2025年高考数学压轴题训练：集合与其他知识交汇的新定义解答题（新定义高观点压轴题）（学生版+解析）

专题02集合与其他知识交汇的新定义解答题

(新定义，高观点，压轴题)

1.(2024•重庆・模拟预测)在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组(x,y)表示，在

三维空间中点的坐标可用三个有序数组(x,y,z)表示，一般地在n(n>2,neN)维空间中点/

的坐标可用"个有序数组(％,电，…，4J表示，并定义〃维空间中两点人(卬，。2,…,风)，

83也，…,包)间的"距离"d(AB)=f-/.

Z=1

(1)若人卜,求d(AB)；

[23n)123n+1J

⑵设集合4={&，/，…，％)4W{0，1}，，=1，2,…,7}.元素个数为2的集合〃为。7的子集，

且满足对于任意AeU7,都存在唯一的使得〃(钻)43,则称M为"。7的优集证

明：的优集存在，且M中两不同点的"距离”是7.

2.(2024・北京•模拟预测)对给定的正整数”，令

={a=(q,%,...,q,)|qe{0』},7=1,2,,对任意的x=(菁

>=(%，%，...，%)€。"，定义工与'的距离4(%)0=忱-％|+民-%|+,-+氏-%].设人是。“

的含有至少两个元素的子集，集合。={d(xy)|尤舛乂好可中的最小值称为人的特征，记

作力(A).

(1)当〃=3时，直接写出下述集合的特征：

A={(0,0,0),(1,1,1)},8={(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)},C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}；

⑵当w=2020时，设AG5。?。且%(可=2,求A中元素个数的最大值；

,2020

⑶当"=2020时，设Au5。?。且力(4)=3,求证：A中的元素个数小于^—.

2021

5.（2024•北京石景山•一模）已知集合S“={X|X=（无”々,…,匕）,%e{0,l}"=l,2,…，矶w22）,

对于A=（q,4,...,%）,3=。1也,一-也）€邑，定义人与8之间的距离为4（48）=£W-可.

Z=1

⑴已知A=（U,l,0）eS4,写出所有的BeS,,使得d（A,B）=l；

⑵已知/=（U,…』）eS"，若A,BeS",并且"（/,4）=//，3）="<〃，求d（A回的最大值；

⑶设集合尸=S“，尸中有机（现22）个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为心求

证：m<2,!-f+1.

6.（23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、T至

少各有两个元素.对于给定的集合S,若存在满足如下条件的集合T：

b

①对于任意a,6eS,若加b,都有威>eT；②对于任意a,beT,若a<b,则一eS.则称

a

集合T为集合S的"K集".

（1）若集合W={1,3,9},求航的"K集"小

（2）若三元集邑存在"K集"与，且心中恰含有4个元素，求证：1任邑；

⑶若$3={%，尤2,…，%}存在"K集"，且%<…〈工"，求”的最大值.

7.(2024・湖南邵阳•二模)给定整数"23,由w元实数集合p定义其随影数集

2=x,yeP,x^y).^min(2)=l,则称集合尸为一个“元理想数集，并定义P的理

数f为其中所有元素的绝对值之和.

(1)分别判断集合S={-2,-1,2,3},T={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想数集；(结论不要求说明

理由)

⑵任取一个5元理想数集尸，求证：|min(P)|+|max(P)|"；

⑶当P={和七,…,/24}取遍所有2024元理想数集时，求理数f的最小值.

注：由〃个实数组成的集合叫做"元实数集合，max(尸),min(P)分别表示数集P中的最大数

与最小数.

8.(2024・广东•模拟预测)设X,y为任意集合，映射定义：对任意％,%eX,

若石片尤2，则/(±)x/每)，此时的/为单射.

(1)试在RfR上给出一个非单射的映射；

(2)证明：/是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合Z与映射gM：Z-X,若对任意

zeZ,有/(g(z))=/(/z(z)),则g=%；

⑶证明：/是单射的充分必要条件是:存在映射。:丫-X,使对任意xeX，有0"(功=x.

