2025年高考数学一轮复习讲义：等比数列及其前n项和（原卷版）

专题34等比数列及其前n项和（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】等比数列基本量的运算..............................................4

【考点2】等比数列的判定与证明..............................................5

【考点3】等比数列的性质及应用..............................................7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培优篇】.................................................................11

考试要求：

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系.

知识梳理

1.等比数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然qWO).

数学语言表达式：念=观”>2,q为非零常数).

(2)等比中项：如果在。与6中间插入一个数G,使a,G,方成等比数列，那么G叫做。与6

的等比中项.此时G2=ab.

2.等比数列的通项公式及前〃项和公式

⑴若等比数列｛念｝的首项为0，公比是q,则其通项公式为=

nm

通项公式的推广：an=amq~.

⑵等比数列的前〃项和公式：当q=l时，Sn=nai；当qWl时，s"—二』

3.等比数列的性质

已知｛如｝是等比数列，Sn是数列｛劣｝的前n项和.

(1)若左+/=m+〃(左，I,m,”©N*),则有Clk,〃/=Clm，an.

⑵相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak,ak+m,或+2”…仍是等比数列，公比为

也

(3)当qW—1,或q=—1且“为奇数时，Sn,S2n-Sn,S^-Sin,…仍成等比数列，其公比为

更

|常用结论

1.若数列｛丽｝,｛屏｝(项数相同)是等比数列，则数列｛ca〃｝(cW0),｛|涮｝,｛al｝,｛an-bn｝,｛gj

也是等比数列.

2.由斯+i=q所,qWO,并不能立即断言｛丽｝为等比数列,还要验证aiWO.

3.在运用等比数列的前附项和公式时，必须注意对q=l与qWl分类讨论，防止因忽略q=l

这一特殊情形而导致解题失误.

4.三个数成等比数列，通常设为充x,xq-,四个符号相同的数成等比数列，通常设为今，充xq,

xq3.

2

.真题自测

一、单选题

1.（2023•全国,高考真题）设等比数列｛%｝的各项均为正数，前〃项和S“，若4=1,Ss=5邑-4,贝监=（）

1565

A.—B.—C.15D.40

88

2.（2023•全国,高考真题）记S“为等比数列｛%｝的前〃项和，若$4=-5,56=21S2,则诙=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

3.（2022・全国•高考真题）已知等比数列｛%｝的前3项和为168,a2-a5=42,则%=（）

A.14B.12C.6D.3

二、填空题

4.（2024•北京・高考真题）设｛q｝与｛么｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合

M=｛无|唳=4,左eN*｝,给出下列4个结论：

①若｛4｝与｛2｝均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若｛《｝与抄“｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛%｝为等差数列，｛4｝为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若｛4｝为递增数列，论,｝为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

5.（2024・上海•高考真题）无穷等比数列｛凡｝满足首项4>0,q>l,记/.=卜7卜,>€[4，的]0&“+]]｝,

若对任意正整数”集合/”是闭区间，则4的取值范围是.

6.（2023•北京•高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、用来

测量物体质量的“环权已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛%｝,该数列的前

3项成等差数列，后7项成等比数列，且q=1,%=12,为=192,则%=；数列｛4｝所有项的和

为.

7.（2023•全国•高考真题）记S”为等比数列｛%｝的前"项和.若8s6=7SS，则｛4｝的公比为.

8.（2023・全国，高考真题）已知｛%｝为等比数列，g%%=%/，。940=-8,则%=.

3

考点突破

【考点1】等比数列基本量的运算

一、单选题

1.（2024•河南三模）设s,为数列%｝的前"项和，若S“=2a“-1,则」-（）

%+〃6

11

A.4B.8C.—D.一

84

2.（23-24高二下•黑龙江齐齐哈尔•期中）在各项为正的等比数列｛4｝中，％与可。的等比中项为3,则

logs/+log3a13=（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

3.（2024•江苏南通•模拟预测）在数列｛%｝中，若对V〃eN*,都有=4（4为常数），则称数列｛%｝

为"等差比数列"，4为公差比，设数列｛%｝的前“项和是S",则下列说法一定正确的是（）

A.等差数列｛4｝是等差比数列

B.若等比数列｛q｝是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同

C.若数列电｝是等差比数列，则数列｛。向｝是等比数列

D.若数列｛%｝是等比数列，则数列｛5“｝等差比数列

4.（23-24高二下•陕西安康・期末）已知数列｛4｝满足%w±l,且4+囚“+。2=2,〃=2],则下列说法正

确的是（）

A.数列｛凡｝可能为常数列

B.数列出｝可能为等比数列

20

C.若4=2,则2>=限一2

<=1

D.若4=-记S”是数列的前〃项积，则S,,的最大值为S,

三、填空题

5.（2024•河北甘B郸•模拟预测）记S“为等比数歹!]｛4｝的前〃项的和，若生+4=1,4s$=7邑，贝I]几=.

