高数基础知识

考研•高教基础知识切片讲义

高数基础知

识

切片讲义

目录

第一章函数、极限、连续..............................................1

LJ-识切片1一函数的概念及特性..................................1

LJ知识切片2基本初等函数......................................5

GJ知识切片3常用函数..........................................8

CJ知识切片1—列极限及其性质................................11

Qi知识切片5，散极限及其性庾................................14

LJ知识切片6极限的运算法则..................................18

3知识切片7极限存在的四个准则.............................21

I□知识切片8两个臣要极限....................................23

LJ知识切片9无穷小。无穷大..................................25

LJ知识切片10济必达法则......................................30

CJ知识切片H——函数的连续件....................................33

6知识切片12函数的间断点....................................35

LJ知识切片13连续函数的结论与性质...........................38

第二章一元函数微分学...........................................41

LJ知识切片14——导数的定义与几何意义...........................42

LJ知识切片15微分的定义与几何意义...........................47

G3知识切片16#数与微分的计算................................19

LJ知识切片17高阶导数的求法..................................54

LJ知识切片18—费马引JB与罗尔定理.............................56

LJ知识切片19拉格朗H中值定理及其推论.......................58

LJ知识切片20柯西中值定理....................................60

d知识切片21—泰初中侑定理（泰勒公式）.........................61

LJ知识切片22函数的单调性....................................64

I

CO知识切片23函数的极值......................................67

3-识切片24的最大值与Jft小值...........................70

LU知识切片25曲线的凹凸性与拐点..............................72

LU知识切片26曲线的渐近线....................................75

第三章一元函数积分学...........................................77

QJ知识切片27不一一分的魁念与性质...........................77

U知识切片28第•换元积分法（决微分法》.......................83

3知识切片29第二换元积分法..................................87

LJ知识切片30分部积分法......................................91

U知识切片31有理函数的积分..................................91

3知识切片32定积分的定义及几何彦义.........................97

山如识切片33定枳分的性质..................................101

I□知识切片34变限积分函数及牛一茱公式.....................104

U知识切片35定积分的计算方法..............................110

Q知识切片36——反常积分..............................116

£□知识切片37定积分的几何应用..............................123

第四章多元函数微分学............................................127

£3知识切片38多元函数的极限、连续............................127

LJ知识切片39B无函数的偏导数..............................131

03知识切片40——全微分........................................136

LJ知识切片41除函数的儡导数................................139

£□知识切片42无条件极位....................................143

山知识切片43条件一值《城值）问题...........................115

第五章二重积分..................................................117

山知识切片44一二市积分的概念与性质.........................147

ID知识切片13—利用在用坐标计第二币积分....................150

m知识切片16二市积分的换元法..............................152

EJ知识切片17二用积分的简化计算...........................155

第六章常微分方程................................................157

I□知识切片18微分方程的联本慨念............................157

GJ知识切片19一阶微分方程..................................159

tXI知识切片50线性微分方程M的结构.........................162

LJ知识切片51常系数线件微分方程............................165

第七章无穷级数（数一、三）........................................170

LJ知识切片52数项级数的慨念与性质........................171

山如识切片33正顶级数与交错级数............................173

LJ知识切片54绝对收敛与条件收敛..........................178

LJ知识切片55M级数的收敛区间《域）..........................180

U知识切片56¥级数的和函数................................184

LU知识切片57函数展开成耶级数..............................186

d知识切片58何甲叶级数（数-）..............................188

第八章向量代数与空间解析几何（数一）...........................193

m知识切片59向员代数.......................................193

£□知识切片60平血及JC方程...................................197

LJ知识切片61空间一线及其方程..............................199

Q知识切片62—曲面及M方程.................................202

山知设切片63空间的曲线及其方程............................205

山知识切片61多元微分学的几何应用..........................207

第九章三重积分（数一）...........................................209

CQ知识切片65三小积分的概念与性质..........................209

QJ知识切片66三一一分的计算................................211

山知识切片67三所积分简化计算..............................215

第十章曲线积分与曲面积分（数一）...............................217

山知识切片68对瓠长的曲线积分..............................217

£□知识切片69时坐标的曲线积分..............................221

£□知识切片70格林公式.......................................225

LJ知识切片71曲线枳分与路竹无关............................227

IU

知识切片72。面枳的曲曲枳分..............................229

知识切片73对*标的曲面枳分..............................232

知IR切片74高斯公式......................................235

知我切片75方向切片与悌度................................237

知识切片76通H、散隙.旋度................................240

知识切片77斯托克斯公式..................................242

第一章函数、极限、连续

【大纲要求】

1.理斛函数的匿念,掌樨函数的会示法•并会建S应用何的中的函数关系.

