九年级下册数学：专题29 二次函数中的十二大存在性问题（北师大版）（解析版）

专题2.9二次函数中的十二大存在性问题

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】...................................................1

【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】...................................................12

【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】..............................................23

【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】...................................................33

【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】...................................................41

【题型6二次函数中菱形的存在性问题】.........................................................52

【题型7二次函数中矩形的存在性问题】.........................................................62

【题型8二次函数中正方形的存在性问题】.......................................................74

【题型9二次函数中面积问题的存在性问题】.....................................................86

【题型10二次函数中线段问题的存在性问题】.....................................................97

【题型11二次函数中角度问题的存在性问题】...................................................109

【题型12二次函数中最值问题的存在性问题】...................................................123

，举一反三

【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】

【例1】(2023春・甘肃张掖・九年级校考期中)如图甲，直线y=-x+3与％轴、y轴分别交于点8、点C,经

过B、C两点的抛物线y=x2+b%+c与4轴的另一个交点为A,顶点为P.

甲乙丙

⑴求该抛物线的解析式;

(2)当0cx<3时，在抛物线上求一点E,使ACBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究)，并求出最大

面积及E点的坐标.

(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所

符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由;

【答案】(1),=%2-4%+3

(2)最大面积为多，

o\Z4/

(3)存在，见详解

【分析】(1)把B、C的坐标代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解即口J；

(2)连接CE、BE,经过点E作工轴的垂线FE,交直线BC于点儿设点产(X,-％+3),则点EG,x2-4%+

3),推出£^二一/+3,根据S“8E=S叱"+SA8EF=TE"・0B

代人求出即可.

(3)先求出。、P的坐标，由勾股定理可求PC的值，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；

【详解】(1)解：二•直线y=-工+3与％轴、y轴分别交于点8、点C,

・・・B(3,0),C(0,3),

1

A(n，解得?二；,

l0=9+3b+clc=3

工抛物线解析式为y=/-4%+3；

(2)当0<%<3时，在此抛物线上任取一点E,连接CE、BE,过点E作x轴的垂线FE,交直线BC于点F,

设点尸(%,-x+3),则点E(x,X2-4X+3),

：.EF=-x2+3x,

1•SACBE=S^CEF+SABEF=yE尸"。8=~2x22X=—5(X—5).+

•・・a=-|<0,0<x<3,

*,•当无=：时，S.C8E有最大值乌，此时，y=X2-4x+3=-,

zoq

・•・Eg-富

(3)Vy=x2-4x+3=(x—2)—1,

・••对称轴为直线％=2,顶点坐标为P(2,-1),

：・CP=V(2-0)2+(-l-3)2=2V5,

设点M的坐标为(2,m),则PM=|m+l|,CM=74+(m-3)2,若CP=PM=2次,

则|m+l|=2倔

Am=-1±2遍，

・••点M(2,-1-2遥)或(2,-1+2遥)；

若CP=CM=26,则J4+(m-3尸=2通,

m=7,

，点M(2,7)；

若PM=CM,如图，过点C作CH1PM于H,

甲

・""=2,PH=4,

••'CH?+HM?=CM2,

：.4+HM2=（4-，M）2,

2

，点M（2,g,

，满足条件的点M分别为Mi（2,7）,M2（2,-l-2V5）,M3（2,1）,M4（2,-1+2通）.

【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，等腰三角形性质，用待定系数法求二次函数的

解析式，三角形的面积等知识点的应用，综合性比较强.

