2024年高考数学突破145分专题29 定义法或几何法求空间角13

专题29定义法或几何法求空间角

一、单选题

1.在长方形A8C。中，AB=2AD,过AD,8c分别作异于平面A8CQ的平面。，。,若,贝IJ/

与BQ所成角的正切值是（）

A.—B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】

将异面直线平移到同一平面A8C。中即有/与8。所成角为NAO8,即可求其正切值.

【详解】

由4O〃3C及线面平行的判定定理，得ADH。,

再由线面平行的性质定理，得AD/〃.

所以/与B力所成角是NAOB，从而tanNAO4=2.

故选：C.

【点^青】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题

化归为共面直线问题来解决：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条到同一平面内；

（2）认定：确定异面直线所成的平面角：

（3）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（（）,§],当角为钝角时，应取补角作为两条异面直线所成的

角.

2.在正方体—,£为棱A4的中点，则异面直线EG与AO所成角的正切值为（）

B6

A.旦C.咚D.旦

222

【答案】c

【分析】

利用正方体48co-中，B.C./MD,将问题转化为求共面直线EC；与4G所成角的正切值,

在VGB|E中进行计算即可.

【详解】

在正方体A8CO-A与GA中，B.CI/MD,所以异面直线EG与AO所成角为NEG4,

如图设正方体边长为2。，则由E为棱AA的中点，可得4七=。，所以4石=石〃,

则33-第二粤=手

故选:C.

【点睛】

求异面直线所成先主要有以下两种方法:

几何法:①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的

三角形;③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.

向量法:①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取

绝对值即为直线所成角的余弦值.

O

3已知三棱柱A3C-4SG的侧棱与底面垂直'体积为I'底面是边长为右的正三角形’若P为底面

44G的中心，则Q4与平面A8c所成角的大小为（)

5万冗

A.—B.一

123

【答案】B

【分析】

根据三棱柱ABC-a4G的体积公式，求得OP二石，结合线面角的定义，即可求解.

【详解】

如图所示，底面是边长为6的正三角形，可得SaABc=gxGxGxsin60o=孚，

?，解得OP=G，

设。点是A/WC的中心，所以匕8CABC=S.OP=—OP=

HC4

乂由04=Gx—x—=1»

23

在育角△Q4P中,可得tanNQ4P="="=百，

OA1

7FJI

又0</。42<一，所以NOA尸二一.

23

4.空间四边形ABC。中，人8、BC、C。的中点分别是P、Q、凡且PQ=3,QR=5,PR=7,那么异面直线

AC和4。所成的角是（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】B

【分析】

由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算.

【详解】

，：AB、BC、。。的中点分别是P、Q、R,PQ//AC.QR//BD,

取AM的中点尸，连接PN、PB，设g=。，设A3=2,

・.・p、N分别为44、AG的中点，则PN〃与G且PN=；8c，

在正三棱柱ABC-AB©中，BC//BG且BC=B.C,,

加为3C的中点，所以，BM；/P1^BM=PN，

则四边形"MAT为平行四边形，所以，MN//PB.

所以，异面直线MN与A片所成的角为ZAQB或其补角，

PB=y]PB；+BB；=6，

AB{=JAB?+BB~=2V2，

PB124万2N/5

♦：、B\HAB,则丝二刍2：]----,BQ.PB=

1=AB=2'..4Q=V=------,

'BQAQ33

由余弦定理可得cosZAQB=

2AQBQ10

因此，MN与Aq所成角的余弦值为巫.

10

故选：D.

【点睛】

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面

直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（）,g,当所作的角为钝角时.,应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

6.如图在四面体RWC中，尸C_L平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么直线AP和C8所成角的余

弦值（）

A.克B.旦C.1D..也

4224

【答案】A

【分析】

设,43=8。=。4=。。=2,分别取48）。,夕。的中点。,£/，连接DE,EF,DF,CD,则

DEI/BC,EFIIAP,所以NDEF（或其补角）就是直线AP和CB所成的角，根据三角形的余弦定理可求

得选项.

