高等数学教程（第4版）课件：定积分的计算

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定理6.4(定积分的换元公式)

定积分的计算则设f(x)在[a,b]上连续,6.3.1定积分的换元法单调且有连续导数,应用定积分的换元公式时,“换元必须换限”.解上半椭圆方程为

由对称性,总面积等于4倍第一象限部分面积.例6.19求椭圆

的面积S.令奇函数例6.20

计算解原式偶函数单位圆的面积例6.21

计算解令原式做了一个翻转,即镜面反射.

区间上的变量代换称为反射变换.

几何上,它把区间[a,b]上函数的图像绕直线证做反射变换

例6.22

求故证(1)由反射变换例6.23

若

在[0,1]上连续,(2)计算(1)证明故

(2)由(1)的结论例6.24设

为连续函数,证令则求故定理6.56.3.2定积分的分部积分法则有

设函数

在区间[a,b]上具有连续

由不定积分的分部积分公式及牛顿－莱布尼导数,或茨公式立即可得到：

例6.25

计算解令练习

计算解令解练习计算由曲线和x轴所围成的区域的面积S.由定积分的几何意义,所求面积例6.26

计算解例6.27

计算解积分

关于下标的递推公式于是为正偶数

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