9.（2024・广东江门•一模）将2024表示成5个正整数X1,巧，x3,x4,毛之和，得到方程

占+%+%+%+无5=2024①，称五元有序数组（%,9,w，尤4,%）为方程①的解，对于上述的

五元有序数组（4%,W，尤4,尤5），当时，若max（%-毛）=f（fwN）,则称

（在占用,%%）是7-密集的一组解.

⑴方程①是否存在一组解（4尤2，W，龙4，展），使得/「无,（=1,2,3,4）等于同一常数?若存在,

请求出该常数；若不存在，请说明理由；

（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的？

5

⑶记s=»＞；,问s是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.

i=l

10.（2024•全国•模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，

以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑.已知平面

炉={（工，y）|Vx,yeT?},定义对A（F%），4（和%），其度量（距离）

d（A，4）=Ja）2+（X-%）2并称（比力为一度量平面.设（比力，eeR+

称平面区域3（%£）={xe（炉，4）血知力＜$为以不为心，£为半径的球形邻域.

（1）试用集合语言描述两个球形邻域的交集；

（2）证明：（E\力中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；

⑶一个集合称作"开集”当且仅当其是一个无边界的点集.证明：（E）力的一个子集是开集

当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集.

专题02集合与其他知识交汇的新定义解答题

（新定义，高观点，压轴题）

1.（2024・重庆•模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组（x,y）表示，在

三维空间中点的坐标可用三个有序数组（％%z）表示，一般地在H（«>2,«GN）维空间中点/

的坐标可用〃个有序数组（％,4，…，％）表示，并定义〃维空间中两点4（%，出，…，％），

3（4也，…,〃）间的"距离"d（AB）='-引.

i=l

（1）若，MH求d（AB）；

[23nJ123n+1J

（2）设集合5={（«!，叼…，％）&e{0,l},i=l,2,…,7}.元素个数为2的集合“为小的子集，

且满足对于任意Ae〃，都存在唯一的使得d（AB）V3,则称M为"/的优集证

明："心的优集"新存在，且〃中两不同点的"距离”是7.

【答案】⑴/川”二；

⑵证明见解析.

【优尖升-分析[（1）根据题，得到k-4=。,-4=!结合裂项法求和，即可求解；

⑵根据新定义得到VABeU,,d（AB）+d（右）=7,构造M={仇用有2个元素，由"（AB）

为整数，得到存在〃={氏可为"4的优集"，设M=（4%…吗）,此=（生也,…也），推

得d（A%）V3,d（AM2）<3,显然矛盾，即可得证.

【详解】（1）解：因为q」，4=」，4-4=£齐>°，则一〃=』一」7,

I2+1十”i1+1

所以小2）=如一g4m=i-

（2）证明：定义：对任意B=（l\力2,•:,规定5=（1-4，1-52，:1一。7）,

对任意>1（%,%,•••,%），5=伯也,・・屹）£。7,

由于%,2£{0,1},i=1,2，…,7,容易得—可+口―4—d=1,

所以d（AB）+d（通）=7,得结论：X/A,BeU7fd（AB）+d（丽）=7,

构造M=｛氏邳有2个元素，由d（AB）为整数，

当d（AB）43时，则满足〃为“小的优集”的定义，

当d（AB）＞3时，贝|d（4）W3,满足“为的优集"的定义,

所以存在“=加闾为"S的优集"，

若“中的两个点有一个位置相同，不妨设为第一个位置，

则设M=（6，生，,,,，%），%=（0也,…,打），

则取A=（q,%,%,“也也也”“，则有d（AMj＜3,d（AM2）＜3,显然矛盾，

所以河中的两个点每一个位置均不同，即"=忸闾，显然d（丽）=7,

即的优集存在，且"中两不同点的"距离”是7.

