2024年中考数学二轮复习：图形的对称（附答案解析）

2024年中考数学二轮复习：图形的对称

一.选择题（共10小题）

1.如图，点尸是NAOB内任意一点，OP=5c7〃，点M和点N分别是射线OA和射线。8上

2.如图，等腰三角形A8C的底边8c长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线石厂分别交

AC,A8边于£尸点,若点。为8C边的中点，点M为线段E尸上一动点，则△CQM

周长的最小值为（）

3.如图，四边形A8CD中，ZC=50°,ZB=ZD=90°,E、尸分别是8C、。。上的点,

当厂的周长最小时，NE4F的度数为（）

4.如图，点P是NAO6为任意一点，且ZAO4=40°,点M和点N分别是射线OA和射

线03上的动点，当△PMN周长取最小值时，则NMPN的度数为（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

5.如图，在△ABC中，AB=AC,A。、CE是△ABC的两条中线，，是A。上一个动点,，则

下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

6.如图，在矩形A8C。中，AB=5,AO=3,动点〃满足S△陶片聂矩形A8m则点P到A、

J

B两点距离之和PA+PB的最小值为（）

D____________________C

A.V29B.>/34C.5V2D.同

7.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

©穆c_@O®

8.如图，在RtZ\ABC中：/ACB=90°,AC=6,BC=8,A。是。的平分线.若P,

Q分别是4D和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

9.如图，△ABC中，ZBAC=90°,A8=3,AC=4,点。是BC的中点，将△A4。沿AO

翻折得到△?1££>,连C£则线段CE的长等于（）

DB

10.如图，在2X2的方格纸中有一个以格点为顶点的AABC,则与△ABC成轴对称且以格

点为顶点三角形共有（）

C.5个D.6个

二.填空题（共5小题）

11.如图，44。8=30°,点M、N分别在边04、08上，且0M=l,0N=3,点P、Q

分别在边08、上，贝hWP+PQ+QN的最小值是

12.如图，矩形A8CQ中，AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把N8沿4E

折叠，使点B落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时，8E的长

13.如图，正方形/WC。的边长是16,点E在边人B上，人石=3,点F是边BC上不与点8,

。重合的一个动点，把△£1"沿EF折叠，点B落在6处.若夕恰为等腰三角形,

则。夕的长为

A

14.如图矩形ABC力中，AD=5,AB=7,点E为。C上一个动点，把AAOE沿AE折叠,

当点。的对应点D,茬在NABC的角平分线上时,。E的长为.

15.如图是一张矩形纸片.点E在4B边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线

4c上的点尸处，连接力F.若点E,F,D在同一条直线上，AE=2,则。F=,

BE=.

16.如图在平面直角坐标系中，AABC各顶点的坐标分别为：A(4,0),B(-1,4),C

(-3,1)

(1)在图中作B1。'使4A'B'C和△A8C关于x轴对称:

(2)写出点4',C’的坐标.

17.如图所示，在平面直角坐标系中，已知人(0,I)、B(2,0)、C(4,3).

(1)在平面直角坐标系中画出△48C,则△ABC的面积是；

(2)若点。与点C关于y轴对称，则点。的坐标为；

(3)已知P为x轴上一点，若△AB尸的面积为4,求点P的坐标.

18.(I)如图1,在A8直线一侧C、。两点，在A8上找一点P,使C、。、。三点组成的

三角形的周长最短，找出此点并说明理由.

(2)如图2,在NAOB内部有一点P,是否在。4、OB上分别存在点E、F,使得E、尸、

。三点组成的三角形的周长最短，找出£、尸两点，并说明理由.

(3)如图3,在2人08内部有两点M、N,是否在08上分别存在点E、F,使得七、

F、M、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、”两点，并说明理由.

D

c

月---------------BO------------BOL----------------B

图1图2图3

19.如图，在AA皮？中，/A8C=45°,点〃为边3。上的一点，6。=36尸，且/%8=1£°,

点C关于直线出的对称点为。，连接30,又△APC的PC边上的高为A”

(I)求N8P。的大小；

(2)判断直线BQ,AH是否平行？并说明理由；

(3)证明：ZBAP=ZCAH.

20.已知点P在NM0N内.

(1)如图1,点尸关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是从连接

OG.OH、OP.

