2024年北京一零一中高三（上）10月月考数学试题及答案

北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿选择题共1011.已知集合A={−1,0,1,2},集合B={y|y=x+,x>0},则A∩({R)=(ꢀꢀꢀ)x(A){−1,0,1}(B){−1,0,1,2}(C){0,1}(D)(−∞,1]2.如图,在复平面内,复数z,z对应的点分别为Z,Z,则1212复数z·z的虚部为(ꢀꢀꢀ)12(A)−i(B)−1(C)−3i(D)−31ab1a1b3.若a<b<0,给出下列不等式:①a2+1>b2;②|1−a|>|b−1|;③确的个数是(ꢀꢀꢀ)>>.其中正(A)0(B)1(C)2(D)3π4.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象2时,列表并填入了部分数据,如下表:π3πωx+φx00π2π22π5π6−535Asin(ωx+φ)0根据这些数据,要得到函数y=Asinωx的图象,需要将函数f(x)的图象(ꢀꢀꢀ)π12π6π12π6(A)向左平移(C)向左平移个单位个单位(B)向右平移(D)向右平移个单位个单位5.在菱形ABCD中,∠DAB=60◦,|AB|=2,则|+DC|=(ꢀꢀꢀ)√3√√2√(D)22(A)(B)23(C)北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二ꢀ第1页（共4页）√√7,B=60◦”是“cosA=”的(ꢀꢀꢀ)2776.在△ABC中,“a=2,b=(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件d7.已知函数f(x)=(a,b,c,d∈R)的图象如图ax2+bx+c所示,则下列说法与图象符合的是(ꢀꢀꢀ)(A)a>0,b>0,c<0,d>0(C)a<0,b>0,c>0,d>0(B)a<0,b>0,c<0,d>0(D)a>0,b<0,c>0,d>08.保护环境功在当代,利在千秋,良好的生态环境既是自然财富,也是经济财富,关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫米/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P·e−kt(t>0),其中k为常数,k>0,P为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时,若00前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,那么再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为原污染物的(ꢀꢀꢀ)()1315(参考数据:≈0.585)(B)10%(A)12%(C)9%(D)6%(a2)x4a+,,x621−+9.已知f(x)=(a>0,a,1).若f(x)存在最小值,则实数a的2ax−1x>2,取值范围为(ꢀꢀꢀ)13413(A)(0,](B)(0,](C)(0,]∪(1,2)(D)(0,]∪(1,2)42210.已知数列{a}满足a+1<a<2a+2,a=1,S是{a}的前n项和.若S=2024,则nnn+1n1nnm正整数m的所有可能取值的个数为(ꢀꢀꢀ)(A)48(B)50(C)52(D)54填空题共5√1623#–11.若等边三角形ABC的边长为23,平面内一点M满足CM=CB+CA,则MA·#–MB=＿＿＿＿＿.北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二ꢀ第2页（共4页）112.已知角α,β的终边关于直线y=x对称,且sin(α−β)=,则α,β的一组取值可以是2α=＿＿＿＿＿,β=＿＿＿＿＿.1213.在数列{a}中,a=,anan+1+1=an,n∈N∗,则a2022=＿＿＿＿＿.n1a−sinxcosxππ314.若函数f(x)=在区间(,)上单调递增,则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿.615.若函数f(x)=ax2−2x−|x2−ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为＿＿＿＿＿.解答题共616.已知数列{a}的前n项和为S,n∈N∗,从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知,nn并完成解答:(1)求数列{an}的通项公式;(2)设等比数列{b}满足b=a,b=a,求数列{a+b}的前n项和T.n2437nnn条件①:a1=−3;条件②:an+1−an=2;条件③:S2=−4.x2√xx217.