【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：

1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具

体的解题过程中；

2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，

要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.

2.（2024・北京•模拟预测）对给定的正整数”，令

=[a=（al,a2,...,aH'）\%e｛0,l｝/=l,2,,对任意的尤=（%,电,…,尤”），

'=定义x与，的距离d（x,y）=|%-%|+h-%|+…+|七-％|.设A是Q

的含有至少两个元素的子集，集合。=｛刈内）忖舛演丁"｝中的最小值称为人的特征，记

作力（A）.

（1）当〃=3时，直接写出下述集合的特征：

A=（（0,0,0）,（1,1,1）｝,B=（（0,0,0）,（0,1,1）,（1,0,1）,（1,1,0）｝,C=（（0,0,0）,（0,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1））；

⑵当a=2020时，设&[。期。且，（4）=2,求A中元素个数的最大值；

,2020

⑶当“=2020时，设4q。2磔且力伊）=3,求证：A中的元素个数小于^—.

2021

【答案】⑴/(A)=3,力(8)=2,Z(C)=l

⑵2239

⑶证明详见解析

【优尖升-分析】(1)根据X与y的距离d的定义，直接求出d(x,y)的最小值即可；

(2)一方面先证明N中元素个数至多有2289个元素，另一方面证明存在集合A中元素个数

为2239个满足题意，进而得出N中元素个数的最大值；

(3)设4={占,孙…,X,”}，定义X的邻域"(毛)={℃。202014(。,占)41}，先证明对任意的

N(x,)中恰有2021个元素，再利用反证法证明N(XJCN(XJ)=0,于是得到

N(3)UN(X2)U…UN(%)中共有2021〃?个元素，但。202。中共有2202。个元素，所以

2021m<22020,进而证明结论.

【详解】(1)依题意可得％(A)=3,%⑻=2,Z(C)=l.

(2)(a)一方面：对任意的…,%oi9，/o2o)wA,

令见,生019,火020)，

则1(。,/(。))=|1一2%02()|=1<2,故/⑷eA,

令集合3={〃叫aeA},则Ac3=0,

则AU2UQ2020且A和8的元素个数相同，

但5020中共有2202。个元素，其中至多一半属于A,

故A中至多有a?四个元素.

(6)另"万面：设A={a=(。］,出,出。当M2020)e^2020I6+出+■•■+%020是偶数}，

则对任意的X=(可,孙…,々020)，y=(M，%，…，为020)eA，xwy,

都有A中的元素个数为C短+C短+4。+...+C虢=22。",

易得d(x,y)=忖-必|+|%-%|+…+|七一与玉+%+%+%+…+/020+^2020奇偶性相同，

故d(x,y)为偶数，

又xwy,则d(x,y)>。，所以d(x,y)N2,

注意到(0,0,0,0,…,0,0),(1,1,0,0,…,0,0)eA且它们的距离为2,

故此时A满足题意，

综上，A中元素个数的最大值为22°%

(3)当”=2020时，设入£。2020且力(A)=3,

设A={菁…

则对任意的％eA,定义x的邻域N(xJ={aeQ2020\d{a,xi)<1},

(a)一方面：对任意的帆，N(xJ中恰有2021个元素，

事实上，

①若d(a,x,•)=(),则。=%，恰有一种可能；，

②若d(a,x)=l,则。与七,恰有一个分量不同,共2020种可能；

综上，N(xj中恰有2021个元素，

(6)对任意的14注/4小，N(Xi)cN(Xj)=0,

事实上，若N(Xi)cN(x>0,

不妨设aeN(xJcN(Xj),x,.=(x1,x2,---,x2020),xy^4，<，…，的期')，

k=\,k=lA=1左=1、

fr

则〃(%,%.)=z\xk-xk\<E[\xk-d\+\a-xk'\\=24一4+Z\a-xk\<2f这与力(A)=3矛

J20202020V/20202020

盾，

由(a)和(6)可得N(X1)UN(%)U…UN&)中共有2021m个元素，

,2020

但。2020中共有22°2。个元素，所以2021口工22°2。，即加—,

2021

^2020

注意到加是正整数，但一不是正整数，上述等号无法取到，

2021

,2020

所以，集合A中的元素个数比小于^—.