①若/M0N=50°,则NGO〃=

②若PO=5,连接G”,请说明当NMON为多少度时，GH=10；

(2)如图2,若NMON=6U。，A、B分别是射线0做、ON上的任意一点，当△阴B的

周长最小时，求NAP8的度数.

图1图2

H

2024年中考数学二轮复习：图形的对称

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，点P是N4OB内任意一点，OP=5c〃?，点M和点N分别是射线0A和射线。8上

的动点，△PMN周长的最小值是5c〃?，则NAO8的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【答案】B

【分析】分别作点P关于OA、。8的对称点C、D,连接CQ,分别交OA、OB于点M、

N,连接OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=DM,OP=OC,ZCOA=

NPOA；PN=CN,OP=OD,/DOB=/POB,得出/AO8=*/C。。，证出△OCO是

等边三角形，得出,即可得出结果.

【解答】解：分别作点。关于04、O"的对称点C、D,连接CD,

分别交OA、OB于点、M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示：

•・•点P关于04的对称点为D,关于0B的对称点为C,

:・PM=DM,OP=OD,NOOA=/PQ4；

•・•点P关于0B的对称点为C,

:.PN=CN,OP=OC,/COB=/POB,

：.OC=OP=OD,/AOB=3/COD,

•••△PMN周长的最小值是5cm,

:,PM+PN+MN=5,

:.DM+CN+MN=5,

即CD=5=OP,

：.OC=OD=CD,

即△0C。是等边三角形,

・・・/。。。=60°,

/.ZAOB=30°；

【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌

握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

2.如图，等腰三角形48c的底边8C长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线正产分别交

AC,AB边于E,F点.若点。为BC边的中点，点M为线段E尸上一动点，则△COM

周长的最小值为（）

C.10D.12

【考点】轴对称-最短路线问题.

【答案】C

【分析】连接AD,由干AABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD_L8C,再根

据三角形的面积公式求出A。的长，再再根据E/是线段AC的垂直平分线可知，点C关

于直线E尸的对称点为点4,故4。的长为CM+M。的最小值，由此即可得出结论.

【解答】解：连接

•••△ABC是等腰三角形，点。是8C边的中点，

：,AD±BC,

：.S^ABC=\nC*AD=1x4XAO=16,解得AO=8,

・・・E厂是线段4C的垂直平分线，

・•・点C关于直线EF的对称点为点4,

：,AD的长为CM+MD的最小值，

11

•••△COM的周长最短=CM+MO+CO=AO+W8C=8+5X4=8+2=IO.

乙乙

故选：C.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答

此题的关键.

3.如图，四边形A3c。中，ZC=50°,N8=NO=90°,E、尸分别是8C、OC上的点，

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【答案】。

【分析】据要使△4£户的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，

作出A关于8c和CO的对称点A',A",即可得出/A4'E+NA"=ZHAA'=50°,

进而得出/A£F+NAFE=2(ZAAfE+ZA"),即可得出答案.

【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A',A〃，连接A'A〃，交BC于E,交

CO于尸，则A'A"即为△人石厂的周长最小值.作D4延长线A”，

・・・NQA4=l30°，

AZHAA1=50°,

/.ZAA1E+NA”=ZHAA，=50°,

ZEA1A=ZEAA'.ZFAD=ZA'r,

：,ZEAA'+NA"A尸=50°,

・・・N£AF=1300-50°=80°,

故选：D.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三

角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出产的位置是解题关键.

4.如图，点尸是N4QB为任意一点，且NAO8=40°,点M和点N分别是射线。4和射

线08」二的动点，当周长取最小值时，则NMPN的度数为（）

A.140°B.100"C.50°D.40°

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】平移、旋转与对称.

【答案】B

【分析】分别作点P关于OA、（加的对称点为、P2,连P、P2,交OA于M,交。8于

N,△PMN的周长=产出2,然后得到等腰△OP1P2中，ZOPiP2+Z（?P2Pi=100°,即可

得出NMPN=/OPM+/OPN=/OPTM+NOP2N=100°.

【解答】解：分别作点P关于04、。3的对称点Pi、尸2,连接PP2,交。4于M,交

OB于N,则

OP\=OP=OP2,NOP1M=NMPO,ZNPO=ZNPzO,

根据轴对称的性质，可得MP=P1M,PN=P?N,则

△PMN的周长的最小值=2很2,

••・/PIOP2=2NAOB=80°,

・•・等腰△OP1P2中，/0尸1尸2+/0尸2尸1=100°,

・•・ZMPN=ZOPM+ZOPN=ZOP\M+ZOP1N=100'，

故选：B.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△0PIP2

中NOPIP2+NOP2Pl=100°是关键.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质

定理，多数情况要作点关于某直线的对称点.