【变式1-11（2023春•广西贵港•九色级统考期末）如图,抛物线y=ax2+3x+c（aL0）与4轴交于点力（一2,0）

・・・6(8,0),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

解得仁,

.*.>•=—x+8>

设P(t,—g/+3t+8),则G(t,-1+8),

：22

,PG=--2t+3t+8+2t-8=--t+4t,

:・SKBP=1x8x(-1t2+4t)=-2t2+16t=-2(t-4)2+32,

・•・当t=4时，ABCP的面积有最大值，最大值为32；

(3)①存在点M,使得aBEM为等腰三角形，理由如下：

・•・抛物线的对称轴为直线％=3,

，E(3,5),设M(3,m),

；・BE=5V2,BM=Vzs+m2,EM=\m-5|,

当BE=8M时，5\/2=V25+m2,

解得m=5(舍)或m=-5,

・・・M(3,-5)；

当BE=EM时，5V2=|m-5|,

解得m=5V2+5或m=-572+5,

••・A，（3,5企+5）或（3,-5加+5）；

当8M=EM时，V25+m2=|m-5|,

解得m=0,

・・・M(3,0)；

综上所述：M点坐标为(3,0)或(3,-5)或(3,5企+5)或(3,-5a+5)；

【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合一面积问题以及特殊三角

形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.

【变式1-21(2023春•山西晋城•九七级校考期末)如图1,抛物线y=Q/+"+3与x轴交于4(-1,0),8(4,0)

两点，与y轴交于点C,顶点为。.点P是直线3C上方抛物线上的一个动点，过点夕作PE_Lx轴于点£,

交直线BC于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求线段PQ的最大值：

(3)如图2,过点户作工轴的平行线交)，轴于点M,连接QM.是否存在点P,使得为等腰三角形？若

存在，请直接写出点〃的横坐标：若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-；/+：%+3

44

(2)3

(3)存在一点P,当点尸的横坐标为［时，为等腰三角形

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

⑵先求出点C的坐标，进而求出直线BC的解析式，设P(m,-泞2+,+3),则Q(m,-：?n+3),

则PQ=V(m-2)2+3,由此屏可求出答案;

(3)先证明PQ_LPM,则当△PQM为等腰三角形，只存在PM=RQ这一种情况，设P(n,-；n2+^n+3),

则Q(〃，一:九十3),则一：小+371="，解方程即可.

【详解】(1)解：把力(一L0),8(4,0)代入、=。/+/比+3中得：

116a+4o4-3=0

3

a=-一

・4

,9,

•••抛物线解析式为y=一:/+3；

44

(2)解：设直线8C的解析式为y=kx+瓦，

在y=一：X2+：%+3中，当％=0时，y=3,

AC(0,3),

杷。(0,3),8(4,0)代入y=依+瓦中得,A：々1°.

33

.k=--

..4，

瓦二3

，直线BC的解析式为y=~^x+3,

设P(m,-3巾2+(巾+3),则Q(m,—^m+3),

；・PQ=~^m2+(m+3-1m+3)

393

=--m.29+-m+3+-m—3

444

32-

=+3m

4

=-^(m-2)2+3,

V--4<0,

・••当m=2时，PQ有最大值，最大值为3；

(3)解：・・・PQ_Lx轴，PM||万轴，

：.PQ1PM,

・•・当4PQM为等腰三角形，只存在PM=PQ这一种情况，

设P(n,-^n2+4-3),则Q(n,-1九+3),

同理可得PQ=—+3n.

又*：PM=n,

/.--n24-3n=n,

4

解得九=g或几=0，

，存在一点P,当点〃的横坐标为g时，APQM为等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定

义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键.

【变式1-31（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1,抛物线），=加+汝+2（"0）交x轴于点A（-I,0）,点、B

（4,0）,交），轴于点C.连接8C,过点4作交抛物线于点。（异于点4）.

（1）求抛物线的表达式；

12）点P是直线8C上方抛物线上一动点，过点P作尸£〃），轴，交AD于点E,过点E作EG_L8C于点

G,连接FG.求△PEG面积的最大值及此时点F的坐标；

■3）如图2,将抛物线严加+必+2（g0）水平向右平移汐单位，得到新抛物线v，在巾的对称轴上确

定一点M,使得是以BZ）为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中

一个点的坐标，写出求解过程.