2.r制函数的行界性、总调性、周期性和奇偶性.

3.理解”介函数及分段函数的假念.广就反函数及隐函数的假念.

L常握从不初等函数的性质及其图形.广斛初等南故的概念.

5.两冢极限的微念,理聃雨数左帙米与右极限的概念•以及函数极限存在与左、

打极限之间的关系.

6,掌握极网的性质及四则运葬法则.

7,学押极限存在的两个准则,川会利川它们求极限•掌握利用两个用要极限求

极限的方法，

8.理解无解小Mt、无穷大W的假念•掌握无穷小U的比较方法.会用等价无穷小

址求极限.

9.理解函数连续性的慨念《含在连续与右连续）•会判别函数间断点的类巾.

io.r胡连续函数的性质和初等函数的连续性.理解闭区同1二连续函数的性破

（“界件，最大值和最小侑定理、介值定理）,并会应用这此性质.

【本章重点）

1.掌握求极限的各种方法.

2.掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法.会用等价无穷小求极限.

3.判断函数是舍连续及确定间断点的类型（木质I二是求极限）.

4.闭区间连续褊数的性质.

O1知识切片1—函数的概念及特性

1.函数的定义

设D是一个实数集合.如果有一个对应法则/.时用一个.r£。.都能时应喑

•的一个实数了.则这个对应法则/称为定义在QI-的一个函数,汜为丫/（」）.

高数基础知识切片讲义

称J为自变川・》为因变1丸〃称为定义域.并把实数集Z—Lv,y八/）・.，6”称

为函数的值域.

函数的两个要素：1）定义域，2）时应法则.

【例】求匚上的定义域.

【例】设/—）的定义域为：0.1]•求南数八/a）•/（j-“）（“-0）的定

义域.

2.函数的特性

（1）有界性

设函数在X内外定义.若存在正数M•使V/6X时那〃I"，》|《

M成立.则称/「）在：X上有界.如果这样的M不存在就称函数八」）在工工

无界.

注：有界性与区间有关，比如自做v'在区间（1・2）上有界但是作区间

（0J）上无界,所以在有论函做有没有界的时候一定要指明区间.

《2》奇偶性

设函数r<.r）的定义域X关厂原点对称・七财V，£X•部行“一”）-

—・则称/（.H在X1是奇函数，若WVr£X•都行/《一/）仆）.则称

/（.,）在X上是偶函数,奇函数的图象大于原启时你：偶函数的图象关下.v轴对称•

第一毒函数、极限.连续

（3）周期性

设/（」）在X上有定义.如果存在常数7>0•使用V，WX・.r士丁WX•都

。/（.，♦/>=/。）.则称/J）二周期函数•称丁为I"的周期.通常我们说

周期函数的周期是指最小正周期但是并不是所外的周期函数都有最小H周期.比

如/（.,）-l.V/£R.容易验证这是一个周期函数.任何正数都是它的周期•因为不

存在最小的正数所以它没有最小1E周期.

（4）单调性

设fQ）在X卜行定义.若对Vri一6X・-V」都有/（^）</（.,：）

称/（X）在X上单调增加•同理.若对Vxj.x；eX.J<r,都ff/<ri）>

/（小）•则称/（x）在x上单调减少，

匕对V人,八WX•-VQ•都有f（ui）&/（」：）（/《］）2/C））则称

/（r）ftX上单浏不减《单调不增）.

3

高数基础知识切片讲义

【基础练习题1](答案见考虫APP资料下我区pdf)

L求下列函数的自然定义域

«I)y=工+2.(2)y-；----j.

1—jr

(3)y=---.■.(4)v=InGr+1).

-47

2.设)的定义域〃[0.1].求卜列各函数的定义域

(1)/(/).(2)/(jr+a)(a>0).

3.判断F列各组函数是否为同•个函数

⑴y与y=^^.

(2)y=，JT*卜尸与y=1\/J-4-1.

1.卜列哪个函放任K定义域上的无界雨数

(A),y=arctanc,.(B)v=sinxcos.r.