6.（2024・北京•高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量

4

器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次

为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

反思提升：

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量ax,n,q,an,

Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.

2.等比数列的前〃项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q=l时，｛或｝的前〃项和S“=〃ai;

,,,,工,<71(1一q")aL(hq

当时,{q“}的前n项和Sn=T~c[-

i-q'

【考点2】等比数列的判定与证明

一、解答题

1.(23-24高二下・上海宝山•期末)已知等差数列｛%｝的首项为1,前〃项和为S“，且4如是3与S7-l的等

比中项.

⑴求数列｛q｝的通项公式:

(2)若T,是数列—的前”项和，求T,的最小值.

aa

[„n+lJ

Q3Q

2.(23-24高二下•广东江门•阶段练习)已知数列｛%｝的首项为4=：,且满足。用=短、

(1)求证：数列1]为等比数列；

(2)设包=彳--1],记数列圾｝的前〃项和为T“，求】，并证明：7；<|.

3.(2024•四川绵阳•模拟预测)已知数列｛%｝中，^=1，a

n+l(71eN,).

2—a”

⑴证明:｛,T｝是等比数列；

an

⑵求数列｛'｝的前n项和.

4.(23-24高二下•北京•期中)已知数列｛%｝为等差数列，4=1,%+%=1。，数列出｝满足4=1,履1=22+1.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求证：数列也+1｝是等比数列；

(3)设c,=an+bn,求数列｛g｝的前n项和Sn.

5.(2024•全国•模拟预测)对于给定的正整数3若对任意的正整数〃(〃>%),数列｛%｝均满足

5

k

•…・a„-r«,1+i……a„+k^-an+k=a；,且a“>0,则称数列｛%｝是"口传)数列

⑴证明：各项均为正数的等比数列｛%｝是"K［优)数列

(2)已知数列的｝既是F(2)数列",又是"口(3)数列

①证明：数列｛4｝是等比数列.

②设数列｛4｝的前〃项和为S“，若4+%=3,/-的=2,问：是否存在正整数〃，P，7”,使得S“+2=p，m?

若存在，求出所有的〃P，M；若不存在，请说明理由.

6.(23-24高二下•辽宁•阶段练习)曲线的切线、曲面的切平面在平面几何、立体几何以及解析几何中有着重

要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，

更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线、曲面的切平面，用以解决实际问

题：

⑴对于函数y=〃x),分别在点化，〃⑼伏eN,Ql)处作函数y=的切线，记切线与无轴的交点分别

为®,0)(keNK'l),记/为数列｛%｝的第％项，则称数列"/为函数y=/(x)的"切线-x轴数列"，同理

记切线与'轴的交点分别为(0,%)(左eN,Zr"),记外为数列｛%｝的第左项,则称数列｛%｝为函数y=/(%)的

“切线-丫轴数列

①设函数/(X)=COS7UC+X,记/(X)的"切线-X轴数列"为｛%｝.

②设函数g⑴常：记g(x)的"切线P轴数列”为也｝,

则S,=%4+。2也+…+4,也，求｛邑｝的通项公式.

(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用"作切线”的方法求

方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数y=/(x)的一个零点，任意选取X。作为r的初始近似值，曲线

'=/(%)在点(见，〃%))处的切线为4,设1与x轴交点的横坐标为毛，并称毛为「的1次近似值；曲线

y=/(x)在点■"(%))处的切线为％，设4与X轴交点的横坐标为巧，称巧为厂的2次近似值.一般地，曲

线y=/(X)在点(％J(玉))(〃eN+)处的切线为/“+1,记ln+l与X轴交点的横坐标为xn+l,并称xn+l为厂的〃+1次

近似值.己知二次函数F(x)有两个不相等的实根b,C,其中c>0.对函数y=/(x)持续实施牛顿迭代法得到

数列4+1,〃eN,我们把该数列称为牛顿数列，令数列｛cj满足4=土心("©N*),且％>c,证明：

Xn~C

6

1112_

一+—H1—<■—.（注：当x>l时，lnx<x-l恒成立，无需证明）

C[c2cnInq

反思提升：

1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判

定；若证明某数列不是等比数列，则只栗证明存在连续三项不成等比数列即可.

2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对”=1的情形进行验证.