【详解】

设AB=BC=CA=PC=2,分别取A民AC/C的中点。,£尸，连接DE,EF,DF,CD,

\aDEHBC,EFHAP,所以尸（或其补角）就是直线AP和C3所成的角,

又PC_L平面ABC,3（=平面48。，所以夕。，DC，所以DF=《FC2+DC2可=2,

乂DE=LBC=T,FE=-AP=y/2,所以在ADE尸中，

22

l2+(V2)2-22

DE2+EF2-DF2

cosZ.DEF=正,

IDExEF2xlxV24

所以直线AP和CB所成角的余弦值为变.

本题考查求异面直角所成的角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，

把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

I2」

直线所成的角.

7.如图所示，点户是二面角一万棱上的一点，分别在。、〃平面内引射线PM、PN,若

/BPM=/BPN=45,NMPN=60，那么二面角二一A3一尸的大小为（）

A.60B.70C.80D.90

【答案】D

【分析】

过A8上一点Q分别在。、夕内做A8的垂线，交PM、PN于•点、M、N,则NMQN即为二面角

夕-48-£的平面角，设「。=〃，通过解三角形即可求出答案.

【详解】

解：过A8上一点Q分别在。、夕内做A8的垂线，交PM、PN『点、M、N,

则/MQN即为二面角。一A8一夕的平面角，如下图所示：

设,PQ=a,•:/QPN=/QPM=45,

:.QN=QM=a,PN=PM=屑，

乂：NMPN=60，A4MPN为等边三角形，则MN=&，

：.QN2+QM2=MN\

・•・/MQN=90,

故选：D.

8.如图，ABC。-44GA是正方体，则与。々所成角的余弦值是（）

1518J3

A.—B.—C.—D.—

172172

【答案】A

【分析】

通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.

【详解】

过点A在平面ABRA内作再过点片在平面AB牛4内作gEV/AE,如图,

则/B&E或其补角即为BEJjDF.所成的角,

因为A8CO—A与G2是正方体，不妨设=2£=-\B=1,

则8E=gA8=2,g=Eg="+1=如，

cos/吟明"E*=17+17.415

所以在△BgE中,

2BEIE,E-2XVT7XVF717

故选：A.

9.在长方体ABCO-4BC|A中，AA}=AD=\,AB=2,P、。分别为上底面的边AZ）、CO的中

点，过尸、Q的平面与底面交于R、s两点，R、s分别在下底面的边用G、A片上，B\S=；,

平面PSRQ与棱AR交于点丁，则直线75与侧面4RZM所成角的正切值为（）.

5

A.-

2

B.2

C.V3

D,更

2

【答案】A

【分析】

根据题意画出图形，通过分析可知，直线灯与侧面4RD4所成角为则tanNA7S=，J,然后

根据图形中的几何条件分析计算出47及AS的长度即可解得答案.

【详解】

延长。7和SR交于点£,连接QH,4G，

VPQU平面ABCD，平面A8CO〃平面儿用。自，

・•・PQ//平面AAGA，

又PQu平面PQRS,且PQKSnA圈CQ=RS,

APQ//RS,又PQ〃AG

:.RS"\C\,.•・4sgm

AB,4G24

又B\C】=AD=l,：.BiR=一,

14

♦:"ESskB\RS,

1

As空S2-

---=2,且AS=Ag_gS=|,.・.A£=(,

AE用R1

4-

APAE11

R…MET,•・•布二布，且”=^。=展

3

・韦=爷号$乂

2

根据线面夹角的概念可知，直线75与侧面AAD4所成角为NAG，

3

则tanZA.TS==^-=—.

A732

5

故选：A.

【点睛】

本题考查直线与平面夹角的计算问题，利用定义法求解线面夹角时，一般步骤如下：

（1）找出斜线在平面内的投影，或根据题目条件通过作辅助线找到投影，找到所求角；

（2）根据几何条件计算所求角所在三角形的各边长；

（3）根据解三角形的方法计算所求知的三角函数值.