襦(D)y=L.

5.卜列函数哪些是偶或数？哪此心存雨收？鼻弗止II盲M偶函教》

(Dy=/(1一.).

(3)y=«3x*-r'(4)>»=sinx-coa.r

6.已知/(」).*(”)均定义在(力--xO内・“*/)为行函数./(/)为偶

函数•则，[>(工)]为()

(A)奇函数.(B)偶函数.

(C)非奇作偶函数.(D)不确定.

7.下列各函数中哪此是周期函数？对于周期雨数•指出其周期.

<1)>=COSJ.(2)v-sin2x.

(3)y=»2sin.r4-3.(4)y=.rcosz

8.定义在R1的函数”.，)满足/(，，2)——八r)・证明”(」)以4为周期.

4

第一章函数、极限、连续

LJ知识切片2—基本初等函数

1.基本初等函数

1）林函数yk（。常数）.

2）指数函数.v=5>0必H1常数）—1=2.7182….无理数）.

3）对数函数y^log-r（a>O.a/1常数八

当a时•称为门然对数y=la.

w

常用的时数件航：lnrIn./In.v.i>O.v-0{In.i>ilnj>0.

我们常说的“c拾起法”就足MJ指数与对数的关系给出的.

“。抬起法7〃《/广''=c二-'''i''（〃a）>0）.

t）三仰函数ysin.rjy=COST;y-tanjiy-cot.r；y=sccjr;y=c“/.

5）反三角南故,varcsinu;,varccos.r；v-arclan.r；y—arccoLr.

2.三角函数公式

同角三角公式

MinaCMCa1.cosasvea=1.

tHiiacola=I.sin'a+v（＞s;aI

1+tan'a-seea.l+cot;a-csc:a

5inacosa

taria=------.Ea=——・

cosasina

二倍角公式

sin2a2siriacosa.

cos2o=005*0sin;o1-2sinro

.,1-cos2a1+cos2a

2cosa=------三・一

.2tanacota-1

tan2a=-----------r-cot2a

1lana2rota

和角与差角公式

sin（a+0）sinocosfl寸cosasin^.

cos（a±«）=cosacos/?Tsniasin/?.

asina+bcosa^u1hsin（ai3）（lan^=一）.

5

高数基础知识切片讲义

三角函数的和差化积与积化和差公式

.0+0a-B

sina十siw，=2sin-^-cos-

64

a+R.a-R

5inasi叩=2cos-广wn一尸1.

o+8a—R

cosa,cos/?=2cos-^-cos-.

a+0a-/

cosa-cos5——2sm-^-sin-

22

sinaco«/J=y[sin(a4/?)4-sin(a/?)].

4

cosacos/?-"cos(o+g)+COM(a­/?)].

co5asin/?=—[sin(a4-/?)»in<ajj)].

sinasin/?=­3[cos(a+，》-costag)).

诙导公式

sin(y±x)COD；5in(5-x)=sinx；»in(“+1)sinx；

cos(——x)—sin.r1cos(3+1)—sinx1costK±J)—-cos.r.

【基础练习题2]

1.卜列各式中.正确的是

（A）r'•r'—，'.(B)(x1)57、

（C）x1•=.r\(D)I,.4'=2i".

2.下列各式中正确的是

(B)d'=—\f(l.

((')v^'=­a(aV0).""（£）'=J（打储》#。）・

3.以卜结论（假定各式均行意义）正确的有

口②ln(Inc)=0.③Ina\nhIn

b

c=Inj.则/e:.(5匕10=辰丁.则/;100.@Ins/x-彳ln/.

«.2①②③④.(B)②③④⑤.

(C)②③⑤⑥.⑴)③④⑤⑥.

6

第一电函数、极限、连续

1.将/（.，＞［（1+；）用“C抬起“化成V分函数的形式.

5.计算下列各18

(2)cos亍

x

(3)tan-ycot—=

■

nn

(4)sec-—________:esc==_________.

6M

6,计算下列各超

(1)arcsin^-•»;arcsin(—=

(2)arccosO=iarccos1=.

(3)arctanl=sarctanV3-

(4)arccot1=\arccot

7,下列式J•中•有意义的为

(A)arcsing.(B>aresiny.

((*)sin(arcsin2).(D)arcsin(sin2).