图1图2

【分析】（I）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；

（2）过点G作GH±PE于H,根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，ZACB=90°,则AC±BC,

由EG_LBC得AC=BG,根据等角的余角相等得NACO=NGEH,证明△ACO出△GEH,可得GH=AO=

1，用待定系数法求出直线此为丫=一夕+2,根据AD〃BC得直线人口为丫=

则E(m,一41一鼻，从而得PE=-：m2+2m+：,即可求出△PEG面积为！PE・GH=-2m2+m+3根据二

2222244

次函数性质即得答案.

(3)求出点D的坐标D(5,-3),设点M的坐标为(3,t),可得BD2=(5-4)2+32=10,BM2=(4

-3)2+t2=l+t2,MD2=(5-3)2+(t+3)2=t2+6t+13,分两种情况：①当BD=BM时，②当BD=MD

时，根据等腰三角形的性质即可求解.

【解答】解：(1)把A(-1,U),B(4,U)代入抛物线y=ax2+bx+2得:

普黑雷=。,解得a=

b=

••・抛物线的函数表达式为y=-；x2+|x+2：

(2)过点G作GH_LPE于H,

AC(0,2),

VA(-1,0),B(4,0),

AAB=5,AC=Vl2+22=V5,BC=V42+22=25/5,

/.AB2=AC2+BC2,

••.△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

AAC±BC,

VADZ/BC,EG±BC,

/.AC=BG=V5,

•・・PE〃y轴,

AZOCG=ZEFG,

VZACO+ZOCG=90°,ZGEH+ZEFG=90°,

.•.ZACO=ZGEH,

VZAOC=ZGHE=90°,

AAACO^AGEH(AAS),

.\GH=AO=L

设直线8€：为丫=1^+11,将C(0,2),B(4,0)代入得：

此2n=0,解得忙j，

・・•苴线BC为y=—gx+2,

VAD/7BC,A(-1,0),

.,•直线AD为y=-%-3

设P(m,--m2+-m+2),则E(m,--m--),

2222

PE=--2m22+2m+-,

•••△PEG面积为;PE・GH=--m2+m+-=-i(m-2)2+p

24444

Am=2时，△PEG面积的最大值为：，

此时点P的坐标为(2,3)；

(3)•・•抛物线y=-1x2+1x+2=-；(x—)2+言水平向右平移泠单位，得到新抛物线yl=-1(x-3)2+曾

ZZZ28Z2o

，yl的对称轴为x=3,

联立直线AD为抛物线y=_]2+]+2,解得‘二或[二]3，

AD(5,-3),

设点M的坐标为(3,t),

・・・BD2=(5-4)2+32=10,

BM2=(4-3)2+t2=l+t2,

MD2=(5-3)2+(t+3)2=t2+6t+13,

①当BD=BM时，

Al+t2=10,

•**t—±3,

・••点M的坐标为（3,3）或（3,-3）,

,:点、（3,3）与B,D共线，

・••点M的坐标为（3,-3）；

ABD2=MD2,

At2+6t+13=10,

At=-3±V6,

・••点M的坐标为（3,-3+连）或（3,-3-V6）；

综上所述，点M的坐标为（3,-3）或（3,-3+限）或（3,-3-V6）.

【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】

【例2】（2023春・四川广安.九年级校考期中）如图，已知抛物线、=。％2+加+（;（。。0）经过点力（_3,2）,

（2）试在线段下方的抛物线上求一点£,使得△//）£1的面积最大，并求出最大面积：

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点尸，使得AAO"是直角三角形？如果存在，求点尸的坐标；如果不存

在，请说明理由.

【答案】（l）y=：x2-3%-2.

（2）E（1,-2》△力DE的面积S有最大值10（

⑶存在，点尸的坐标为尸6,13）或G，-7）或G，?）或G，-?）.

/4乙，44

【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解；

（2）运用待定系数法，确定直线4D解析式为、=-：工+：，联立二次函数解析式，求解得。（5,-2）,过点E

作EF1%轴，交AD于点G,设E（7n,：7n2——2）,△AOE的面积：,EG.（x。—%斗）=一jm?+令九+10=

一家m—1尸+10会根据二次函数性质求得△ADE的面积有最大值10泉F（l,-2|）.