2021

【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间

的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性

较强，属于难题.

3.(2024・云南昆明•一模)若非空集合/与2,存在对应关系/,使/中的每一个元素a,B

中总有唯一的元素6与它对应，则称这种对应为从/到8的映射，记作人A^B.

设集合4={—5,—3,—1,1,3,5},3=但也，…,〃}(〃eN*，»<6),且3=4.设有序四元数

集合尸={X|X=(埠w，w，X4),%e?^，=L2,3,4},0=„=(%,%，为，%)}.对于给定的

集合2,定义映射/：P玲。，记为y=/(X),按映射力若(i=l,2,3,4),则y,=x,+l；

4

若x,WB(Z=l,2,3,4),则％=%.记品(丫)=^加

i=l

⑴若8={_5,1},X=(1,-3,-3,5),写出y,并求/任)；

(2)若3=但也也},X=(1,-3-3,5),求所有其(丫)的总和；

4

⑶对于给定的X=(占,孙％5，乂)，记Zx产"7,求所有品(卜)的总和(用含"2的式子表示).

1=1

【答案】(1)丫=(2,—3,—3,5),SB(Y)=1

(2)40

⑶63%+128

【优尖升-分析】(1)根据题意中的新定义，直接计算即可求解；

(2)对1,-3,5是否属于8进行分类讨论，求出对应所有丫中的总个数，进而求解；

(3)由题意，先求出在映射「下得到的所有%的和，同理求出在映射/■下得到的所有％

Ci=2,3,4)的和，即可求解.

【详解】(1)由题意知，Y=f(X)=f((1,-3,-3,5))=(1+1,-3,-3,5)=(2,-3,-3,5),

所以用(y)=；2-3-3+5=1.

(2)对1,-3,5是否属于8进行讨论：

①含1的2的个数为C；=10,此时在映射了下，％=1+1=2；

不含1的2的个数为C；=10,此时在映射/下，％=1；

所以所有F中2的总个数和1的总个数均为10；

②含5的8的个数为C；=10,此时在映射了下，为=5+1=6；

不含5的8的个数为C；=10,此时在映射了下，%=5;

所以所有丫中6的总个数和5的总个数均为10；

②含一3的3的个数为C；=10,此时在映射/下，J2=-3+1=-2,%=-3+1=-2；

不含-3的3的个数为C；10,此时在映射/■下，%=-3,%=-3；

所以所有了中-2的总个数和-3的总个数均为20.

综上，所有&（丫）的总和为10x（1+2+5+6）+20x（—2—3）=140—100=40.

（3）对于给定的X=（占,超,工3，乂），考虑占在映射/下的变化.

由于在/的所有非空子集中，含有玉的子集3共2,个，

所以在映射/下看变为％=%+1；

不含占的子集8共25—1个，在映射了下4变为％=占；

所以在映射/•下得到的所有月的和为25a+1）+05-1）%=63占+32.

同理，在映射了下得到的所有》（，=2,3,4）的和25（七+1）+（25_1）七=63%+32.

所以所有品位）的总和为63（%+々+毛+*4）+32x4=63m+128.

【点睛】方法点睛：

学生在理解相关新概念、新法则（公式）之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推

理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在"旧”性质上，创造性

地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.

4.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）对于数集X={-1,不马,…,毛},其中。＜再＜马＜…＜天，

“22,定义向量集丫=恸万=（取）,S€*,飞*},若对任意4€乙存在2©!\使得40=。，

则称X具有性质尸.