3

8.11Silaria"—•则sin2a

(A)掾.(B)-(C)—'.(D)

9.已知sina+4叩~(i.cox>+cos/?=6♦则cos(o一夕)一.

10.3】/的最小正周期为Icd♦的最小正周期为—

11.下列等式中•恒成立的有

•a+FaR

(A)sina-sin/?=2xin-"-cos---.

44

gin=

(B)COM+cc般2sn\

(C)cosacos^■■y[cos(fl4-/?)-rcox(afl)1.

(n)Sinasin/?=yCOS(a十月)一cos(a一月).

高数单础知识切片讲义

山知识切片3——常用函数

1.复合函数

设、=/(“》的定义域为的定义域为X.值域为U•.如果U・U

U.JH.V/[>(.-]是定义在X卜的一个复合函数JC中“称为中间变仙.

ie,•“Vl・(2+«r,“VO.

【例】.

J.121|/一1.*\0.

2.初等函数

由从小初等函数和常数经过有限次四则运算和行限次的函数U合达许得到的

可以用一个式子来表达的函数你为初等函数.

3.分段函数

如果对于口变量在定义域内不同的取值,函数不能用同一个冷达式&水.而它

用两个或两个以上的衣达式来衣布•这类函数作为分段函数.通常&示为।

/i(-r)・“W/.

/：(/)・.i6h

yv/(上)=，

■*

♦1£1・

注：1)分段晶做是一个事数(不是几个),许多家极限求导求枳分的人题都与分

代的敝有关.

2)以下儿笑函数也是分段函数

1.J->0

①符号函数：N=、"r。・)一

1.x<0

②绝对值函数：.VW/《l)I，

③取整函数：了一[/《1》]»

Q)y=max<fix)-K(.r)>i

O.v-mini/(r).«(.r)).

8

第一尊函数、极限、连续

【例】W/W[0,2，求JJ・

【例】求nuix{r.t.

I.反函数

若yn可以解出"V）是个中值函数.则称它为/（J）的反函数,记为

/=/'（V）.简单地说•由N・八X）‘"'»」=/"丫）.例如y=/J20）解出

」一♦（、00）.侑利注点的是•若将/一/"W可.v/J）的函数图像画在同•个

坐标系中•它们是币:含的•只々将y=八，）的反函数*=/（.v）写成y/1/）后,它

们的图像牙关线.v-x对称,所以通常我们所谓的反函数寸原来的函数图像关广直

线了0/对称.依域定义域互换都是因为互换了字母/,、・

5.隐函数

一般的.如果变M7..V满足一个方程Fa…）-0•住一定条件卜•节.r取某IX阿

内任•俏时.相应地总“满足这方程的啡•的）值存C.那么就说方程FQ..v）=0

在城区间内确定了一个总函数.

6.（数一、数二）由参数方程定义的函数

*=©（/）

7；参数方程〈确定/y之间的函数匕系.则称此函数关系式为由

y=叭I）

参数方程确定的函数,这种函数出正的门变收是，.一.v都是，的函数栏式.

9

高数基础知识切片请义

【基础练习题3]

1.求由所给南致构成的驻公函数

(1),v〃：・〃*=sin./.

(2)y—smu»u®.r*.

2.F列初等函敢是由哪此从本初等函数乂合而成

(1)/(x)=2—,

(2)/(.1)=sinJ.

(3)/(x)arcsin(</*).

0<<1.尸・0&NV2.

3.设/（X）«(才)=<

44IV6.I+2・2&了41・

求/LK<->)j和K

|c'•/V1・[”+2.lV0.

4.已知/(])=1*《,)・<求/Lx(i>].

[上•上>1・!.r:-1.120・

5.将下列函数&示为分段函数

(1)y=sgn(JT1-x>.

(2)y=min；1・.".

(3)y="[arcinn.r].

6.下列函数中有反函数的是(

|J-.04N&】♦

(A)ER)・(B》y=《

13—1・1/»r42.

(C)>-sin.r(J£R).(T>),v-InJ(X#0).

7.在同一flm坐标系中.v=c'=1ny的图像.,ve*ljyIn.r的

图像―•（城“相同”或“关于x=y对称”）

8.求下列函数的反函数

⑴y+j.(2)y=14ln(x42).

x=2CO5/-2・，一，

9.写出参数方桎/6<0.K)所确定的.y与1之间的函数关

y=2sinr・

系式.