5.如图，在△ABC中，AB=AC,A。、CE是△ABC的两条中线，P是AO上一个动点，则

下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）

【考点】轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质.

【答案】B

【分析】如图连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC^CE,

推出P、C、E共线时，P8+尸E的值最小，最小值为CE的长度.

【解答】解：如图连接尸C,

：.AD±BC,

:・PB=PC,

：.PB+PE=PC+PE,

•；PE+PCeCE,

:・P、C、E共线时，P8+PE的值最小，最小值为CE的长度，

故选：B.

【点评】本题考查轴对称■最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等

知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

6.如图，在矩形A8CD中，AB=5,40=3,动点。满足S△小。一;S矩形aoe,则点。到A、

B两点距离之和PA+PB的最小值为（）

A.V29B.x/34C.5近D.V41

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】空间观念；几何直观；模型思想.

【答案】D

【分析】首先由S4PAB=gs电影ABCD，得出动点P在与48平行且与4B的距离是2的直线

/上，作A关于直线I的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.然

后在直角三角形44笈中，由勾股定理求得AE的值，即RUPA的最小值.

【解答】解：设中A/3边上的高是

S^PAB=矩形A8C。,

2

・•・仁豺。=2,

・•・动点户在与A6平行且与A6的距离是2的直线/上，如图，作A关丁直线/的对称点

E,连接AE,连接BE,则8E的长就是所求的最短距离.

在RIZX48E中，•；/W=5,4E=2+2=4,

:.BE=y/AB2^-AE2=x/524-42=同，

即PA+PB的最小值为、41.

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理,

两点之间线段最短的性质.得出动点P所在的位置是解题的关键.

7.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

©趣

【考点】轴对称图形.

【答案】4

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重

合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；

B、不是轴对称图形，故笈不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C不符合题意；

。、不是轴对称图形，故D不符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图

形两部分折叠后可重合.

8.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,A£>是N8AC的平分线.若P,

。分别是AQ和AC上的动点，则0C+PQ的最小值是（）

【考点】轴对称-最短路线问题.

【答案】C

【分析】过点。作CM1AB交48于点M,交4。于点P,过点P作PQJ_AC于点Q,

由A。是N84C的平分线.得出尸Q=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用

勾股定理求出AB,再运用S,®c=yB・CM=yC・8C,得出CM的值，即尸C+PQ的最

小值.

【解答】解：如图，过点。作CMJ_A8交A8于点M,交4。于点P,过点。作PQ_LAC

于点Q，

YA。是N8AC的平分线.

：.PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，

•・・AC=6,BC=8,NACB=90°,

：.AB=y/AC2+BC2=V62+82=10.

•；S"BC=^AB*CM=14c・BC,

ACBC6x8_24

:、CM=

~AB~To-=V1

?4

即PC+PQ的最小值为g

故选：c.

【点评】本题主要考杳了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P

和。的位置.

9.如图，△A8C中，ZBAC=90°,AB=3,4c=4,点。是BC的中点，将aAB。沿AO

翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等丁（）

【考点】翻折变换（折叠问题）：直角三角形斜边上的中线：勾股定理.

【答案】。

【分析】如图连接8E交A。于。，作A”_L8C于凡首先证明AO垂直平分线段BE,

△BC£是直角三角形，求出8。、BE,在RtZ\8CE中，利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图连接班;交A。于0,作A”_L8c于〃.

在R48C中，VAC=4,AB=3,

：・BC=V32+42=5,

•；CD=DB,

：,ED=DC=DB=^,

11

V-J・AB・4C,

22

.12

..AAHU=亏，

\*AE=AB,

:.点A在BE的垂直平分线上.

•:DE=DB=DC,

工点。在8E的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，

・・・A。垂直平分线段BE,

11

♦：一・AD・B0="BD・AH,

22

・•・0B=

J

24

・・・BE=2O8=学

在RtABCE中，EC=y/BC2-BE2=卜一停尸=（，

解法二：连接8E,4。于点F,DF是三角形BCE中位线,求出。F,可得结论.

【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的

关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型.