已知向量m=(cos,−1),n=(3sin,cos2),函数f(x)=m·n+1.2(1)求函数f(x)在[0,π]上的最值,并求此时x的值;12(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向π31左平移个单位长度并向下平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若在△ABC中,2A12角A,,C的对边分别为a,b,c,g()=,a=2,b+c=4,求△ABC的面积.2π418.如图所示,已知△ABC中,D为上一点,∠A=,√AB=4,BD=10,AD>AB.(1)求sin∠ADB;(2)若sin∠=2sinC,求的长.x2−a(a+2)x19.已知函数f(x)=(a>0).x+1(1)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)求函数f(x)在[0,2]上的最小值.北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二ꢀ第3页（共4页）alnxx+1bx20.已知函数f(x)=(1)求a,b的值;+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0.lnxx−1kx(2)如果当x>0,且x,1时,f(x)>+,求k的取值范围.21.已知无穷数列{a}是首项为1,各项均为正整数的递增数列,集合A={k∈N∗|a<k<nna,n∈N∗}.若对于集合A中的元素k,数列{a}中存在不相同的项a,a,···,a,使得n+1nii2im1a+a+···+a=k,则称数列{a}具有性质N(k),记集合B={k|数列{a}具有性质iiimnn12N(k)}.(1)若数列{a}的通项公式为a=2n1n64,−,写出集合A与集合;nnn+,6n4>.(2)若集合A与集合B都是非空集合,且集合A中的最小元素为t,集合B中的最小元素为s,当t>3时,证明:t=s;(3)若{a}满足2a>an+1,n∈N∗,证明:A=.nn北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二ꢀ第4页（共4页）北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二参考答案1.A2.(2024海淀高三上期末2)D3.D4.Aππωφ=,+32π由表中的数据可得A=5,由解得ω=2,φ=−,所以f(x)=53π6πω+φ=62π6π6ππ125sin(2x−),y=5sin2x,将f(x)=5sin(2x−)=5sin[2(x−)]图象向左平移单12位后得到y=5sin2x的图象.5.B如图,设菱形对角线交点为O,因为+=#–AD+=AC,∠DAB=60◦,所以△ABD为等边三角形.又因为AB=2,所以OB=1.在Rt△AOB中,√√√|AO|=|AB|2−|OB|2=3,所以|AC|=2|AO|=23.6.A7.B由题中图象可知,x,1且x,5,因为ax2+bx+c,0,可知ax2+bx+c=0的两根为bcx=1,x=5,由根与系数的关系得x+x=−=6,xx==5,所以a,b异号,a,c121212aadc同号,又因为f(0)=<0,所以c,d异号,结合四个选项,只有选项B符合题意,故选B.8.(2024房山高三上期末8)A11因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,所以P0·e−9k=P0,即e−9k=,所551以e−3k=().再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为P·e−=P×(e−)=1312k3k4005151543P0×()≈×0.585×P≈12%P.009.A由题意,不妨令g(x)=(a−2)x+4a+1,x∈(−∞,2];h(x)=2ax−1,x∈(2,+∞).①当0<a<1时,g(x)=(a−2)x+4a+1在(−∞,2]上单调递减,h(x)=2ax−1在(2,+∞)上北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二参考答案ꢀ第1页（共7页）单调递减,易知h(x)=2ax−1在(2,+∞)上的值域为(0,2a),又因为f(x)存在最小值,只1212需g(2)=(a−2)×2+4a+160,解得a6,又由0<a<1,从而0<a6;②当1<a<2时,g(x)=(a−2)x+4a+1在(−∞,2]上单调递减,h(x)=2ax−1在(2,+∞)上单调3递增,又因为f(x)存在最小值,故g(2)6h(2),即(a−2)×2+4a+162a,解得a6,这49x62,,与1<a<2矛盾;③当a=2时,f(x)=易知f(x)的值域为(4,+∞),显然2>,2xx,f(x)无最小值;④当a>2时,g(x)=(a−2)x+4a+1在(−∞,2]上单调递增,h(x)=2ax−112在(2,+∞)上单调递增,从而f(x)无最小值.综上所述,实数a的取值范围为(0,].10.D11.(2018三基小题训练(5)6)−2.ππ612.(2024东城一模13)α=,β=(答案不唯一).313.