（1）设*={-1,1,2},请写出向量集/并判断X是否具有性质产（不需要证明）.

（2）若0＜x＜g,且集合1-具有性质尸，求x的值；

⑶若X具有性质产，且％=4,q为常数且4＞1,求证：—=—=

X]WXn-1

【答案】（l）y={（-l,-1）,（-1,1）,（-1,2）,（1,-1）,（1,1）,（L2）,（2,-1）,（2,1）,（2,2）},X具有性质P；

⑶证明见解析.

【优尖升-分析】(i)根据向量集y的定义，结合x的元素，直接写出y,再判断是否满足

性质p即可；

(2)根据性质尸的定义，任取玩=(。力)=［x,力=(c,d)=(-l,d),讨论d的取值，结合

x的范围，即可求得x的取值；

(3)根据性质P的定义推出土为定值，结合占=1,即可推证.

xj

【详解】(1)根据向量集Y的定义可得：

y={(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2)),

若7=(-1,-1),则存在Z=(L-1),使得4%=。，

同理亦可证明对任意不ey,也满足性质P,

故*={-1,1,2}具有性质尸.

(2)对任意a,b£X,都存在c,dGX,使得ac+Z?d=O,

即对于沆=(a,，)，都存在为=(c,d),使得而•方=0,其中〃，b,c,deX,

因为集合“具有性质P,

选取玩=(。/)=［无,；］,万=(c,d)=(-l,d),贝I］有T+gd=0,

假设4=无，则有一x+；x=0,解得x=0,这与0<x<1■矛盾，

假设d=-l,则有T-g=。，解得X=-g,这与0<X<；矛盾，

假设d=l,贝IJ有T+g=0,解得x=(，这与0<x<(矛盾，

222

彳取设“==，贝U有一x+g=0,解得x=g,满足0<x<］,故x=g；

24424

经检验，集合卜1，；,；/}具有性质尸.

(3)证明：取高式玉,西)©17,设q=(s,t)ey且满足4%=0,

由(s+。玉=0得s+/=0,从而s,f异号，

团一1是X中唯一的负数，

防,/中一个为一1,另一个为1,故IwX.

因为无2=q>i,所以再=1,

X具有性质P,取（a,6）=（乙,丐），l<i<j<n,

设c%+的=0,因为马>玉，且c,d中的正数大于等于1,

所以只能d=—l,

所以±=ceX,\<i<j<n.

xj

又X中只有（力-1）个大于1的正数，

即/4%<…<尤"_]<%,,

且区<&<...<土<斗，这（〃一1）个大于1的正整数都属于集合X,

所以只能血=%,血=马，…Z=X"_»

•^21^2

即三=9=...=工=%,

%2%当-1

即W一旦”

%2%Xn_]

【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质P的定义，推出匕=1,以及土

XJ

为定值，进而根据X中只有（〃-1）个大于1的正数解决问题.

5.（2024•北京石景山•一模）已知集合S,={x|x=（尤”尤2,…,招）,玉e{0』},i=L2,…,〃}（"N2）,

对于A=（q,%,…M”），3=（4也，・・屹,）€5“，定义人与5之间的距离为“（48）=£何-可.

i=l

⑴已知4=（,1,l,0）eS4,写出所有的上邑，使得d（A3）=l;

⑵已知1=（1』,…』）WE，若A,BeS”,并且d（1,A）=d（/,B）=pV〃,求d（A3）的最大值;

⑶设集合Pqs“，尸中有加（〃拒2）个元素，若尸中任意两个元素间的距离的最小值为/,求

证：m<X'1+1.

【答案】⑴（0,1,1,0）、（1,0,1,0）、（1,1,0,0）,（1,1,1,1）；

,、[2p,2p<n

⑵d（A,B）1mx-y2（^n-p）,2p>n'

⑶见解析

【优尖升-分析】

(1)根据题中定义可得8的所有情形;

(2)分2p&n、2。>〃两种情况，利用绝对值三角不等式可求得d(AB)的最大值;

(3)表示出户=｛(。,。2,…,…,%+1，…,。")€尸｝,结合定义,可得

%+J工伍也，…,履用)，即户中任意两元素不相等，可得p中至多有2*个元

素，即可得证.