10.如图，在2X2的方格纸中有一个以格点为顶点的AABC,则与△ABC成轴对称且以格

点为顶点三角形共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点】轴对称的性质.

【专题】网格型.

【答案】C

【分析】解答此题首先找到aABC的对称轴，EH、GC、AD,8尸等都可以是它的对称轴，

然后依据对称找出相应的三角形即可.

【解答】解：与△A4C成轴对称且以格点为顶点三角形有△48G、△CQF、△AEF、△

DBH,△BCG共5个，

故选：C.

【点评】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.如图，/408=30°,点M、N分别在边04、上，且OM=1,ON=3,点、P、Q

分别在边。8、上，则MP+PQ+QN的最小值是

R

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】作M关于05的对称点M',作N关于0A的对称点N',连接M'N',即

为MP+PQ+QN的最小值.

【解答】解：作M关于0B的对称点“'，作N关于。人的对称点N',

连接M'N',即为MP+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：0Q=NM'0B=30：NOMV'=60°,

:'△ONN'为等边三角形，△0MM'为等边三角形，

/.ZN'OM'=90°,

・••在RtZX"ON'中，

M'N'=I*+12=^/Tn.

故答案为同.

【点评】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，

得到等边三角形是解题的关键.

12.如图，矩形A8CO中，A8=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把沿AE

3

折叠，使点3落在点8,处.当△CE8'为直角三角形时，的长为或3.

~2-----

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】当ACER'为直角三角形时，有两种情况:

①当点"落在矩形内部时，如答图1所示.

连接AC先利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得/AB'E=/8=90°,而

当△CE8'为直角三角形时，只能得到N£8'C=90°,所以点A、夕、C共线，即/

8沿AE折叠，使点8落在对角线AC上的点8'处，则E3=EB',AB=AB'=3,可

计算出CZT=2,设则£4,=x,CE=4-J,然后在中运用勾股定

理可计算出上

②当点"落在A。边上时，如答图2所示.此时4BEB'为正方形.

连接AC,

在RlZ\A8C中，AB=3,BC=4,

：.AC=4+32=5,

•・・NB沿AE折叠，使点B落在点8'处，

AZAB'E=N8=90°,

当△CE8'为直角三角形时，只能得到N&T。=90°,

・••点A、夕、。共线，即N8沿AE折置，使点8落在对角线AC上的点4处,

：,EB=EB',AB=AB,=3,

:,CB'=5-3=2,

设8E=x,则EB'=A,CE=4-x,

在RtZXCE)中，

•:EB‘2+CB'2=c修,

/.?+22=(4-x)2,解得后参

3

・・・BE=*

②当点8,落在AO边上时，如答图2所示.

此时A8E8'为正方形，，B£：=AB=3.

综上所述，BE的长为:或3.

故答案为：|或3.

【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等.也

考查了矩形的性质以及勾股定理.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.

13.如图，正方形A8CO的边长是16,点E在边A8上，AE=3,点尸是边BC上不与点8,

。重合的一个动点，把AEB尸沿E尸折叠，点B落在及处.若△CQ8'恰为等腰三角形，

则。8'的长为16或46.

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】压轴题；分类讨论.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据翻折的性质，可得"E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三

角形的判定，可得答案.

【解答】解：（i）当*D=B'。时，

过夕点作G〃〃A。，则N"GE=90°,

当"C=B'。时，AG=DH=1DC=8,

由A£=3,AI3=\6,得8E=13.

由翻折的性质，得"E=BE=13.

：.EG=AG-AE=S-3=5,

・•・"G=ylB'E2-EG2=V132-52=12,

：.B'H=GH-B'6=16-12=4,

：.DB'=yjB'H24-DH2=V42+82=475

5）当。"=CQ时，则。*=16（易知点”在8c上且不与点C、6重合）.

（沆）当CB'=CO时，则CB=ar,由翻折的性质，得EB=EB'，：・点E、（：在BB'

的垂直平分线上，.・・EC垂直平分8夕，由折叠，得石户也是线段BB'的垂直平分线,

・••点/与点C重合，这与已知“点尸是边8c上不与点B,C重合的一个动点”不符,

故此种情况不存在，应舍去.

综上所述，。夕的长为16或4Vs.

故答案为：16或4vs.

【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定.

