5.4 三角函数的图象与性质【八大必考点+十八秒杀招+十大题型+分层训练】高一数学题型归类

5.4三角函数的图象与性质【八大必考点+十八秒杀招+十大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01正弦函数的图象1．正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线.2．正弦函数图象的画法(1)几何法①利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．(2)“五点法”①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．知识点02余弦函数的图象(1)余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线.(2)余弦函数图象的画法①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．知识点03正弦函数、余弦函数的性质函数名称函数性质y＝sinxy＝cosx相同处定义域RR值域[－1,1][－1,1]周期性最小正周期2π最小正周期2π不同处图象奇偶性奇函数偶函数单调性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上单调递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减最值x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)知识点04解读正弦、余弦函数的单调性(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．知识点05解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.(2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数的定义域来定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．(4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.知识点06正切函数的图象知识点07正切函数的性质1．定义域：，2．值域：R3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．5．单调性：在开区间内，函数单调递增知识点08正切函数型的性质1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2、值域：3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．4、周期：解题大招解题大招大招01用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y))，(π，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y))，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．大招02用图象变换法作函数图象对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图．(1)把y＝sinx的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象．(2)把y＝sinx的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象．大招03三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．大招04三角函数式的化简注意:(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;(3)注意“1”的变形应用.大招05求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间．当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．最后，需将最终结果写成区间形式．大招06求y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的单调区间，可以把ωx＋φ看作一个整体(保证ω>0)放入y=sinx和y=cosx的单调区间内，解不等式求得.尤其注意保证x的系数为正，否则应按“同增异减”的复合函数单调性求解.大招07比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单调性比较．大招08三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．大招09求三角函数的周期，一般有三种方法（1）定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2),相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为.函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．大招10正弦函数、余弦函数的奇偶性（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．大招11正弦函数、余弦函数的对称性(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；大招12求正切函数定义域的方法①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.②求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x.大招13求正切函数值域的方法①对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y＝tanx相关的二次函数，可以把tanx看成整体，利用配方法求值域大招14正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．大招15运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．大招16求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－eq\f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．大招17与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq\f(π,|ω|)，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．大招18正切函数的对称性正切曲线的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围．题型分类题型分类题型01五点法画正弦、余弦函数的图象【例1】用“五点法”作y=12cosA．0，π2，π，3B．0，π4，π2，C．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π【解题思路】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可.【解答过程】函数y=12cos用“五点法”作y=12cosx的图象，即作函数所以五个关键点的横坐标为0，π2，π，3故选：A.【变式1-1】当x∈0,2π时，曲线y=cosx与A．2 B．3 C．4 D．6【变式1-2】作出下列函数的大致图像：(1)y=sin(2)y=3sin题型02正、余弦函数图象的应用【例2】函数fx=ex−A．

B．

C．

D．

【解题思路】先根据判断fx为偶函数，排除C，由f0=0，排除D，由x∈0,π【解答过程】因为f−x=e−x−因为f0=0，排除D，因为当x∈0,π时，故选：A.【变式2-1】当x∈0,2π时，曲线y=cosx与A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-2】函数fx=1−A．

B．

C．

D．

题型03三角函数的定义域、值域与最值【例3】函数fx=−3tanA．xx≠π4C．xx≠2kπ+【解题思路】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域.【解答过程】由正切函数的定义域，令x2+π所以函数fx=−3tan故选：C.【变式3-1】函数fx=sinA．[0,3−1] B．[0,34] 【变式3-2】已知函数f(x)=sin3ωx+π6(ω>0)的最小正周期为2π3A．−32 B．−12 题型04由三角函数的值域（最值）求参数【例4】当x∈π6,m时，函数f(x)=cos3x+π3A．π9,7C．π9,5【解题思路】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3x+π3的范围，根据解法二：由x的范围求出3x+π3的范围，根据y=cos【解答过程】解法一：由题意，画出函数的图象，由x∈π6,m因为fπ6=要使fx的值域是−1,−32即m∈2解法二：由题x∈π6,m由y=cosx的图象性质知，要使fx则π≤3m+π3故选：D.