【详解】(1)己知A=(LU,0)eS4，BeS4,且d(A,3)=l,

所以，3的所有情形有：(0,LLO)、(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,1,1,1)；

（2）设4=（%,外,，3=色也,…也）,

nn

因为d（/,A）=Zk-1=Z（l-aJ=P，则q+U+…+4=”一。，

1=1Z=1

同理可得瓦+b2T-----\-bn=n-p,

当”“p时，d（A,B）=4k心|=产1+1-a4力-蜀+力-4=2P；

i=li=li=li=l

nnn

当〃<2p时，d（A,5）=Zk—修（Z"，+Z4=2〃一22.

z=li=li=\

当人=1,1,...,1,0,0,...,0B=0,0,...0,1,时，上式等号成立.

、p/1>

综上所述,"A叽*4[2（p〃,2-p0<,n2p>

（3）记尸'=｛（。,。2,…,*+1）I（。,。2,…,%+■••,%）©「｝,

我们证明下|=||一方面显然有尸闫儿另一方面,VABeS“且4*3,

假设他们满足4=4，出=d，…,。"T+1=2T+I.则由定义有

与P中不同元素间距离至少为/相矛盾.

从而(4,%a,,—])W色也，…,%+]).

这表明P'中任意两元素不相等.从而圜=仍=机.

又P'中元素有〃T+1个分量，至多有2"-'+|个元素.

从而m<2"-'+1.

【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应

用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键

之外用好集合的运算与性质.

6.（23-24高三下•重庆沙坪坝,阶段练习）设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、T至

少各有两个元素.对于给定的集合S,若存在满足如下条件的集合T：

①对于任意若加b,都有abeT；②对于任意若a<b,则一eS.则称

a

集合T为集合S的"K集".

⑴若集合4={1,3,9},求航的"K集"小

（2）若三元集邑存在"K集"与，且心中恰含有4个元素，求证：鹿邑；

⑶若$3={人,无2,}存在"K集"，且为<%:••<%,求，的最大值.

【答案】（1）7={3,9,27}；

⑵证明见解析；

（3）4.

【优尖升-分析】

（1）根据定义直接求解；

（2）利用反证法推矛盾即可证明；

（3）设1W%结合（2）的结论推出国=1不成立，结合定义和再W1得”W4即

可求解.

【详解】（1）

o77?7

若凡={1,3,9},由题意可得，1x3,1x9,3x9eT,即3,9,27eT,止匕时,满

足题意，

假设集合T中还有第四个元素为才，则由题意可知：若，<3,即/>9,则:任斗，回不成

立；

若/>3,则;eS一回/=3或9或27,矛盾.故集合T中无四个元素，所以集合7={3,9,27}.

(2)

设集合邑={4，。2，/}，不妨设4<的<。3,

假设IES2,即q=1,则1<%<。3且。2，。3，〃2a3W7，

由②知&eSz,注意到1<幺<。3,故有血=&,即%=蟾，所以J={1,凡,田},

故的3=。建7,即出,城,城©7,因为集合T中有4个元素，故设T={%㈤,a"},

33

由②可得：若/<的,则”>4，回里0乱，矛盾；

tt

若t>%，LRS?,则上=1或〃2或姆，所以，=%或加或4，与集合元素的互异性矛盾，

（^2C^2

假设错误，故f.