14.如图矩形人中，40=5,AB=7,点、E为DC上一个动点,把aA。七沿A石折叠,

当点D的对应点。'落在NABC的角平分线上时，。七的长为或

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】连接B。’，aD1作交AB于点M,C。于点M作。'P_L5C交

BC于点P,先利用勾股定理求出M。'，再分两种情况利用勾股定理求出DE.

【解答】解：如图，连接8。'，过。'作MN_LAB,交AB于点M,C。于点M作》

P上8C交.8C于点P

•・•点D的对应点Q'落在NA8C的角平分线上，

；・MD'=PD',

设M。'=x,则P。'=BM=x,

：.AM=AB-BM=7-x,

又折叠图形可得AQ=A。'=5,

・•・/+(7-x)2=25,解得x=3或4,

BPMDf=3或4.

在RtAEN。'中，设EO'=a,

①当A/。'=3时，AM=7-3=4,D'N=5-3=2,EN=4-a,

Aa2=22+(4-a)2,

解得〃=今即。七=今

②当M。'=4时，AM=7-4=3,D'N=5-4=l,EN=3-a,

/.fl2=12+(3-4)2,

解得〃=米即OEJ

故答案为：:或"

23

【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应

相等的.

15.如图是一张矩形纸片.点£在人8边上，把沿直线CE对折，使点8落在对角线

AC上的点尸处，连接QF.若点、E,F,。在同一条直线上，AE=2,则DF=2,BE

=_V5-J_.

【考点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据矩形的性质得到4D=8C,ZADC=ZB=ZDAE=9Qa,根据折叠的性质

得到b=3C,ZCFE=^B=90a,根据全等三角形的性质得到QF=AE=2；

根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•・•四边形人8CO是矩形，

：.AD=BC,NADC=/B=NDAE=90°,

•・•把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点尸处，

：.CF=BC,/CFE=/B=90°,EF=BE,

：.CF=AD,ZCFD=90°,

・••ZADE+ZCDF=ZCDF+ZDCF=9O0,

ZADF=NDCF,

：,/\ADE^^,FCD(ASA),

：.DF=AE=2；

•・・NAFE=NCFD=90°,

・・・NAFE=NOAE=90°,

*/ZAEF=ZDEA,

，XAEFs丛DEA,

•A_E_D_E

••,

EFAE

22+EF

••=9

EF2

.••所=«-1(负值舍去)，

:.BE=EF=居-1,

方法二：■:NB//CD,

:・SmCD=SxDCE,

SAACD-S/.DCF=SADCE-S/.DCF,

••SKADF=S»ECF,

由题意知，BC=CF,SMCD=SMBCfSdECF=SdBCE，

••SMCD-SMDF=SMBC-S^CEF=SAABC-SABCE,

.*.SADCF=SAACE.

11

・••一xDF・CF=/E・8C,

22

•；CF=BC,

：.DF=AE=2,

设BE=x,

'：KE//CD.

:.AAEFsACDF,

•A_EEF

••，

CDDF

2x

**2+X-2

解得：户近-1(负值舍去)，

・・・8E=V5-1.

故答案为：2・VS-1.

【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

三.解答题(共5小题)

16.如图在平面直角坐标系中，△A8C各顶点的坐标分别为：A(4,0),B(-1,4),C

(・3,1)

(1)在图中作△?!'B'C使夕C'和△AAC关于x轴对称：

【考点】坐标与图形变化-对称.

【专题】数形结合.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A'的坐标为（4,0）,点小的

坐标为（-1，-4）,点。，的坐标为（-3,-1）,然后描点；

（2）由（1）可得到三个对应点的坐标.

【解答】解：（1）如图，

（2）点的坐标为（4,0）,点4,的坐标为（-1,-4）,点C'的坐标为（-3,-

1）.

【点评】本题考查了关坐标与图形-对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相

反数；关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数.

17.如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0,I）、B（2,0）、C（4,3）.

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是3；

（2）若点。与点C关于），轴对称，则点。的坐标为（-4,3）；

（3）已知尸为x轴上一点，若aABP的面积为4,求点尸的坐标.

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.

【专题】三角形；平移、旋转与对称.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）直接利用AA8c所在矩形面积减去周隹三角形面积进而得出答案;

（2）利用关于），轴对称点的性质得出答案；

（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案.

