2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二上学期第二次月考数学学情调研试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二上学期第二次月考数学学情调研试卷一、单选题1．若数列为等差数列，且，则等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【正确答案】D【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.【详解】依题意，.故选：D2．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】根据空间向量的线性运算可得解.【详解】如图所示，在三棱柱中，，，依题意，故选：A.3．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（

）A． B． C．2 D．16【正确答案】A【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解.【详解】由条件可知，，得.故选：A4．等比数列中，，则（

）A．4 B． C． D．【正确答案】B【分析】根据等比数列通项公式求解即可.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以，所以.故选：B.5．已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律可得答案.【详解】∵与垂直，∴，∴，所以，因为，所以.故选：D.6．设数列的前项和为，若，且，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解.【详解】数列中，由，得，整理得，则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，于是，即，而满足上式，因此，，，ABD错误，C正确.故选：C7．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【正确答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B8．已知数列满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】先求得，利用裂项求和法求得，根据单调性求得的取值范围.【详解】依题意，数列满足，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，由于是单调递增数列，而对于任意，不等式恒成立，所以实数的取值范围为故选：C二、多选题9．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与均为的最大值 D．为的最小值【正确答案】AC【分析】由已知可得公差，进而由与的关系可得，，根据等差数列的性质可得结论.【详解】因为，所以，故A正确；因为是等差数列且，所以公差，故B错误；因为，所以，又因为是等差数列且，所以与均为的最大值，故C正确，D错误.故选：AC.10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（

）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【正确答案】AC【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．【详解】对于A：，与不是共线向量，故A错误；对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；对于C：，∴，故C错误；对于D：，设平面的法向量为，则，取，得，故D正确．故选：AC．11．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（

）A．数列是等比数列B．数列的C．数列的前7项为负数D．数列最大项的值为【正确答案】ABD【分析】利用等比数列的定义结合条件等式变形可判定A，从而求出通项公式判断BC，根据数列的单调性判断D.【详解】根据，可知是等比数列，首项为，公比为，故A正确；则有，所以，故B正确，C错误；不妨设最大项为，则，即，解之得，即最大项为，故D正确.故选：ABD三、填空题12．已知，则．【正确答案】【分析】根据空间向量的坐标运算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为.13．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则.【正确答案】0【分析】利用等比数列性质求得，然后由等差数列前项公式计算．【详解】因为公差，且成等比数列，所以，即，解得，所以．故014．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.【详解】，，与夹角的余弦值为，在上的投影向量为.故选：D．四、解答题15．已知正方体（1）求出对角线AC1（2）求出平面的一个法向量．16．已知是等差数列的前n项和，且，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前100项和.【正确答案】(1)(2)200【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）求出，利用分组求和公式得到答案.【详解】（1）设公差为d，结合题设有，解得，则故的通项公式为.（2），所以.17．已知数列满足：，.(1)若，求证：为等差数列.(2)求数列的前项和.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）因为，所以，即，，又，所以是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）可得，则，所以，所以.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．(1)求证：平面PBC；(2)求证：平面BDE．【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证；（2）设平面BDE的法向量为，证明即得证.【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，因为，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因为，平面PBC．所以平面PBC．（2）证明：由（1）可得，，．设平面BDE的法向量为，则，即令，得，，则是平面BDE的一个法向量，因为，所以，因为平面BDE，所以平面BDE．19．已知数列满足，对任意正整数、都有.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和；(3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值.【正确答案】(1)(2).(3)【分析】（1）直接给赋值得到一个等比数列的关系式，求出的通项；（2）通过和前项和之间的关系求解通项即可；（3）通过判断数列的单调性，确定最大值的