（3）

S3={玉,々，…,x“}aN*,再,无2,…，尤“eN*,不妨设14玉</<…〈/，

所以玉々eT，xixneT又演尤2尤.，故土^=%~€53,同理可得乜€S3（14/</4"）,

再入2玉Xj

若为=1,与（2）类似得邑=9,尤2,考,…，芯T}，从而必有无2,石,…球一屋7,

J

对任意的14力<J42”—3,有用r三X后€风，即E，尤;，…考”屋53,所以2力一4V为一1,即“W3.

x2

若占71,即玉22,1<—<—■■■<—<xn,故土=x“_|,=xn_2,-=x2,—=X1,

X[XjXjX]占玉玉

所以％=片,鼻=或…=琢一,3=*,即邑={占，4,…,无；},从而必有xf,x；,…，尤『IeT,

ri

对任意的3Wi</W2n-l,必有=T©'，即E，考,…尤厂屋S3,所以2〃—4（〃，即”W4.

玉——

综上，得“V4,又w=4时，有5={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128}符合题意，

所以"的最大值为4

【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是充分利用定义并分类讨论芯=1和再#1

求解第三问，并充分利用反证法推理.

7.（2024•湖南邵阳•二模）给定整数”23,由〃元实数集合P定义其随影数集

。={|》-刈x，〉eP，xNy}.若min（Q）=l,则称集合尸为一个w元理想数集，并定义P的理

数f为其中所有元素的绝对值之和.

(1)分别判断集合s={-2,-1,2,3},T={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想数集；(结论不要求说明

理由)

⑵任取一个5元理想数集尸，求证：|min(P)|+|max(P)|“；

⑶当P={和％，…，马24}取遍所有2024元理想数集时，求理数/的最小值.

注：由“个实数组成的集合叫做"元实数集合，max(尸),min(尸)分别表示数集P中的最大数

与最小数.

【答案】①集合S是理想数集，集合T不是理想数集

(2)证明见解析

⑶1024144

【优尖升-分析[(1)由理想数集的定义即可判断；

(2)为了方便说明，假定元素间一个有序关系为王<尤2<…<当，从而分三种情况，X1>0,

x5<0,占<0,%>0讨论即可得证；

(3)首先通过分类讨论证明，对"元理想数集P,有|min(尸)|+|max(尸-1.从而有

|min(^.)|+|max(^.)|>2025-27,即|-^|+|^024|>2023,|J:2|+|J:2()23|>2021,---,|jq012|+|jq013|>1,

通过放缩与等差数列求和即可得解.

【详解】(1)设5={-2,-1,2,3},7={-0.3,-122.1,2.5}的随影数集分别为盘口,

则min(Qj=l>min(2)=0.9,

所以集合S是理想数集，集合T不是理想数集.

(2)不妨设集合尸={占,孙£,5，毛}且再<尤2<…<天，即min(P)=&max(尸)=%.

•.•尸为理想数集，...VieN*,14i44,则尤阳一看21,eN*,l<z0<4,使得4+1-”=1

当％20时，

|min(P)|+|max(P)|=1^]+|x5|=(x2-jq)+(x3-X2)H----l-(x4-x3)+(%5-X4)+2XJ>4+2jq>4.

当且仅当占+1-%=1且%=0时，等号成立；

当尤5Vo时,

|x|=-x,=(%2(%3-^)+(x4-x+(x5—4)

|min(F)|+|max(F)|=|^|+5-x5—玉)+23)犬一2天>4-2x5>4

当且仅当天+1-%=1且％5=。时，等号成立；

当石<0,x5>0时,

|min(?)|+]max(A)|=闻+冈=一%+毛=(%一%)+(%3一切+小一七)+(%5一%4)24.

当且仅当/「玉=1时，等号成立.

综上所述：|min(P)|+|max(P)|>4.

(3)设百</<■■■<^2024.

•.•尸为理想数集.

;.VzeN*,l<z<2023,x;+1-x,>l,J.3/0eN*,l<z0<2023,使得x.+1-x.=1.

％0257keN*,14

对于弓=｛外,22，同样有V，jW1012,x>+1-xy>l.

下先证对〃元理想数集P,有|min(P)|+|max(尸)02-1.