10.如图，在正四棱锥尸一/WC。中，设直线依与直线。C、平面A8CQ所成的角分别为。、。,二面

角P—CD—B的大小为？,则（）

A.a>。,丫>BB.a>p,y<p

C.a</3，Y>PD.a<P，y<P

【答案】A

【分析】

连接AC、8。交于。，连P。，取CO的中点连OE,PE,根据正棱锥的性质可知，/PCE=a,

々CO=P,NPEO=y,再比较三个角的正弦值可得结果.

【详解】

连接AC、BD交于O,连P。，取CO的中点E，涯OE、PE,如图：

因为A8//S,所以N?84=a,乂因为四棱锥产一A6co为正四棱锥，所以NPCE=a,

由正四棱锥的性质可知，PO_L平面A3CO.所以NPCO=Q,

易得OE上CD，PE工CD,所以NPEO=y,

PFp（）

因为sina=而，sinp=—,且PE>PO,所以sina>sin/7,乂a,/都是锐角，所以a>尸，

POPO

因为siny=—,sin/?=—,且POPE,所以siny>sin£,因为都是锐角，所以y>6.

PEPC

故选：A

【点睛】

关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到

这三个角是解题关键，属于中档题.

11.已知在正方体ABCO-ABCA中，M，N分别为AQ，AC上的点，且满足AO=3M。,

AN=2NC,则异面直线MV与GA所成角的余弦值为（）

2石C.2

A.B.正D,巫

可534

【答案】A

【分析】

取线段4）上••点E，使AE=2ED，连接ME,NE,证明NMNE（或其补角）为异面直线MN与GA

所成的角，在..MAE中求出此角的余弦即可.

【详解】

取线段A。上一点E，使AE=2ED,连接ME,NE,如图所示，

MDCNDE

因为4£)=3A/D,林=2NC，所以南~~AC~^\D~3

所以NE//CD,ME//AA、,

又CD/iCR,所以易知NMNE（或其补角）为异面直线MV与所成的角.

正方体中J.平面4BCO,NEu平面所以A4J.NE,所以MEtNE

21

设该正方体的极长为3〃，则EN=§CO=2a,ME=§A4=a，

所以在用△MNE中，MN=[ME?+EN?=出+./=风,

EN245

所以cosNMNE=——--

MNF

故选:A.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所的角，并证明，然后再计算.

12.如图所示，已知正方体A8CD-A4GA，则直线GA与平面ABC所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】

把G。与平面43C所成的角转化为4片与平面43C所成的角，根据线面垂直的判定定理，证得八四1

平面A8C,得到N4A。为44与平面A8C所成的角，在直角aAA。中，即可求解.

【详解】

由题意，在正方体八BCO-AZGA中，可得A4〃GR,

所以直线GR与平面A8C所成的角，即为4片与平面dec所成的角,

连接A4交4产于点0,可得AB|_L48,

又由8C_L平面A8与A,因为u平面，可得8c，4片

由线面垂直判定定理，可得4与_平面ABC,

所以/44。为AS与平面A,BC所成的角，

设正方体入区8-4qGA的棱长为I,可得40=也.

2

在直角,48。中，sin/gAO=刍e二也，

Aq2

因为NB|AOw(0,90),所以N旦4。=45.

故选:B.

13.如图，四棱锥产一A8CD中，48co为矩形，平面平面ABC。，PA=PD,。是线段尸C上

的点（不含端点）.设AQ与BC所成的角为。，AQ与平面ABCD所成的角为£,二面角Q-AB-C的平

面角为/,则（）

A.a<p<yB.P<a<yC.y<P<aD.p<y<a

【答案】D

【分析】

根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中

计算正弦值、余弦值，然后可得角大小.

