浙江省宁波市宋诏桥中学2024-2025学年上学期八年级数学竞赛试卷(含详解)

2024.12宋中八年级数学竞赛试卷一、选择题(每小题5分,共30分)1若关于x的一元一次不等式组1<x≤3x>mA.m<3B.m≥3C.m2.线段y=−12x+a0≤x≤3A.6B.8C.9D.103.已知A=112+A.1B.20222023C.202320244.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,BC=6,AC=8,AB的垂直平分线DE交A.6B.203C.253题4题5如图,在△ABC中,∠A=90∘若点D是BC边上的动点,则2AD+DCA.6B.23+6C.3若x+1100+x+2100+…+x+99100+xA.3.54B.3.45C.3.44D.3.55二、填空题(每小题5分,共30分)7.若a>0,则a8.对于三个数a,b,c,用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数.例如:9.五个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,过a,0,3,310.如图,在△ABC中,AC=BC=13,AB=24,D是AB边上的一个动点,点E与点A关于直线11.如图,直线y=2x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,点C是第二象限内一点,连结CB,若∠12.已知a,b,b,d都是整数,且a<2b三、解答题(第13题10分,第14题14分,第15题16分,共40分)13.解不等式:x14.若实数a、b满足3a−1+15.定义:两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇妙三角形.(1)判断:等边三角形是否一定是奇妙三角形？(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AB=c,AC=b,(3)如图,以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形,且AD=BD,若四边形ADBC内存在点E,使得①求证:△ACE②当△ACE是直角三角形时,求∠DBC试卷解析一、选择题(每小题5分,共30分)1.在数轴上表示解集,若原不等式组有解则点m一定在点3左侧,故m<故选A.显然该线段运动所经过的平面区域是一个平行四边形,底=2−−1=3,高=3−0=3,则S平行四边形=底×故选C显然1x2+x=1x故选C.在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,BC=6,AC=8,由勾股定理得AB=10,又DE是AB的垂直平分线,则BD=AD=5,∠BDE=90故选B.过点C作射线CE,使∠BCE=30∘,过动点D作DF⊥CE于点F,显然DF=12CD,故2AD+DC=2AD+12CD=2AD+DF,显然当A,D,F三点共线,即6.显然x+1100≤x+2100=3.56,设有x个3,则有100−x个4,即356=3x+4×100−x,解得x=44,故356=44×3+56×4,故x+1100,x+二、填空题(每小题5分,共30分)7.运用基本不等式a+b≥2ab,8.如上图所示,min2x,x+2,−32x+12的几何意义为三个函数图像中因变量取最小部分,即右图阴影部分的边界。min{2x,x+2,−32x+12}的最大值为右图中A点的纵坐标,它是函数9.如上图所示,设面积相等的两部分面积分别为t,则由题意可知t+3+t+1=9,解得t=52,10.作CF⊥AB于在△ABC中,AC∴①如图所示,当点D在AF上时,∵∠ADE=90∘,点E与点A关于直线∴∠∴∠∴AD②如图所示,当点D在BF上时,∵∠ADE=90∘,点E与点A关于直线∴∠∴∴AD综上,AD的长为7或17.11.过A作直线BC的垂线交BC于点D,过D作x轴的垂线交x轴于点F,过B作BE⊥FD交FD延长线于点E,∵∠CBA∴△ADB直线y=2x+4与x轴,y轴分别交于∴易证△ADF≅△DBE,可设AF=x∴2x+2=4∴因此直线BC的解析式为y=由a,b,b,∴d的最大值为∵c∴c的最大值为∵b∴b的最大值为∵a∴a的最大值为①当x>4时,原不等式可化为x−4+x+②当−5≤x≤4③当x<−5时,原不等式可化为−x+414.由3a−1+5∵a−1≥0∴−1745≤9S+3≤15.(1)设等边三角形的边为a,则a2+a2∴等边三角形一定是奇妙三角形.(2)∵∠ACB∴a∵Rt△ABC是奇妙三角形且b∴a由①②解得:b=∴a(3)①由题知△ABC和△AB