【解答】解：（1）如图所不：△ABC的面积是:3X4—^xlX2—ix2X4—x2X3=4；

乙乙乙

故答案为:4；

（2）点。与点C关于），轴对称，则点。的坐标为：（-4,3）；

故答案为：（-4,3）；

（3）•・•尸为x轴上一点，△A8P的面积为4,

・・・BP=8,

・••点P的横坐标为：2+8=10或2-8=・6,

故尸点坐标为：（10,0）或（-6,0）.

【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点

位置是解题关键.

18.（I）如图1,在/W直线一侧C、。两点，在/W上找一点P,使C、。、P三点组成的

三角形的周长最短，找出此点并说明理由.

（2）如图2,在NAOB内部有一点P,是否在。4、08上分别存在点E、F,使得EF、

。三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.

（3）如图3,在NAO8内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、

A/、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点,并说明理由.

D

c

月---------------BO-------BOL---------B

图1图2图3

【考点】轴对称・最短路线问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由于△PC。的周长=PC+CQ+PD,而C。是定值，故只需在直线/W上找

一点P,使PC+PD最小.如果设。关于直线的对称点为C,使PC+P。最小就是

使PC'+尸。最小；

(2)作P关于。4、08的对称点。、。，连接C。角0A、0B于E、F.此时周

长有最小值；

(3)如图3,作M关于04的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,

0B于F,此时使得七、F、M、M四点组成的四边形的周长最短.

【解答】解：(1)如图I,作C关于直线AB的对称点C,

连接C'。交AB于点P.

则点P就是所要求作的点.

理由：在4B上取不同于产的点尸'，连接CP'、OP'、CP'.

•・・c和C'关于直线/对称，

:.PC=PC，P'C=P'C',

而C'P+DP<C'P'+DP',

APC+DP<CP'+DP'

/.CD+CP+DP<CD+CPf+DPf

即△CQP周长小于△CQ。'周长；

(2)如图2,作尸关于OA的对称点C,关于08的对称点。，连接C。，交0A于E,

0B于F,连接PC,PD,则点区厂就是所要求作的点，

理由：在。A,04上取不同于七，”的点,F',连接CE'、E'P、PF'、DF,,

E尸，

•••C和P关于直线。A对称，D和尸关于直线0B对称,

:,PE=CE,CE'=PE',PF=DF,PF'=DF'，

/.PE+EF+PF=CE+EF+DF,PE'+PF'+E'F'=CE'+E'F+DF,,

*：CE+EF+DF<CE'+E'F'+DF',

：,PE+EF+PF<PEf+£'F'+PF'：

(3)如图3,作M关于OA的对称点C,作N关于OB的对称点D,连接CD,交OA

于石，OB于F,则点E,F就是所要求作的点.连接MC,ND.

理由：在Q4,08上取不同于E,/的点E',尸，连接CE'、七’尸，。尸，

丁C和M关于直线0A对称，

；・ME=CE,CE'=ME',NF=DF,NF'=DF',

由（2）得知MN+ME+EF+N〃<MN+M£'+EfF'+尸N.

【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，根据

已知得出对称点的位置是解题关键.

19.如图，在△A8C中，NA8C=45°，点P为边8c上的一点，8C=38P,且N%8=15°,

点C关于直线PA的对称点为D,连接3D,又XAPC的PC边上的高为AH

(1)求N8PQ的大小;

（2）判断直线BD,AH是否平行？并说明理由;

（3）证明：ZBAP=ZCAH.

【考点】轴对称的性质；平行线的判定与性质.

【专题】平移、旋转与对称.

【答案】见试题解答内容

【分析】（I）根据点C关于直线PA的对称点为。，即可得到△人OPgZXACP,进而得出

NAPC=NAPO=60°,即可得到NBP力=180°-120°=60°；

（2）先取PD中点连接BE,则△BEP为等边三角形，△8DE为等腰三角形，进而

得到N。8P=90°,即8O_L8c.再根据△APC的PC边上的高为A“，可得A”_LBC,

进而得出BD//AH-,

（3）过点A作30、。。的垂线，垂足分别为G、F.根据NGBA=Na%=45°,可得

点4在NGBC的平分线上，进而得到点A在NGOP的平分线上.再根据/GQP=150°,

即可得到NC=N/1DQ=75°,进而得到RtZXAC”中，NC4H=I5°,即可得出NB4P

=NC4H.

【解答】解：（1）;/以8=15°,NABC=45°,

/.ZAPC=\