【详解】

如图，取AZ）中点E，连接PE，PA=PD，,FE工AD，而平面平面AUCZ），平面人少二

平面ABCD=AD，，PE_1_平面ABCDr

连接EC,作QO//PE交EC于0,则QOJL平面A8CO,

:AD//BC,：.ND4Q为直线A。与所成的角，即ZDAQ=a，作QN_L4。于七，Jsina二券,

QA

连接40,则N04。是直线AQ与平面A8CO所成的角，即/040二4，显然Q0_LQ4,

・•.sinQ=丝,

A0

作0M//BC交AB于M，则0M_LA3,连接QW,由0Q_L平面ABCO得Q。，AB,

Q0P|0M=0,・,・ABJ■平面AOM,J・・・/。〃。是二面角Q—A8—C的平面角，即

NQM0=y,同样Q0J.0M,sin/=-^-,

0M

由图可知。Q<QN,.,.sina>sin/7,a>（3（a,/都是锐角），

OM<AO,Asiny9<sin/,/?</（/也是锐角），

NAOM

xcosa=—,cos/=-根据上面作图过程知OMAN是矩形，。例=AN,・・.cosa<8s/,.・.

QAQM

a>Y,

综上va.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这

些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小.

14.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角二角形的四面体称为鳖胭.在鳖肮A4CD中,

48_1平面3。。，且48=8。=。力，则异面直线AC与区。所成角的余弦值为（）

【答案】A

【分析】

如图所示，分别取48,AO,BC,8。的中点E，F,G,0,则EF//BD,EG//AC,FO±OG,

ZFEG为异面直线AC480所成角.

【详解】

解：如图所示，分别取4B，ADBC,5。的中点E，F，G,0,则EF//BD,EG//AC,FO1OG,

."FEG为异面直线AC与8。所成角.

设AB—2。，则EG-EF—y/2ufFG=Ja?+/=y/2a

:"FEG=60°，

••・异面直线AC与8。所成角的余弦值为:，

故选：4.

【点睛】

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面

直线问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

(71

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,-,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直

线所成的角.

15.己知长方体ABCO-AqG。的高M=2,47=2遥，4优=尤4。=)，，则当x+y最大时，二面

角A-qR-G的余弦值为（）

A屈B厉C石D石

A•----------D•--------------L•1U♦一，

5555

【答案】B

【分析】

先由基本不等式得确定当且仅当工=>=4时-，工+》取得最大值8,接着求出a=〃=2jLAB|=AR=4,

々R=4C=2«,再取的中点丁，连接AT，a丁,AC,,并确定乙4丁£就是二面角A一旦。一G

的平面角，最后在三角形ACJ中由余弦定理求得cosZATQ解题.

【详解】

解：设人A=a,BC=b,

则由题意得：/+从=(26)2,a2+22=x2^b2-v22=y2,

所以/+)户=32,由基本不等式得:(x+y)2^2(x2+y2)=64,

当且仅当x=y=4时，x+y取得最大值8,此时。=;?=26，A4=A〃=4,

所以4"=Ac=2n，

取与。的中点丁，连接AT.c,r,AC,,如图，

则ATJL与。1,C.riB.D,,则NATG就是二面角从一片。厂0的平面角，

在等腰三角形44耳。中，因为A^=A，=4,B\D、=2瓜,所以AT=JF5，

在等腰三角形中，因为C4=GA=2G，B°=2瓜,所以G7="，

在长方体A8C。一AMGA,求得AC】=25/7,

故在三角形ACJ中，由余弦定理得cosNA7G=W+』♦一仁=--，

2ATTQ5

故选：B.

【点睛】

方法点睛：本题主要考查二面角的余弦值的求解，是中档题.求二面角的常用方法:

（1）找（确定二面角的平面角）

①点（定义法）：再二面角的棱上找•个特殊点，在两个半平面内分别作垂直与棱的射线；

②线（三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可

找到二面角的平面角或其补角；

③面（垂面法）：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角H勺两个半平面产生交线，这两条交线所成的

角即是二面角的平面角.

（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）

①在三角形中，利用余弦定理求值；

②射影面积公式求值：

③利用公式法求值.

还可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.

二、多选题

16.在正方体A4co中，E,F,G分别为8C,CCi,B办的中点，则（）

A.D\D1AF

B.BG〃平面4E/

C.异面直线4G与Eb所成角的余弦值为W

10

D.点G到平面AEr的距离是点C到平面的距离的2倍

【答案】BCD

【分析】

利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证A尸是否垂直及求直线4G与E/所成角

的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面4石尸的距离与点C到平面AE/的距离的数量关系，利用线面平

行的判定即可判断4G、平面AEF是否平行.