(2022石景山高二下期末14)2.11211由anan+1+1=an,可得an+1=1−,从而可得:a1=,a2=1−=−1,a3=1−a2=2,aan1112a4=1−=,故数列{an}是周期为3的数列,可得a2022=a3×674=a3=2.a314.[2,+∞).a−sinxcosxππ3ππ63因为函数f(x)=在区间(,)上单调递增,所以f′(x)>0在区间(,)6=cosx·sinx−(a−sinx)·(−sinx)asinx−1cos2x1恒成立,f′(x)==.因为cos2x>0,所cos2xππππ以asinx−1>0在区间(,)恒成立,所以a>.因为x∈(63,),所以63sinx<2,所以a的取值范围是[2,+∞).sinx√√1232331<sinx<⇒<215.(2023高考天津15)(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).当x2−ax+1>0时,f(x)=0⇔(a−1)x2+(a−2)x−1=0,即[(a−1)x−1](x+1)=0,1若a=1时,x=−1,此时x2−ax+1>0成立;若a,1时,x=或x=−1,若方a−11程有一根为x=−1,则1+a+1>0,即a>−2且a,1;若方程有一根为x=,a−1111则()2−a×+1>0,解得a62且a,1;若x==−时1=,a0,此时a−1a−1a−11+a+1>0成立.当x2−ax+1<0时,f(x)=0⇔(a+1)x2−(a+2)x+1=0,即[(a+1)x−1](x−1)=0,1若a=−1时,x=1,显然x2−ax+1<0不成立;若a,−1时,x=1或x=,a+1北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二参考答案ꢀ第2页（共7页）1若方程有一根为x=1,则1−a+1<0,即a>2;若方程有一根为x=,则a+1111()2−a×+1<0,解得a<−2;若x==1时,a=0,显然x2−ax+1<0a+1a+1a+1111不成立.综上,当a<−2时,零点为,;当−26a<0时,零点为,−1;当a+1a−1a−11a=0时,只有一个零点−1;当0<a<1时,零点为−1;当1<a62时,零点为点时,a,0且a,1.a的取值范围为(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).,−1;当a=1时,只有一个零点a−11,−1;当a>2时,零点为1,−1.所以,当函数有两个零a−116.选择①②作为已知条件.(1)因为a1=−3,an+1−an=2,所以数列{a}是以a=−3为首项,公差d=2的等差数列.n1所以an=2n−5.选择②③作为已知条件.(1)因为an+1−a=2,所以数列{a}是以a为首项,公差为d=2的等差数列.nn1因为S=−4,所以a+a=−4.所以2a+d=−4.所以a=−3.21211所以an=2n−5.(2)设等比数列{b}的公比为q,则b=a=3,b=a=9,q=b3b2=3,n2437b2q33所以b1===1.所以等比数列{b}的通项公式为b=bqn−1=3n−1.nn1所以a+b=(2n−5)+3n−1.nn所以T=(a+b)+(a+b)+···+(a+b)=(a+a+···+a)+(b+b+···+b)n1122nn12n12nn×[−3+(2n−5)]n1−3=[−3+(−1)+···+(2n−5)]+(1+3+···+3n−1)=+21−312=n2−4n+(3n1).−√2√xxx311π1217.(1)f(x)=3sincos−cos2+1=sinx−cosx+=sin(x−)+.222226π6π5π6因为x∈[0,π],所以x−∈[−,],6π6π所以当x−=−,即x=0时,f(x)min=0,6π6π22π332当x−=,即x=时,f(x)max=.2π332所以当x=0时,f(x)min=0,当x=时,f(x)max=.1(2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=2π612π312sin(2x−)+的图象,再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二参考答案ꢀ第3页（共7页）πππ度,得到函数g(x)=sin[2(x+)−]=sin(2x+)=cos2x的图象.362A1π因为g()=cosA=,又0<A<π,所以A=.223在△ABC中,a2=b2+c2−2bccosA,12所以22=b2+c2−2bc×,所以4=(b+c)2−2bc−bc,即4=42−3bc,所以bc=4.√3√3√121π所以S=bcsinA=bcsin=bc=×4=3.△ABC234418.(2023海淀高一下期末17)ABBD(1)在△ABD中,由正弦定理可得=,sin∠ADBsin∠AAB所以sin∠ADB=sin∠A.BD√π又因为∠A=,AB=4,BD=10,4√2√5425所以sin∠ADB=√×=.210(2)因为AD>AB,所以∠ABD>∠ADB,所以∠ADB<90◦,√55所以cos∠ADB=.sin∠BD方法一:由正弦定理可知=,又sin∠=2sinC,sinC√所以=2BD=210,由余弦定理可得BC2=BD2+DC2−2BD·cos∠√化简整理得DC2+22−30=0,√解得=32.