第一章函数、极限.连续

L.J知识切片4一数列极限及其性质

1.数列极限定义

Ve>0.3正衿数N,当〃>N时•不等式I八一.MVc都成》•则称当〃►

0时.数列以常数八为极限（或称<.，.）收敛于人）.记为八.#则称

l•i••mr.

<x.|不收敛或发散.

注：1）敕列极限是一个并于〃的甯铁、

2）数到糙限存在与否与我列圻有限”无关.

【例】设，・>・->・/・）均为诈负数列l.liim.8.则必有

•・•・•••・♦

（A）u.</>.对任意，，成4.<B）//.V«・时任意«成»X.

《（•）极限lima.，.不存在.《1））极限lin历".不〃:在.

【定理】收敛数列与其子数列之间的关系：如果数列（.，.）收敛JA,那么它的

任一子数列也收敛.且极限也是A.

数列极限存在的充要条件：

，・

l•i・m•.r.A—•l一i•m/.=・l•i•m•i।—A

【例】设"・）是数列.卜列命题中不正确的是（）

（A）若lim.r.H0•则linir・=.«=a,

•••,•••♦♦

（H）若lim」：.=hm.r：.=u•则linu・=a.

•♦■••・•・•・

（C）若lim.r.-u.则limr,.-lim.r…।a.

・••••••♦・

（I））若lim.r・—limr——a.则linw.a.

11

高数鼻础知识切片次义

2.数列极限的性质

⑴噜一性

设hm.i.A.hm.r.H•则八—li.

•・・・•・

(2)保号性

设lim4.=A>0.则“在正整数N.当〃>N时・，・>0.

•••

反之.？；]・>0illimr.=A・则八孑0.

••・

《3)行界性

设lim/・二八.则数列LrJ一定有界.

•••

【例】lima.a.[La10•娟巧"充分大时力

•••

(A).(B>la.IV号L

(C)a.>a(D)a,Va+­—.

第一宣函数、极限、连续

【基础练习题4】

I.判断F则命SS的我假

(1)数列0.1,0・1・一・'\"•…的极限是o和I.

⑵数列1.：」.)・・•・([)•・J丁・・••的极限是0.

（3）数列<inl.sin-.sin―•••,.sin一.…的极限不存在.

n

2.刘断卜.列命题的人假

(1)lima.Vc，0.三\'>0•当〃>时.a.u<2c.

(2)link/.“EVE>0.3X>0・w>、时-u.a；^-c".

(3)limu.a=Vr>0・三、>0.当〃>N时.a.—a<e*.

■

已知.则在区间6jA+E)外(。为任意小的正的常数》,数

3.•l•i•ma”A

列(明)的项数为・(填”“限项”或“无穷项”)

4.问答题

(1)•个数列1・(〃1•2•…)的前面“限项(如.，―/・・・・.1・)的该数的是否

有极限或有极限时的极限值a影响吗？

(2)正数数列的极限一定是正数吗？

若八・2•…)且有极限.linrr.=A.limr.=/，.则有A>B.还

(3)>.v.("=I•一••・・

是A

(4)有界敢界一定有极限吗?无界敢列一定没有微眼吗?

设二八20•则〃在正整数.、・当，；>、时.I.20?

(5)l•i•m•x.

5・用一列极限存在的用姿条件说明r.=(1)・(〃:1・2…)发散.

6・若lim.r.=c，证明i二«I.(提示：la1一右IYa-h\)

高数基础知识切片讲义

CQ知识切片5―函数极限及其性质

1.函数极限的定义

(1))Aa任给c>。.存在正数3・巧0VI.，-，IV8时•就有

|/<jr)-.A<e.

(2)lim/(.r)Ao任给c>0.存在正数6•当0V1一.「<6时•就行

|/(x)-4|<e.

(3)lim/C)—任给£>0•存在正数3,当SVJ.，V0时•就有

I/G)一4|Ve.

(4)=八一任给。>0.存在X>0•当./|>X时.就有

9••

|/(r)-A|<<.

(5)hm/Cr)A口任给£>0.存在X>0•当？>X时.就行/(.r)-Ac.

<6)lim/(^>=八口任给£>0.存存X>0・H/<X时.就有

|八.)一A|V*.

函数极限存在的充要条件

lim/(X)=Aalim/(J))=A・

lim/(r)=A=lim/(.t)=lini/(i)=.A.