【详解】

A选项，由DDJ/CG,即CG与A厂并不垂直，所以。。_LA/错误.

8选项，如下图，延长FE、交于G'连接力G'、GF,有GF//BE又E,F,G分别为8C,CG,BBi的中

点，所以GG'=8A=A4,而AA〃GG',即AG//AG'：又因为面ABqAfl面AE/=AG,且A,G二

ffiAEF»A。u面ABB]A，所以4G〃平面AEF,故正确.

C选项，取4G中点，.连接G",由题意知G，与EV平行且相等，所以异面直线4G与E厂所成角的

平面角为NAGH,若正方体棱长为2,则有G"=J2，AG=a〃=W，即在,4GH中有

AB

。选项，如下图若设G到平面的距离、C到平面AE*的距离分别为九、〃2,则由

匕-GE尸=§,A8-SGEF=VG.AEF=--/?!-SAEF旦VA.CEF=—,A'SCEF=匕_八所=§也，SAEF,知

/_=率纥=2,故正确

乙、CEF

故选：BCD

【点睛】

思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的

判定、线面垂直的性质证明.

1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为（0,]].

2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.

3、由%匕1££尸二%1即即可求6、C到平面AEP的距离比・

17.在楼长为1的正方体中A8CD—44GA中，点夕在线段AQ上运动，则下列命题正确的是（）

A.异面直线GP和C4所成的角为定值

B.直线CO和平面平行

c.三棱锥O-BPG的体积为定值

D.直线CP和平面A8GR所成的角为定值

【答案】ABC

【分析】

人由正方体的性质判断8c_L平面4BG。，得出8C_LC/,异面直线GP与所成的角为90。：B：

由CD//AB,证明CQ〃平面即得C。〃平面3PG；C：三棱锥。一BPC；的体积等于三棱锥的

体积P-OBG的体积，判断三棱锥O-3PG的体积为定值；）找出直线CQ和平面A3G2所成的角，

可知其不是定值.

【详解】

解：对于4,因为在正方体A8CQ—4耳GR中，

B.C±BC.,^.CIC.D,,

又BCCCR=C],BC「

所以4C_L平面43Go1,

而C/u平面45GA,所以AC_LGP,

故这两个异面直线所成的角为定值90。，所以A正确；

对「8,因为平面8PC1与面A8Gq是同一平面，

DC//AB,AB\面ABC.,。。仁平面A8G。，

故8〃平面4BGP，即。〃平面△尸却，故B正确；

对于C,三棱锥。-BPG的体积等于三棱锥P-DBG的体积，

而平面为固定平面，且〜DBG大小一定，

乂因为PEAR,

因为A〃〃8G，4"仁平面3OC,80匚平面8。6，

所以AR〃平面OB。，

所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，为定值,

所以三棱锥。-BPG的体积为定值，故c正确；

对于。，由线面夹角的定义，令6G马4。的交点为o,

所以用。，平面ABGR,

可得ZCPO即为直线CP与平面ABGD,所成的角，

当P移动时这个角是变化的，故D错误.

故选:ABC.

【分析】

本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的

距离，属于较难题.

18.20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工

合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态.其

中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”

去8个"角''后得到的几何体.已知一个立方八面体的校长为1,则（）

A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2

B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直

C.它的体积为述

3

D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等

【答案】ACD

【分析】

利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A、C选项的正误；计算出不共面的棱所

成角的大小可判断B选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D选项的正误.

