山东专用2025版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算学案含解析

PAGE4-第四章平面对量、数系的扩充与复数的引入第一讲平面对量的概念及其线性运算ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一向量的有关概念(1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__长度__(或称__模__)．(2)零向量：__长度为0__的向量叫做零向量，其方向是__随意__的，零向量记作__0__.(3)单位向量：长度等于__1__个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或__相反__的__非零__向量；平行向量又叫__共线__向量．规定：0与任一向量__平行__.(5)相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量．(6)相反向量：长度__相等__且方向__相反__的向量．学问点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算__三角形__法则__平行四边形__法则(1)交换律：a＋b＝__b＋a__；(2)结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__减法向量a加上向量b的__相反向量__叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b__三角形__法则a－b＝a＋(－b)数乘实数λ与向量a的积是一个__向量__记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向__相同__；当λ<0时，λa与a的方向__相反__；当λ＝0时，λa＝0设λ，μ是实数．(1)__λ(μa)__＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝__λa＋μa__(3)λ(a＋b)＝__λa＋λb__.学问点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使__b＝λa__.eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．零向量与任何向量共线．2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线．4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P为AB的中点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)以下说法不正确的是(ABCD)A．向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量B．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反D．当两个非零向量a，b共线时，肯定有b＝λa，反之成立题组二走进教材2．(必修4P91A组T4改编)化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(B)A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．0C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.3．(必修4P84T4改编)(2024·太原模拟)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量a－b等于(C)A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2[解析]由图可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，∴a－b＝e1－3e2，故选C．4．(必修4P92A组T11改编)(2024·湖北武汉模拟)如图所示，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝(D)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))[解析]由于eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，故eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).题组三考题再现5．(2024·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＝(A)A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))[解析]解法一：如图所示，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A．解法二：eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A．6．(2024·新课标2)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__eq\f(1,2)__.[解析]∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)a＝(2m－1)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－m＝0,2m－1＝0))，解得λ＝eq\f(1,2).KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一向量的基本概念——自主练透例1(1)(多选题)给出下列命题不正确的是(ACD)A．单位向量都相等B．若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线(2)(2024·陕西宝鸡金台模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，肯定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是(D)A．a⊥b B．a∥bC．a＝2b D．a＝－b[分析](1)正确理解向量的基本概念是解决本题的关键，特殊对相等向量、单位向量、零向量理解到位．举反例进行否定是行之有效的方法．(2)利用单位向量与向量相等的概念求解．[解析](1)A不正确，单位向量模都相等，但方向不肯定相同．B是正确的，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．C是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是充要条件，而是必要不充分条件．D是错误的；当λ＝μ＝0时，a与b可以为随意向量，满意λa＝μb，但a与b不肯定共线，故选A、C、D．(2)由eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0，即eq\f(a,|a|)＝－eq\f(b,|b|)，从选项入手只有a＝－b具有这样的结论，故选D．[引申]若本例(1)⑤中的实数λ，μ满意λ2＋μ2≠0，该结论是否正确？[解析]由λ2＋μ2≠0知实数λ，μ中至少有一个不为0.①若λ、μ中有一个为0，不妨设λ≠0，μ＝0，则λa＝0·b＝0.因为λ≠0，所以a＝0，又0与任何向量共线，所以结论正确．②若λ、μ都不为0由λa＝μb得a＝eq\f(μ,λ)b，由共线向量定理知结论正确．综上所述，该结论正确．名师点拨☞(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量肯定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系是：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量．考点二向量的线性运算——师生共研例2(1)(2024·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的随意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于(D)A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))(2)(2024·福建高三质检)庄重漂亮的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个特别美丽的几何图形，且与黄金分割有着亲密的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).下列关系中正确的是(A)A．eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→))B．eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up6(→))C．eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))D．eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))[解析](1)如图，在△OAC中，M为AC中点，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，在△OBD中，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，故选D．(2)由题意得，eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(TE,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(SE,\s\up6(→))＝eq\f(\o(RS,\s\up6(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→))，所以A正确；eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(TA,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up6(→))，所以B错误；eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(RC,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(RQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up6(→))，所以C错误；eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(SD,\s\up6(→))＋eq\o(RD,\s\up6(→))，eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))＝eq\o(RS,\s\up6(→))＝eq\o(RD,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))，若eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))，则eq\o(SD,\s\up6(→))＝0，不合题意，所以D错误．故选A．名师点拨☞平面对量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义．(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．(4)与平行四边形综合，探讨向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．〔变式训练1〕(1)已知三角形ABC是等边三角形，D为AB的中点，点E满意2eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝(A)A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))C．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))(2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(D)A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b[解析](1)由2eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝0知eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).(2)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.考点三共线向量定理及其应用——师生共研例3设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[分析](1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解．[解析](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1.[引申]本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝__－1__；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝__1__.[解析]由本例可知ka＋b与a＋kb反向时λ<0，从而k＝－1；ka＋b与a＋kb同向时λ>0，从而k＝1.名师点拨☞平面对量共线的判定方法(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要留意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要留意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．〔变式训练2〕(1)(2024·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(B)A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)(2)已知向量a，b，c中随意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(D)A．a B．bC．c D．0[解析](1)由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).故选B．(2)∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.由①得：b＝λ1c－a∴b＋c＝λ1c－a＋