【例】极限nmc；Arctan—为

…x

(A)0.(B)-ao.(C)+肛(D)不存在.且不是g.

urclan-r>1.

【例】设八」）如果lim/J）存在•则a为何值？

4•I

ajr・x<1.

14

第一审函数、极限、连蝮

【定理】（函数极限与数列极限的关系）如果极限lim/J）为南数

/Q）的定义域内任-收敛于/的数列.旦满足：.，•/.，（〃£N）.那么相应的函

数位数列必收敛•口

）-lim/（.r）.

I例】同极限hm是否〃。.为什么？

・“1x

2.函数极限的性质

(1)唯一性

设lim/(.r)—A・lim，(I)■B.则A=B.

・••，••

(2)保号性

①若lim/G)=A>0•则三方>0•当OV|/一」|V-时・/(.r)>0.

②若lim/Q)—八>0•则3X>0.^|i|>Xnf-/|/(J>>0.

③若/(x)>011hm/u>=八.则A20・

9•；.；

/(j-)-/(0)

【例】已知lin-l.M，，，—，，.)的极值点若是i

・•・1-COSJ-

大还是故小值点？

15

高数基妣知识切片讲义

(3)局部有界性

①若八存在•则3^>0.M>0•当Ovx-|Y3时•为|/Q)W、M.

②若八存作.则工•当时.“・

he•・m/3।7>0.V>0”>X，a)&M

【例】南数八工)--，"：’；二；)在F则哪个区间内仃界()

j(,r-1)(.r—2)

(A)(1.0).(B)(0.1).(C)(1.2).(D)(2.3).

第一章函数、极限、连续

【基础练习题5]

I.函数/Gr)在上=八处的极限不存在,则(

(A)/(x)在]，处必有定义.

(B>/(上)在】=.r处没仃定义.

(1,)/(/)在1-，处及其附近没有定义.

(D)/(T)r-.r.处可能4定义.可能无定义.

；----•・V。♦

I/

2・/。)=4八则/(/>在点，=°处的极限是(

0・上=0.

c*•1>Q・

(A)L(B)0.

(0-1.(D)不存在.

-I・t41・

3.已知函数/(1)=《确定忖数"•使lim/J)存在.

2，+a.，>1.…

1.时卜图所示的函数f(r).F列陈述中哪些是对的.哪些是错的？

(1)lim/(./)I:(2)limf(jr)不存在;

/♦I'・♦।

(3)lim/(r)=0j(4)lirn/(j)-11

•••

(5)lim/(.r)=11(6)lim/(x)—0»

••I'/-•I

(7)lim/(.r)0；(8)lim/(.r)=0.

••:

5.已知a.=—；(〃1.2.3.-)./(.r)=.求.

iii

6.连续函数八，)满足lim1(r)-2•划u=0是

“J

«A)极大低点.(B)极小值点.

(C)不是极值点.(I))不能判断是否为极值点.

7.用极限的局部仃界件说明arciaiu是仃界而散.

高数基础知识切片次义

£□知识切片6——极限的运算法则

1.极限四则运算法则

住用一个极限处近过程中•假设lin】/(/)二八.)H•则

1)litn[/(j)4-(j)|r\4-B.2)lim/(.r)>»(.r)-4一/$.

»>hm—^—7=A(B*0).

3)lim]/(.「)•g(x)—A•B.

“'-2*+1

【例】计算极限lim,

••:(i/)(./+2：+1

【例】计算极眼网j

(24+1〉《4+2》(刀+3〉

【例】计算极限lim

・••幅+1)《献+2)

[1-]+x-VJT

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第一■函数、极限、连续

2.复合运算法则

设函数y=/NJ)[是由函数〃=#(二)勺函数”合而成./[*)]

住点八的某去心邻域内行定义.若一.limf(“)=A.IL存在九>0,当

0<|不一|VX时行共(/)工〃.♦则lint/=lim/(w)-A.

・・・・.•••.

【例】Li知hn"(，)八•问hm/(<)兄f"f在"反之・Lm|八，)=0).

•・〃9・一乙

是否存在?

.•»

3.再指函数运算法则

设v=w(.r),(u(.i)>0>M(z)X1)•如果)=u>0«limv(.i)=6•则

EMIlim泞/，・/“1,，•<)./>

【例】求/(」)—g】Jl工，|•