【详解】

如下图所示，由题意可知，立方人面体的顶点为正方体A8CQ-44G。各棱的中点，

故立方八面体的棱为正方体A3。-4gG。相邻两条棱的中点的连线，

故lE方体的楂长为J]2+]2=6,

由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体ABC。-44GA的中心，

外接球的直径为正方体ABC。-AMGR的面对角线长2,该球的半径为1，A选项正确：

殴MN、尸Q为立方八面体的两条不共面的棱，如下图所示，则MN〃片R,

在正方体A8CO-A与G"中，BBJ/DD\RBB\=DD],则四边形为平行四边形，

:.BDgD\,：.MNHBD、由于PQ//BQ,

易知-BG。为等边三角形，则/。避。=60,所以，MV与PQ所成角为60，B选项错误；

31]（万丫苗历

立方八面体的体积为丫=（及＞-8x—x—x=—,C选项正确；

vJ32（2J3

设正方体ABCD-ABCR底面的中心为点O,连接OC交立方八面体的棱PF于点E,

连接EQ，则E为尸少的中点，且APFQ为等边三角形,所以，EQLPF,

・：CD=BC,O为BD的中点、，；.OCLBD,

•.•P、产分别为BC、C。的中点，则PF〃BD,;.OC±PF,

所以，ZOEQ为M.方八面体的底面与由平面PFQ所成二面角的平面角,

•・•立方八面体的棱长为1，.•.OE=EC=；,CQ=yCC,=y-»EQ=PQsin60=*，

•.•eq平面A8CO,CE^t^ABCD,/.CC.ICE,

在Rf.CEQ中,cosZCEe=—=—

EQ3

77

所以，cosZ.OEQ=cos(l80-ZCEC)=一cos/CEQ=--

3

同理可知，立方八面体的相邻两个面所成二面角的余弦值为-立，D选项正确

3

作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面

角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

三、解答题

19.如图，在四棱锥P-/WC。中，平面P8C_L平面4ACn/BQC=90。，BC=\,BP=6PC=2.

A

D

C'P

(1)求证：COJ_平面P8D；

(2)若8。与底面PBC所成的角为£,求二面角8-PC-。的正切值.

4

【答案】(1)证明见解析；(2)空.

3

【分析】

(I)由已知求解三角形证明BC1PB,再由平面与平面垂直的性质可得平面ABCO,则PBLCD,

又由已知可得BDA.CD,利用宜线与平面垂直的判定可得COJ•平面；

(2)证明M/X;为等腰直角三角形，得DB=DC,取8C中点O,连接。0,则。。_L4C,可得。O_L

平面PBC,过。作OH_LPC,垂足为“，连接可得DH工PC,则NO”。为二面角4一PC—。

的平面角，求解三角形可得二面角3-PC-O的正切值.

【详解】

(1)证明：在AP8C中，由AC=1,BP=6PC=2,

可得BC、PB2=PC2,，BC工PB，

又平面尸8cl,平面ABC。，且平面P8C1平面A5CD=BC,PBu平面PBC，

平面ABCO,则PB_LC力，

又/BDC=90°,，BD工CD,RPBcDB=D，

\CD八平面尸3£＞；

(2)•・・平面P8C_L平面48cO，8Qu平面A8CQ.

7F

03在底面PBC上的射影在8c上，则4。与底面PBC所成的角为NOBC=一,

4

由已知得，ABDC为直角三角形，.•.△8OC为等腰直角三角形，B.DB=DC,

取BC中点。，连接。。，则。0J_3C,

又平面P8C_L平面A8S,且平面尸8cl平面ABC。=BC,。。<=平面48。力,

.•.DO_L平面PBC,过。作CW_LPC，垂足为“，连接£)〃，可得。”_LPC.

则/£)〃。为二面角4一0C-。的平面角,

在等腰直角三角形BOC中，由友?=1,可得OO=CO=',

2

由Rt.PBCsRhQHC,可得生=丝，得八口OCxPB

PCPBOH=―――

1V_z24

1

DO22百

在Rt/^DOH中，可得tanZ.DHO=——=—T=-=——.

OHy/33

V

••・二面角8-PC-O的正切值为*.