⑶存在.设点尸6,孔），则力尸？=02―4九+詈；DF2=n2+4n+AD2=80；分情况讨论：①若/兄4。=

90%②若NFZM=90。，③若NOB4=90。，根据勾股定理，建立方程求解得点尸的坐标.

【详解】（1）解：由题意，

•12zs「

..>■=-6x--6x-2.

(2)解：设直线AD的解析式为y=kx+p(kHO),则

・•・直线4）解析式为y=—+也

联立直线与抛物线解析式，得

过点£作EFJ.%轴，交AD于点G,

设E(m,：77i2—-2),G(m,—：7n+3，则EG=(―[TH+3_Cm?一_2)=_：7n2+=m+：

66222266632

△4DE的面积S=^EG•(xD—xA)=3乂(-*/+3血+｝乂(5+3)=-|m2+gm+io

,S=号/+刎+io=-I)2+io|

・•・当m=l时，-3vm<5,△的面积有最大值10/

2

此时，-6m—~6m-23=-2-,

设点F(|,“)，则

AF2=(-3-1)2+(2-n)2=n2-4n+子;

DF2=(5—1)2+(—2—n)2=n2+4n+?；

AD2=(-3-5)2+(2—(-2))2=80；

①若4FAO=90。，则。尸2=4。2+力尸2,

.*.n2+4n+-=804-n2-4n4--,解得，n=13

44

.才6，13）：

②若"DA=90°,则4户=DF2+AD2f

.*.n2—4n+—=80+n2+4n4--,解得，n=-7

44

③若产力=90°,则力。2=DF2+力/2,

+i++80,

综上，点尸的坐标为尸（右13）或C，-7）或或©，一"）.

【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质;

根据勾股定理建立方程是解题的美键.

【变式2-1］（2023春•辽宁盘锦・九年级校考期中）如图，已知直线y=x+3与％轴交于点4与y轴交于点B,

抛物线y=-x2+"+c经过4、B两点,与X轴交于另一个点C,对称轴与直线交于点E,抛物线顶点为D.

⑴求抛物线的解析式；

⑵在第三象限内，尸为抛物线上一点，以4、E、尸为顶点的三角形面积为3,求点尸的横坐标；

（3）点尸是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由.

【答案】（l）y=-x2-2x+3

⑵空

（3）存在，（一15）和（一1，一|）

【分析】（1）先由直线4B的解析式为y=x+3,求出它与工轴的交点A,与y轴的交点8的坐标，再将A,B两

点坐标代入y=-x2+bx+c,再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设第三象限内的点打的坐标为（tn,-/十2租+3）,运用配方法求出抛物线的对称釉和顶点。的坐标，再

设抛物线的对称轴与无轴交于点G,连接FG,再根据SMEF=S^AEG+SAAFG-SAEFG=3,列出关于7几的方程,

解方程求出m的值，进而得出点F的坐标：

（3）设点P坐标为（-1,九），先由5,C两点坐标运用勾股定理求出BC,再分两种情况讨论：①若ZP8C=9O。,

根据勾股定理列出关于n的方程，求出几值，得出P点坐标；②若/BCP=90。，同①可求出对应的P点坐标，

进而得出结果.

【详解】(1)•.・y=X+3与％轴的交点4,与y轴的交点8的坐标,

二当y=0时,x=-3,即点A的坐标为(-3,0),

当大=0时，y=3,即点B的坐标为(0,3),

将4(-3,0),B(0,3)代入y=-/+6%+c,

得"。=。，

.\b=-2

"(c=3

••・抛物线的解析式为y=-X2-2X+3

(2)如图1,设第三象限内的点F的坐标为(m,-巾2-2血+3),

图1

则n<0,—m2—2m+3<0.

vy=-x2-2%+3=-(%+l)2+4,

•••对称轴为直线x=-1，顶点。的坐标为(-1,4),

设抛物线的对称轴与轴交于点G,连接FG,则G(-1,0),AG=2.

•••直线A8的解析式为y=x+3,

.•.当X=-l时，y=-l+3=2,

E点坐标为(-1,2).

