2024-2025学年四川省天立集团高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省天立集团高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l1：2x+y−2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1//l2A.8 B.2 C.−12 2.若a+b=(−2,−1,2)，a−b=(4,−3,−2)A.−5 B.−1 C.5 D.73.一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，x，7，8(其中x≠7)，若该组数据的中位数是极差的56，则该组数据的60%分位数是(

)A.4 B.4.5 C.5 D.64.已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=72，若直线x+y−m=0垂直于圆CA.2或10 B.4或8 C.4或6 D.2或45.椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、A.有2个 B.有4个 C.不一定存在 D.一定不存在6.P为⊙C：x2+y2−2x−2y=0上一点，Q为直线l：x−y−4=0A.2 B.233 C.7.若半径为r的小球可以在棱长均为8的四棱锥内部自由转动，则r的最大值为(

)A.3+1 B.2(3+1) 8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与(x−a)2+(y−b)2相关的代数问题，可以转化为点(x,y)与点(a,b)之间的距离的几何问题.已知点M(x1,y1)在直线l1：y=x+2，点A.722 B.1122二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.若事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立

B.若事件A，B，C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立

C.若事件A，B相互独立，则A−与B−也相互独立

D.若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与A，10.设直线系M：xcosθ+(y−2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，则下面四个命题正确的是(

)A.点(0,2)到M中的所有直线的距离恒为定值

B.存在定点P不在M中的任意一条直线上

C.对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上

D.M中的直线所能围成的三角形面积都相等11.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P在棱CC′上，且|PC′|=1，则下列结论正确的有(

)A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为73

B.保持PM与BD′垂直时，点M的运动轨迹长度为32

C.若保持|PM|=25，则点M的运动轨迹长度4π3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间的一组基底为{a,b,c}，m=a+3b13.已知某三棱台的高为25，上、下底面分别为边长为43和63的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球14.已知实数a，b满足a2+b2=2a−2b四、解答题：本题共5小题，共148分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1⊥平面ABC，CC1=2AC=2BC=4，M为AB边上的动点．

(1)当AM=BM时，求证：16.(本小题100分)

为响应国家“学习强国”的号召，培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的1000名同学的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图(有数据缺失)：

请大家完成下面的问题：

(1)根据直方图求以下表格中x，y的值：成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数x250350y100(2)求参赛同学初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)若从这1000名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，再在该样本中成绩不低于80分的同学里任选2人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的2人中恰好1人的分数低于90分且1人的分数不低于90分的概率．

注：方差公式s2=17.(本小题12分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P为棱AD的中点，四棱锥S−ABCD的体积为233．

(1)若E为棱SB的中点，求证：PE//平面SCD；

(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成夹角的余弦值为235？18.(本小题12分)

蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M的方程为x2+(y−b)2=r2，直线x=my与圆M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直线x=ny与圆M交于E(x3,y3)，F(x4,y4).原点O在圆M内.设CF交x轴于点P，ED交x19.(本小题12分)

已知直线l：ax+by+c=0和点P(x0,y0)，点P到直线l的有向距离d(P,l)用如下方法规定：若b≠0，d(P,l)=|b||ax0+by0+c|ba2+b2，若b=0，d(P,l)=ax0+ca．

(1)已知直线l1：3x−4y+12=0，直线l2：2x+3=0，求原点O到直线l1，l2的有向距离d(O,l1)，d(O,l2)；

(2)已知点A(2,1)和点B(3,−1)，是否存在通过点A参考答案1.A

2.A

3.D

4.A

5.D

6.A

7.C

8.D

9.ACD

10.ABC

11.BCD

12.−6

13.144π

14.7

15.解：(1)证明：∵AA1⊥平面ABC，又CM⊂平面ABC，

∴AA1⊥CM，

∵AC=BC，AM=BM，

∴CM⊥AB，又AA1⊥CM，且AA1∩AB=A，

∴CM⊥平面ABB1A1；

(2)∵CC1=2AC=2BC=4，AC⊥BC，

∴AB=AC2+BC2=22，

又由(1)知CM⊥平面ABB1A1，

∴点C到平面A1B1M距离为CM=16.解：(1)由直方图可知成绩在[50,60)的频率为0.005×10=0.05，

所以成绩在[50,60)的频数x=1000×0.05=50，

则成绩在[50,60)的频数y=1000−50−250−350−100=250；

(2)设[60,70)分组的频率/组距为a，则a=2501000×110=0.025，

平均数x−=11000(50×55+250×65+75×350+85×250+95×100)=76，

S2=(76−55)2×0.05+(76−65)2×0.25+(76−75)2×0.35+(76−85)2×0.25+(76−95)2×0.1=109；

(3)从这1000名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，

则抽样比为201000=15017.证明：(1)取SC的中点F，连接EF，FD，

如图所示：

由于点E、F分别为SB、SC的中点，

所以EF/​/BC，EF=12BC，

由于底面四边形ABCD为矩形，P为棱AD的中点，

所以PD/​/BC，PD=12BC，

所以EF/​/PD，EF=PD，

故四边形PDFE为平行四边形，所以PE//FD，

由于FD⊂平面SCD，PE⊈平面SCD，

所以PE/​/平面SCD．

解：(2)假设在棱SA上存在点M满足题意，

在等边三角形SAD中，点P为AD的中点，所以SP⊥AD，

由于平面SAD⊥平面ABCD，

SP⊂平面SAD，

所以SP⊥平面ABCD，

则SP为四棱锥S−ABCD的高，

设AD=m，SP=32m，S矩形ABCD=m，

V四棱锥S−ABCD=13S矩形ABCD⋅SP=13m×32m=233，解得m=2；

以点P为原点，PA，AB，PS的方向为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，S(0,0,3)，

所以PA=(1,0,0)，PB=(1,1,0)，AS=(−1,0,3)，

设AM=λAS=(−λ,0,18.解：(1)当b=0，r=5，m=−12，n=2时，

圆M：x2+y2=5，

直线CD：x=−12y，由x2+y2=5x=−12y⇒x=−1y=2或x=1y=−2，故C(−1,2)，D(1,−2)；

直线EF：x=2y，由x2+y2=5x=2y⇒x=−2y=−1或x=2y=1，故E(2,1)，F(−2,−1)．

所以直线CF：y+12+1=x+2−1+2，令y=0，得x=−53，即P(−53,0)；

直线ED：y−1−2−1=x−21−2，令y=0，得x=53，即Q(53,0)．

所以|OP|=|OQ|=53．

(2)①证明：由题意：b2<r2．

由x2+(y−b)2=r2x=my⇒(my)2+(y−b)2=r2⇒(m2+1)y2−2by+b2−r2=019.解：(1)由直线l1：3x−4y+12=0，直线l2：2x+3=0，根据点到直线的有向距离公式得，d(O,l1)=|−4||0+0+12|−432+(−4)2=−125，d(O,l2)=2⋅0+32=32；

即d(O,l1)=−125，d(O,l2)=32，

(2)当直