【考点3】等比数列的性质及应用

一、单选题

1.（2024•安徽滁州•三模）已知｛%｝是单调递增的等比数列，%+%=24,%%=骁8,则公比q的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

2.（23-24高二下,四川达州,阶段练习）等比数列｛%｝中。[+%+%=W，&+。4+。6=万，则。4+&+。8=（）

5

A.-B.5C.10D.20

4

二、多选题

3.（2024•湖南长沙•一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1~10的10个小

球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽

取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进"步的概率为P“，则下列说法

正确的是（）

1

A.P2=-

B-p“="T+：P“_2（"N3）

C.

D.小华一共前进3步的概率最大

4.（2024,湖北•二模）无穷等比数列｛4｝的首项为％公比为公下列条件能使｛%｝既有最大值，又有最小值

的有（）

A.。<4<1B.4〉0,-1<4<0

C.%<0,4=-1D.<0,q<-l

三、填空题

5.（21-22高三上•山东聊城•期末）已知等比数列｛q｝的公比q=g,且%+%+%+L+%9=9。，贝U

q+4+/+L+400=.

6.（23-24高二下•广东广州•期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题："三百七十八里关,

初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为："有

7

一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目

的地.”则该人第一天走的路程为_________里.

反思提升：

（1）等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项

和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

（2）涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.

挛分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•河南洛阳•模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追

溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺.其

以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、亥h画手法为辅助手段，创作

出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品.随着一代代折纸艺人的传承和

发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如

生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，

内涵博大精深，世代传承.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为I的等腰直角三角形纸对折，每次对折

后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（）

A1c贬n1

8B844

2.（2024•宁夏石嘴山•三模）已知数列｛凡｝等比数列，且。1=1,%。3。4=64，则氏2。5的值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高二下•安徽六安•期中）已知等比数列｛q｝的各项均为正数，公比4=2,且满足出&=16,则%=

（）

A.2B.4C.8D.16

4.（2024•山东泰安・模拟预测）在各项均为正数的等比数列｛%｝中，已知的＞1，其前〃项之积为l，且蠢=几，

则1取得最大值时，则〃的值为（）

A.15B.16C.29D.30

二、多选题

5.（23-24高二上•河北保定•期末）已知等比数列｛4｝的首项为4,公比为4,则下列能判断｛4｝为递增数列

的有（）

8

应=；

A.4=3B.q=2应=3

11

d-4=一耳，4=5

6.（23-24高二上•山东青岛•期末）在等比数列｛%｝中，q=l,%=27,则（）

A.｛4q+J的公比为9B.｛Iog3%+J的前20项和为210

C.｛4｝的前20项积为38°D.£（%+%）=2（3力-1）

k=l

7.（23-24高三上•全国•开学考试）记公比为4的单调递增的等比数列｛%｝的前〃项和为S,,若出+%=4,

%+4=16,则（）

A.q=2B.an=1?2"

C.5„=|（2"-1）D.5„+1-S„=^

JD

三、填空题

8.（23-24高二下•江西赣州•阶段练习）已知S,是等比数列｛%｝的前"项和，若索=3,则萨=____.

»5310

9.（23-24高二上•山东青岛•期末）数列｛%｝是等比数列，且前〃项和为＜=22-％,则实数上=.

10.（2024•贵州•模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的

作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有个

节点.（填写具体数字）

第2弓/入、

第3层/、/\

第4层八

四、解答题

11.（23-24高二下•广东东莞•阶段练习）已知数列｛%｝满足4=1,"m="7（"eN"）,数列出｝前〃项

和S,=12一120.

⑴求证：数列［是等差数列；

⑵求｛%｝、也｝的通项公式；

b

（3）设g=i,求的最大值.

an

9

12.（23-24高三下•湖南岳阳•阶段练习）已知等差数列｛%｝满足%+%-=8"+2（«>2）,数列出,｝是公比

为3的等比数列，出+4=20.

⑴求数列｛%｝和也.｝的通项公式;

（2）数列｛凡｝和出,｝中的项由小到大组成新的数列｛c“｝,记数列｛c,｝的前n项和为S“,求S50.

【能力篇】

一、单选题

1.（23-24高二下,广东佛山•阶段练习）已知非零实数a,b,c不全相等，则下列结论正确的是（）

A.若a,b,c成等差数列，则工，y,』构成等差数列

abc

B.若a,b,c成等比数列，则2",2J2。构成等差数列

C.若a,6,c成等差数列，则2",2J2。构成等比数列

D.若a,b,c成等比数列，则log?。，log?》，log2c构成等比数列

二、多选题

2.（23-24高二下•湖北•阶段练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我

们把这样的操作称为该数列的一次"和扩充”.如数列1,3,第1次"和扩充"后得到数列1,4,3；第2次“和

扩充"后得到数列1,5,4,7,3；依次扩充，记第〃（〃eN*）次"和扩充"后所得数列的项藜记为《，所有项

的和记为凡，数列｛%｝的前八项为S“