【变式4-1】已知函数y=1+cos2ωx2(ω>0)在−π4A．1 B．23 C．43【变式4-2】函数fx=a−3tan2x在x∈A．5π12 B．π3 C．π题型05求三角函数的单调区间【例5】函数y=3cosx+πA．kπ,kπ+π2，C．2kπ−π2,2kπ+【解题思路】利用诱导公式可得y=3cos【解答过程】因为y=3cos且y=sinx的单调递增区间为2kπ所以函数y=3cosx+π2的单调递减区间为故选：C．【变式5-1】下列关于函数y=sinx，x∈[0,2π]的单调性的叙述，正确的是（A．在[0,π]上单调递增，在[π,2π]上单调递减B．在[0,π2]C．在[0,π2]及[D．在[π2,3π2【变式5-2】函数fx=cosA．2kπ+π6,2kπ+7C．2kπ+7π6,2kπ+题型06根据三角函数的单调性求参数【例6】已知函数y=sin3x+φ0<φ<π在区间−2A．0,π6 B．π6,π4【解题思路】由整体法可得3x+φ∈−【解答过程】当x∈−2π因为0<φ<π，所以−2π所以−π2≤−2π3+φ故选:B．【变式6-1】若函数fx=1−tanωx−π4ω≠0A．−π2,0C．0,π4 【变式6-2】若函数fx=cosnx−π4n∈A．4 B．3 C．2 D．1题型07三角函数的奇偶性与对称性问题【例7】下列函数中，是偶函数且其图象关于π4,0对称的是（A．y=cos2x+πC．y=cosx+π【解题思路】利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性，然后代入验证判断对称性即可.【解答过程】对于A，y=cos对于B，y=sin因为cos2×π4=cos对于C，y=cos因为−cosπ4=−2对于D，y=sin故选：B.【变式7-1】已知函数f(x)=sin(3x+φ)，若fx+π12A．x=π4 B．x=π3 C．【变式7-2】已知函数fx=tanA．π2是函数fx的一个周期 B．函数fxC．函数fx的图像关于点2024π,0对称 题型08三角函数的周期性问题【例8】函数y=cos2x+πA．4π B．2π C．π 【解题思路】根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解.【解答过程】由题意可得：函数y=cos2x+π故选：C.【变式8-1】下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为（

）A．y=cosx B．y=sinx C．【变式8-2】设函数fx=3sinωx−φ(ω>0,φ<πA．ω=13,φ=−7C．ω=23,φ=−题型09三角函数的零点问题【例9】若函数fx=3cosωx+φω<0，−π2<φ<πA．π6,π2 B．−π2【解题思路】根据给定周期求得ω=−2，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.【解答过程】由函数f(x)的最小正周期为π，得2π|ω|=π，而则f(x)=3cos(−2x+φ)=3cos得2kπ+φ≤2x≤2kπ+π因此2kπ+φ≤−π3，且由余弦函数的零点，得2x−φ=nπ+π而f(x)在(0,π6)于是−nπ−π2<φ<−n所以φ的取值范围是(−π故选：B.【变式9-1】已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期为T,fA．7π2,4π B．4π,【变式9-2】已知函数fx=sinωx−2A．fxB．fxC．ω的取值范围是8D．fx在区间0,题型10三角函数的图象与性质的综合应用【例10】已知函数f(x)=1(1)求f(x)的最小正周期及单调区间；(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．【解题思路】（1）利用正弦函数的周期及单调性求解即可.（2）利用正弦函数的对称性求出对称轴方程及对称中心坐标.（3）借助正弦函数最值情况求解即得.【解答过程】（1）函数f(x)=12sin由−π2+2k由π2+2kπ所以f(x)的单调递增区间是[−π3+k（2）由2x+π6=所以f(x)的图象的对称轴方程为x=π由2x+π6=k所以f(x)的图象的对称中心为(−π（3）当2x+π6=−π2+2kπ所以f(x)的最小值为34，此时x的取值集合为{x|x=−【变式10-1】已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx(3)当x∈0,π2时，求函数f【变式10-2】已知函数f(x)=2sin(1)求fx(2)求fx(3)当x∈0,π时，求f分层分层训练【基础过关】1．函数与的图象的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．的定义域为（

）A．B．C．D．3．已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题5．已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（

）A． B． C．0 D．6．函数的大致图象是（

）A．

B．

C． D．

7．设函数，已知，，且的最小值为，则（

）A． B． C． D．8．函数在区间上的所有零点之和为（

）A．π B． C． D．49．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．10．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(

).A． B． C． D．11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数的定义域为B．函数的周期与函数的周期相同C．函数图象的对称中心为D．函数的单调递增区间为12．（多选）已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示，则（

）A．B．的最小正周期为C．图象的一个对称中心为D．的单调