5.2.1基本初等函数的导数 【知识精研】高二数学 课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

学习目标123导函数的定义并根据导数的定义推导常用函数的导数．掌握基本初等函数的导数公式．能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．0

章节导读05.1.1变化率5.1.2导数的概念及几何意义5.2导数的运算5.3导数在研究函数中的应用平均速度瞬时速度割线斜率切线斜率导数的几何意义导数的概念基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最大（小）值复习引入

0导数的定义及其几何意义：

一差、二比、三极限。010302目录1导函数的定义2基本初等函数的导数学习过程3题型训练读教材0阅读课本P72-P75，5分钟后完成下列问题：1.导函数的极限公式是什么？2.基本初等函数有哪些，它们的导函数公式是什么？我们一起来探究基本初等函数的导数吧！新知探究1

导函数的定义：

新知探究1

l

1导函数的定义新知1－－导函数的定义

求导函数的步骤：一差、二比、三极限。

学以致用例1

如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于（

）A.－4B.3 C.－2D.1解:由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.D010302目录1导函数的定义2基本初等函数的导数学习过程3题型训练新知探究2思考：

回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？

幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.

任意点处切线斜率均为0.

任意点处切线斜率均为1.新知探究2

新知探究2

2新知2－－基本初等函数的导数基本初等函数的导数

学以致用

学以致用

例2

求下列函数的导数：

010302目录1导函数的定义2基本初等函数的导数学习过程3题型训练题型1－－导数的公式应用3例1

函数y＝3x在x＝2处的导数为（

）A.9 B.6 C.9ln3 D.6ln3C解:y′＝(3x)′＝3xln3，故所求导数为9ln3.例2

函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于（

）A.4 B.－4 C.5 D.－5A解:∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.题型1－－导数的公式应用3

例3

求下列函数在给定点处的导数：

题型1－－导数的公式应用3例4

设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，

则f2025(x)＝

.cosx解：由已知得，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，

f5(x)＝cosx，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，

则f2025(x)＝f1(x)＝cosx.题型2－－切线问题3例6

已知y＝kx＋1是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝

.题型2－－切线问题3例7已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程?题型2－－切线问题3解：∵O(0,0)不在曲线y＝lnx上.∴设切点为Q(x0，y0)，∴Q(e,1)，例8

求曲线y＝lnx过点O(0,0)的切线方程？思路点拨求曲线在某点处的切线方程的步骤：求切点坐标的步骤：(1)设出切点坐标；(2)利用导数公式求出斜率；(3)利用斜率关