SMEF=SMEG+SMFG~

111

=~^2X2+—x2x(ni2+27n-3)——x2x(—1—TH)

4/)4

=n24-3m

.•.以4、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3?n=3,

解得：机】=三①，血2=带包(舍去)，

当利=寿更时.

—m2—2m+3

=-zu2-3m+m+3

=-3+TH+3

=m

二2

•・•点尸的坐标为(二^,三四)：

(3)设点P坐标为(一1,71),

•••8(0,3),C(l,0)

:.BC2=12+32=10

分两种情况

则PB?+BC2=PC2,即(0+I)2+(n-3)2+10=(1+I)2+(n-0)2,

8

•••n=

•・•点P的坐标为(T,J;

②如图3,

图3

若iBCP=90。，

则8c2+pc2=PB2,即104-(1+l)2+(n-0)2=(0+l)2+(n-3)2

2

A?l=-一

3

••・点P的坐标为(一1,一5

综上所述，尸点坐标为(一1,J或(-L一|).

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型，运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图像二的点的坐标

特征，抛物线的顶点坐标和三角形面积的求法，直角三角形性质和勾股定理，其中利用面积的和差表示出

S-EF和分类讨论是解本题的关键•

【变式2-21(2023春・广东梅州•九年级校考期中)己知二次函数y=x2+bx+c的图象经过火一2,5),8(-1,0),

与工轴交于点C

⑴求这个二次函数的解析式；

(2)点P直线为C下方抛物线上的一动点，求4面积的最大值；

(3)在抛物线对称轴上是否存在点Q,使AACQ是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请

说明理由.

【答案】(I)二次函数的解析式为，二无2一2工一3

⑵品"=v

(3)存在,QI(1,8),Q2(1,-2)©3(L6),QK1，T)

【分析】⑴直接把点力(-2,5),8(-1,0)代入、=%2+以+以求出反(:的值即可得出抛物线的解析式；

(2)先求出点C的坐标，根据S“AC=：PE(%C-XA)；得出SA/MC=-J%2+3%+15,进而根据二次函数的

性质，即可求解.

(3)设点Q的坐标为(l,y),然后分三种情况讨论：①乙QAC=90。；②，QC4=90。：③乙CQA=90。.由勾

股定理得到关于y的方程，解方程求出y的值即可.

【详解】(1)解：将4(一2,5),8(-1,0)代入丫=/+.+。

省(4-2b+c=5

皿l-b+c=0

解叱二二；

・•・二次函数的解析式为尸/一2%-3

(2)将y=0代入y=%2—2x—3得％2—2x—3=0,解得与=—l,x2=3

・••点C(3,0)

•••点P直线AC下方抛物线上的一匆点，过点P作PElx轴交AC于点£如图所示:

则SA/MC=：PE(%C-4)

由4(-2,5),C(3,0)得直线4c的解析式为：y=-x+3

・••设P(X,--2X-3),则点£。,一%+3)

•*-^c-xA=3-(-2)=5

22

PE=yE-yP=(-x+3)-(x-2x-3)=-x+x+6

22

,SAPAC=^PE{XC-XA)=1(-X+x+6)x5=-|x+|x+15

..b51

.x=—=—y-=

2a2x(啜2

将x=之代入SMAC=—；/+|x+15可得最大面积为SNAC=殍；

4//o

(3)解：存在，Qi(1,8),Q2(l,-2),Q3(1，6)，＜241，-1)

,:y=x2-2%-3=(%-l)2-4,

•••对称轴是直线x=1.

•••A(-2,5),C(3,0),

•••AC2=(3+2)2+(0-5)2=50.

设点Q的坐标为(l,y),分三种情况：

①如果ZQ4C=90°,那么。力2+AC2=QC2t

则(1+2)2+(y—5)2+50=(1-3)2+(y—0)2,解得y=8,

所以点Q的坐标为(1,8)：

②如果“C4=90。,那么QC2=Q42,

则(1-3)2+(y—0)2+50=(1+2)2+(y—5)2,解得y=-2.