不妨设集合尸中的元素满足再<…〈4.即min(尸)=占,max(P)=%.

•.•尸为理想数集，

—1,玉+1-%,1.3x0eN*,l<z0<n-1,使得%+11%=1.

当占NO时，

x+x

|min(P)|+|max(P)|=国+闯=玉+%=(%-玉)+(泡-尤2)+…-n-i)^\>n-\+2xl>n-l

当且仅当%+1-%=1且%=0时，等号成立；

当斗V。时，

-x>n-l

|min(P)|+|max(P)|=|x1|+|xn|=-%]n=(x2-%j)+(x3-x2)+.­•+(x„)-2x;1>/z-l-2xn

,当且仅当尤且无.=。时，等号成立；

当不<0,%>0时，|min(P)|+|max(P)|=M+|xJ=_玉+x“=(%_&)+…+(七_七-1)2"T.

当且仅当心「%=1时，等号成立.

/.|min(P)|+|max(P)|>n-l.

，|min(弓)+[max仍)|>2025-20当且仅当如1-x,=1时，等号成立.

+I-V2024I—2023,|x2|+|x2023|>2021,…//4+|为013|—L

理数/=国+用+…+H22023+2021+…=10122.

当且仅当|%』=。或|%』=。时，等号成立.

,理数f的最小值为1012?=1024144.

【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对"元理想数集P,有

|min(尸)|+|max(尸)2〃-1,由此即可顺利得解.

8.(2024•广东•模拟预测)设X,y为任意集合，映射定义：对任意小%eX,

若不2尤2，则/(%)力/®)，此时的/为单射.

(1)试在RfR上给出一个非单射的映射；

⑵证明：/是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合Z与映射g,〃：Z->X,若对任意

zeZ,有/(g(z))：=/(Mz)),则g=〃；

⑶证明：f是单射的充分必要条件是:存在映射。:FfX,使对任意xeX,有。(/(元))=x.

【答案】⑴/(力=炉(答案不唯一)

⑵证明过程见解析

⑶证明过程见解析

【优尖升-分析】

(1)结合单射的定义举出符合条件的例子即可；

(2)结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；

(3)结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.

【详解】(1)由题意不妨设〃x)=f,当%(占,当非0)互为相反数时，〃与)=〃/)满

足题意；

(2)一方面若f是单射,且"g(z))=/①⑶),则g(z)=/z(z),即g=〃(否则若g(z)工/z(z),

有f(g(z))w/S(z)),矛盾),

另一方面，若对任意zeZ,由/（g（z））=/（〃（z））可以得到g=Q

我们用反证法证明了是单射，

【优尖升-分析】（1）若七包-士[=1,2,3,4）等于同一常数，则{%}构成等差数列，根据等差

数列下标和性质得到％=2事024，推出矛盾即可得解；

（2）依题意"1时，即当1金；/<5时，max（x,.-x.）=l,贝|max{%}=405,min{xJ=404,

即可求出弓，巧，W，x4>4中有4个405,1个404,从而得解；

（3）由方差公式得到5=54+5/（/为方差），从而得到当方差，取最小值时S取最小

值，从而推出（/马,马尤4,%）是1-密集，即可求出S的最小值.

【详解】（1）若％f1=1,2,3,4）等于同一常数，

根据等差数列的定义可得化}构成等差数列，所以%+%+%+%+%=5%=2024,

解得三=20等。4，与WeN*矛盾，

所以不存在一组解（4/，&，%，%），使得积1=1,2,3,4）等于同一常数；

_12024

（2）因为％=1（占+%+项+无4+尤5）=---=404.8,

依题意t=l时，即当时，max（%,.-x.）=l,

所以max{%}=405,min{x,}=404,

设有，个405,贝U有5-y个404,由405y+404（5—y）=2024,解得y=4,

所以毛,巧，W，匕，当中有4个405,