

综上，当。<3时，不等式的解集为何a"W3｝；

当a23时,不等式的解集为｛x|3a｝.

(3)当a=l时，/(x)=x2-4%+6=(%-2)2+2,

因为xe[l,4],所以函数/(X)的值域是[2,6],

因为对任意的玉总存在了2©[1,4],使〃xj=g(%2)成立，

所以/(x)的值域是g(x)的值域的子集，

当切>0时，g(x)在区间[1,4]上单调递增，得g(x)e[7-2加，加+7],

m>0

则7-2m<2,解得m>—；

2

m+7>6

当加<0时,g(x)在区间[1,4]上单调递减,<g(x)e[m+7,7-2m],

m<0

贝卜7—2加之6,解得m<-5,

m+1<2

当机=0时，g(x)e{7},不满足题意.

综上，实数加的取值范围g+s]

22.(23-24高一上•广东•期中)已知二次函数/(x)同时满足以下条件：①/(2+x)=/(2-x),②/(0)=1,

③/(2)=-3.

⑴求函数/(x)的解析式；

⑵若Mx)=/(x)+(相+4)x,xe[-l,2],求：

①〃(x)的最小值。(加);

②讨论关于m的方程忸(S)|=左的解的个数.

【答案】⑴/(x)=x'-4x+l

5+2m,m<-4,

加2

⑵①9㈣---,-4<m<2,；②答案见解析

2—m,m>2.

【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、函数与方程的综合应用

【分析】⑴由42+X)="27)得，对称轴为x=2,然后设〃x)=a(x-2)2+6,利用另外两个条件列出

方程组求解即得；

(2)①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值：

②根据①中求得的函数。(以)的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数了=|。(加)|的解析式,

画出函数y=|e(M|的图象，利用数形结合方法讨论方程忸(加)|=左的实数根的个数.

【详解】(1)(1)由/(2+x)=〃2-x)得,对称轴为x=2,

设f(x)=a(x-21+6,

]/(0)=4a+6=lJa=l

••|/(2)=^=-3，侍1=-3'

f(x)=(x-2)--3=x2-4x+1.

(2)(2)(T)^(^)=/(x)+(m+4)x=x2+mx+l,xe[-l,2],对称轴尤=-£

i当RW-1即〃?22时，h（x）在［-1,2］单调递增,

Mx)min=〃(T)=27”，

——

ii-1＜＜2即-4＜加＜2时，力（、）在1,—单调递减，在-~—52单调递增,

，〃⑴.—生］=1—江，

—mm12J4

iii当-即加＜-4时，“X）在［-1,2］单调递减，

〃(x)min=〃(2)=5+2m,

5+2m,m<-4,

综上：h[x}mm=(p{rn)=<\-^-,-4<m<2,

2-m,m>2.

②画出函数y=o（加）的图象图下图所示:

利用图象的翻转变换得到函数了=|。（"）|的图象如图所示:

方程"（时=k的根的个数为函数y=|夕的）|的图象与直线y=k的交点个数，由图象可知:

当在<0时，方程何加)卜左无解;当0〈万<1时，方程何叫="有4个解;当左=0或左>1时，方程I。(，小

有2个解;当左=1时，方程/端=:有3个解.

九、分段函数的单调性、最值

23.(多选)(23-24高一上•江苏淮安•阶段练习)已知厂[而:则下列结论正确

Ij(x-2),x>1

的是()

A."12)=2

B./(x)的最大值为2

C./(x)的增区间为[2左-1,2修(AeN)

D./(/(2"l))=2(AwN)

【答案】ABC

【知识点】函数周期性的应用、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性、分段函数的

性质及应用

【分析】对于A,根据函数表达式直接求值即可；对于B,当-14x41时，=二1+出工，利用基

本不等式求出/Yx)最大值进而得到答案；对于C,先研究函数在卜1』上的奇偶性，再在利用定义

法求解单调性，结合函数周期性进而得到增区间；对于D,举反例直接说明即可.

【详解】对于A,当x>l时，/(x)=/(x-2),此时函数周期为2,

故/(12)=/(0)=1+1=2,故A正确；

于B,当一14xW1：寸，=l—尤+1+尤+2J1—x■11+x=2+2J1—尤.11