所以点Q的坐标为(1,-2)：

③如果々CQ4=90。，那么＜242=402,

则(1-3)2+(y-0)24-(1+2)2+(y—5)2=50,解得y=-1或6,

所以点Q的坐标为Q(1,—1)或(？(1,6).

综上所述，所求点Q的坐标为Qi(l,8),(22(1，-2),Q3(l，6)，＜?式1,一1)・

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，主要利用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形

的面积，二次函数的性质，勾股定理等知识.熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【变式2-3](2023春•甘肃金昌•九年级统考期中)平面直角坐标系中，抛物线y=Q(X-1)2+3与％轴交于

A,8(4,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点4。的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使ABCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在,

请说明理由：

(3)如图，点M是直线8C上的一个动点，连接AM,OM,是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点

M的坐标，若不存在，请说明理由；

【答案］(19=一9(%—1)2+£*—2,0),C(0,4)

(2)存在，尸(1,5),(1,-3),(1.2+V7),(1,2-V7)

(3)存在,M(一当)

【分析】(1)将8(4,0)代入y=Q(x—1)2+(待定系数法求解析式，进而分别令％y=0,解方程即可求

解；

(2)根据题意y=-1(x-1)2+£对称轴为宜线％=1,设P(l,〃)，根据勾股定理=42+42=32,BP2=

(4-l)z+n2,PC2=l2+(4-n)2,分①当48cp=90°时，②当上C8P=90°时，③当乙BPC=90°时，根

据勾股定理建立方程，解方程即可求解；

(3)存在点M使力M+OM最小，作0点关于BC的对称点Q,连接力Q交BC于点M,连接8Q,求得直线4Q的

解析式y=+$直线BC的解析式为y=-x+4,联立方程即可求解.

【详解】(1)解：将B(4,0)代入y=Q(x-1)2+(

即0=9a+£解得：a=

•,*>"=一：(%-I)?+'

令x=0,则、=一3+：=4,

令y=0,则一-+g=0,

解得:%i=4,x2=-2,

>4(-2,0),C(0,4)

(2)解：存在点P,使aBCP是直角三角形，

Vy=-1(x—I)2+p对称轴为直线x=l,

设P(l,n),

VB(4,0),C(0,4),

：,BC2=42+42=32,BP2=(4-l)2+n2,PC2=l2+(4-n)2

①当乙BCP=90。时，BP2=BC2PC2,

.*.(4-I)2+n2=32+l2+(4-n)2

解得：n=5

②当/CBP=90。时，PC2=BC2BP2,

I2+(4—n)2=(4—l)2+n2+32

解得：n=-3

③当NBPC=90。时，BC2=BP2+PC2,

32=(4-I)2+n2+l2+(4-n)2

解得：n=2-夕或九=2+V7.

综上所述：P(l，5),(1,-3),(1,2+夕)，(1,2-V7)

(3)存在点M使力M+OM最小，理由如下：

作0点关于BC的对称点Q,连接AQ交凤:于点M,连接8Q,

由对称性可知，OM=QM,

•••AM+OM=AM+QM>AQ,

当W、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值,

•••8(4,0),C(0,4),

•••OB=OC,

A/.CBO=45°,

由对称性可知NQBM=45。，

BQ1BO,

；.Q(4,4),

设直线AQ的解析式为y=kx+b,

.(-2k+b=0

i4k+b=4'

解斛k=-3

b=-

3

直线力Q的解析式y=|x+p

设直线8c的解析式为y=mx+4.

4m+4=0,

:.m=—1,

二直线BC的解析式为y=—%+4»

(y=-x+4

联立方程组2.4

y=/+5

解得《

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题,

熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】

【例3】(2023春・山西阳泉•九年级统考期末)综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=Q%2+.一2与

x轴交于点力(一1,0)和点8(4,0),与y轴交于点C,过动点0(0,m)作平行于％轴的直线!，直线，与勉物线y=

a"+b%-2相交于点E,F.