3

【点睛】

方法点睛：本题考查线面垂直的判定，考杳二面角的求法，定义法找二面角归纳如下:

设平面。与平面夕的交线为/,空间中一点尸,

1.点夕在平面a内，但不在交线上：过P作平面£的垂线，垂足为“，过”作/的垂线，垂足为A，连

接AP.角朗”为二面角的平面角；

2.点P在交线上:过。在平面a与平面£内分别作垂直于交线的射线PAPB,角AP4为二面角的平面角:

3.点尸在两平面外：过尸作平面夕的垂线，垂足为，，过H作/的垂线，垂足为A，过A在平面。内作

交线的垂线A8,则角84”为二面角的平面角.

20.如图所示，平面AZ?E/<r_L平面A8C,四边形A8EF是矩形，A8=2,AF=2&,△ABC是以A为直角

的等腰直角三角形，点尸是线段B尸上的一点，PF=3.

E

Z4

B

(1)证明：

(2)求直线8c与平面PAC所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；(2)旦.

7

【分析】

(I)要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系：易证明AC_L平面ABEF；(2)由题中所

给的长度，证明平面尸AC，即N8CP为直线8c与平面aC所成的角，在阳ABC尸中，求线面角的

正切值.

【详解】

(1)证明：因为aABC是以A为直角的等腰直角三角形，

所以AC

又平面平面ABC,平面若BEfn平面A8C=AB,

所以4cL平面AB£E

因为BR=平面ABE凡所以ACLBF.

(2)在矩形48E/中，A8=2,AF=2yJj，

贝产=4,又PF=3,

所以/%2=户户8户，所以4凡LAP,

由(1)知AC_L6R乂ACCIAF=A,所以6F_L平面出C,

则N8CP为直线8C与平面雨。所成的角.

如图，过点P作PM〃AB交BE于点、M,过点尸作尸N_LA8于点N,

连接NC,

PM\

因为8/=4,PF=3,所以尸8=1,则

所以PM=BN=L,BM=PN=—,AN=AB~BN=2~—=-

2222

所以CN=dAN?+AC?=J弓了+22=|,PC=y)PN2+NC2=Jg)?+(|)2=布•

在BCP中，tanZBCP=—.

PC7

故直线8c与平面布。所成角的正切值为立.

7

【点睛】

方法点睛：本题考查计算线面角，注意包含以下方法：

1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确

定线面角：

2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度人，而不必画出线面角，利用sin6=/z/

斜线段长，进行求角；

3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设。是直线/的方向向量，”是平面的法向量，利用公式

sin0=|cos<&/i>|求解.

21.如图3C_L3。，AB=BD,NABQ=60。，平面8CQJ_平面ABQ,£、F、G分别为棱AC、CD、AO中点.

A

（1）证明：E/_L平面8CG；

（2）若BC=4,且二面角A—BF—O的正切值为迷，求三棱锌G—BE/体积.（注意：本题用向量法求解

不得分）

【答案】（1）证明见解析（2）迪

3

【分析】

（1）由平面平面A4Q,可得&?_1_平面„,从而可iEAD_L平面8CG，又比V/A力，可证.

（2）过A作八于点M为3。的中点，过M作MV_L8/于点N,连接AV

,可得AM平面3CD,则AM14凡从而BF±平面AMN.从而ZANM为二面角A—BF-D的平面角，

再求三角形边长进行计算得出答案.

【详解】

（1）由平面8coi平面48。，且平面8CQI平面4BQ=8O

又BC上BD,BCu平面3CO,所以8C_L平面

又AO_L平面/曲，则8CJLAD

又AB=BD,G为A3中点，则3G_LAO

而8GcBC=区,则AD1平面BCG

乂E、尸分别为棱AC、CO中点，则所〃A。

所以ERL平面8CG；

（2）由48=80,NA8Q=60。，则△A3。为正三角形.

过A作AMJLAD于点MM为B。的中点，过M作MN13产于点N,连接4N

由平面BCDJ•平面AB。，且平面BCO。平面可得AM_L平面8CO.

所以AMJLBF,从而5歹_L平面AWN.

所以ZANM为二面角4一所一。的平面角.

设A4=a,在RTqAMN中，AM=—a,BM=-a,MN=Lisin/DBF

222

——a

所以lan/ANM=—=-：------