√255方法二:因为sin∠=sin∠ADB=且sin∠=2sinC,√sin∠5所以sinC==.25√25由题意可得C<∠ADB,所以cosC=,5所以sin∠DBC=sin(∠ADB−C)=sin∠ADB·cosC−cos∠ADB·sinC√√√5√55255255535=×−×=.BD在△中,由正弦定理可得=,sin∠DBCsinC3√√sin∠DBC55所以=BD=√×10=32.sinC519.(2010海淀高三上期中理19)北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二参考答案ꢀ第4页（共7页）x2−3xx+1(1)当a=1时,f(x)=x2+2x−3,f′(x)=,x,−1,(x+1)234所以f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为y=(x−3),即3x−4y−9=0.x2+2x−a(a+2)[x+(a+2)](x−a)(2)x,−1,f′(x)==.(x+1)2(x+1)2x2+2x(x+1)2①当a=0时,在(0,2]上导函数f′(x)=的最小值为f(0)=0;>0,所以f(x)在[0,2]上递增,可得f(x)②当0<a<2时,导函数f′(x)的符号如下表所示:x[0,a)−↘a0(a,2]+f′(x)f(x)极小↗a2−a2(a+2)a+1所以f(x)的最小值为f(a)==−a2;③当a>2时,在[0,2)上导函数f′(x)<0,所以f(x)在[0,2]上递减,所以f(x)的最小值4−2a(a+2)24343为f(2)==−a2−a+.3320.(2011高考课标理21)x+1a(−lnx)xbx2(1)f′(x)=−.(x+1)21由于直线x+2y−3=0的斜率为−,且过点(1,1),2f(1)=,1b=,1a=,1故即解得a121f′(1)b−,−−,b=,1==22lnxx+11(2)由(1)知f(x)=+,x(k−1)(x2−1)lnxk1−所以f(x)−(+)=[2lnx+].x−1x1x2x(k−1)(x2−1)(k−1)(x2+1)+2x设h(x)=2lnx+(x>0),则h′(x)=.xx2k(x+1)2−(x−1)2①若k60.由h′(x)=知,x2当x,1时,h′(x)<0,h(x)单调递减.1而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得h(x)>0;1−x21当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得h(x)>0.1−x2北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二参考答案ꢀ第5页（共7页）lnxkx从而当x>0且x,1时,f(x)−(+)>0,x−1lnxk即f(x)>+.x−1x②若0<k<1.由于y=(k−1)(x2+1)+2x=(k−1)x2+2x+k−1的图象开口向下,1且∆=4−4(k−1)2>0,对称轴x=>1.1−k11当x∈(1,)时,(k−1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,)1−k1−k1时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾.1−x21③设k>1,此时h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得h(x)<0,1−x2与题设矛盾.综上所述,k的取值范围为(−∞,0].21.(2024房山一模21)(1)定义C={a,a,a,···,a,···},由题意可知A={C.123nN∗2n1n64,−,若数列{a}的通项公式为a=可知C={1,3,5,7,11,12,13,···},4>.nnn+,6n所以A={N∗C={2,4,6,8,9,10}.因为2只能写成2=1+1,不合题意,即2<;4=1+3,符合题意,即4∈;6=1+5,符合题意,即6∈;8=1+7,符合题意,即8∈;9=1+3+5,符合题意,即9∈;10=3+7,符合题意,即10∈.所以B={4,6,8,9,10}.(2)因为t>3,由题意可知:1,2,···,t−1<A,且t6s,即1,2,···,t−1∈C.因为t=1+t−1,即存在不相同的项a=1,a=t−1,使得a+a=t,1K1K可知t∈,所以t=s.(3)因为a=1,2a>a,n∈N∗,1nn+1令n=1,可得a62a=2,则a=2,即1,2∈C,212即集合A,B在(a,a)内均不存在元素,此时我们认为集合A,B在(a,a)内的元素相同.1212①若集合A是空集,则B是空集,满足A=;②若集合A不是空集,集合A中的最小元素为t,可知t>3,由(2)可知:集合B存在的最小元素为s,且t=s,北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统考二参考答案ꢀ第6页（共7页）设存在n>2,n∈N∗,使得26a<