第16章 三角形的“四心”-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第16章三角形的“四心”【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．已知：D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，∽，且相似比为1：2，．设AD、CF交于点，同理可得，则与重合，AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成．例2：已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：．证明：作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O为的重心和内心，求证：为等边三角形．证明：如图，连AO并延长交BC于D，O为三角形的内心，故AD平分，（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC．，即．同理可得，AB=BC．为等边三角形．例4：已知：中，AD与BE交于H点．求证：．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为．【答案】6.5，2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径＝．【答案】23、在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos（∠OBC+∠OCB）=．【答案】4、设G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则△ABC的面积为．【答案】725、若，那么以、、为三边的△ABC的内切圆，外接圆的半径之和为．A、 B、C、 D、【答案】A【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（）A．三条中线的交点B．三条高线交点C．三个内角平分线交点D．三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF，∴O在∠A的平分线上，同理O在∠B的平分线上，O在∠C的平分线上，即O是三条角平分线的交点，故选C．2．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG交BC于H．利用等腰三角形的三线合一，可知AH是高，利用勾股定理求出AH，根据重心的性质AG=AH计算即可．详解：如图延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角的中线、相交于点，若斜边的长为，则线段的长为_______．【答案】【解析】∵为中点，为中点，∴中线、的交点为的重心，∴，∵，等腰直角，∴，，于，∴中，．点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：（1）连接AD，BE，它们相交于点P；（2）连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD，BE，CF就是所求的△ABC的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆（或直径）所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB是直角，∴∠AEB＝90°，∠ADB=90°，∴AD,BE是△ABC的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF是△ABC的高8．如图，在中，，平分，于，如果，那么等于_________cm．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，从而得出故填3．9．中，点是内一点且到三边的距离相等，，则_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，∴AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇与一条公路，一条河流的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到的距离必须相等，到和的距离也必须相等，且在的内部，请画出该山庄的位置．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段的中垂线与的平分线交于点,点即为所求．————再战高中题——能力提升————B组1、在锐角△ABC中，内角为A、B、C三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为．2、如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是△DEF的．AAFBDCEH3、如图，D是△ABC的边BC上任一点，点E、F分别是△ABD和△ACD的重心连结EF交AD于G点，则DG：GA＝．AABCEGFMDN4、设△ABC的重心为G，GA＝，，，则＝．5、若H为△ABC的重心，AH＝BC，则∠BAC的度数是（）A、45° B、30° C、30°或150° D、45°或135°6、已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四边形ABCD的面积．B组