(备用图)

(1)求抛物线的表达式；

(2)求m的取值范围；

(3)直线L上是否存在一点P,使得A8CP是以8c为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在,

请说明理由.

【答案】(1)、=；%2一|%一2：

(2)771>

8

(3)存在,2或4.

【分析】(1)把点4(一1,0)和点B(4,0)代入y=a/+.一2,求解即可；

(2)将抛物线解析式化成顶点式，求得y的最小值为-算.由直线Z与抛物线有两个交点，即可得出m>-§；

o8

(3)分两种情况：①当"CP=90。，83=PC时,②如图,当“BP=90。,BC=8P时,分别求解即可.

【详解】(1)解：•・•抛物线、=aM+b%-2经过点力(一1,0)和点3(4,0),

.a-b-2=0,

・116。+4b-2=0.

("二

解得12

[b=-l

・•・抛物线的表达式为y=1X2-1Z-2.

(2)解:y=；x2-；x-2=

•••N的最小值为—号.

o

;直线l与抛物线有两个交点，

.*.771>——.

8

(3)解：存在.

当x=0时，y=1x2-1x-2=-2.

•••点C的坐标为(0,-2).

①3图，当乙BCP=90。，BC=PC时，过点。作PG1y轴于G,

：.LB0C=Z.CGP=90°.

•:乙BC0+Z.PCG=90°,Z.GPC+Z.PCG=90°,

:.乙BC0=乙CPG.

••ABCO—△CPG.

:・CG=BO=4.

•：C0=2,

，仇=OG=4—2=2.

延长PC至P'使得CP'=CP,此时△BCP'也是等腰直角三角形.

易得,此时巾二一6.（不合题意，舍去）

②如图，当NC8P=90。，8C=BP时，过点P作尸M_Lx轴于M,

VzBOC=Z.BMP=90°,乙BCO+乙OBC=90°,/.PBM4-Z.OBC=90°,

：.LBCO=乙PBM.

***ABCO=△PBM.

：.PM=8。=4.

An=PM=4.

延长PB,使得BP=8P,此时△BCP'也是等腰直角三角形.

同理可得，m=-4.（不合题意，舍去）

综上所述，直线，上存在一点P,使得4BCP是以8C为直角边的等腰直角三角形.

m的值为2或4.

【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次

函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质，属中考常考试题目，要求学生

熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意（3）问要分类讨论，以免漏解.

【变式3-11（2023春•福建漳州•九年级校考期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点8（1,0）,

与『轴交于点4其对称轴为直线，：x=2,过点力作4ch轴交抛物线于点C,41OB的角平分线交线段AC于

点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO,当m为何值时，四边形40PE面积最大，并求出其最

大值;

⑶如图②，尸是抛物线的对称轴〃二的•点，在抛物线上是否存在点P使aPOF成为以点P为直角顶点的等腰

直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）y=/一4%+3

（2）当机=李时，四边形力OPE面积最大，最大值为孩

（3）P点的坐标为：匕（争，1）,「2（争，雪），匕（芋，竽），外（雪，子）

【分析】（1）根据对称轴可得％=-/=2,将8（1,0）代入，待定系数法求解析式可得抛物线的解析式:

（2）设P（m,Hi?-4m+3）,根据。E的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOOE

的面积，利用配方法可得其最大值：

（3）存在四种情况：如图3,作鞋助线，构建全等三角形，证明A0MP三△「可「，根据。M=PN列方程可

得点P的坐标：同理可得其他图形中点:P的坐标.

【详解】Q)解：依题意，x==2,

2a

.*.fc=—4a,

，抛物线解析式为y=ax2-4ax+3,

将点8(1,0)代入得Q—4Q+3=0

解得：Q=1,

二抛物线的解析式；y=/—4%+3；

(2)如图2,设P(m,7n2-4?n+3),

x

I

图2

•••砧平分4/。8,Z.AOB=90°,

:.Z.AOE=45°,

•••△40E是等腰直角三角形，

•••AE=OA=3,

.-.£(3,3),

设直线OE的解析式为y=kx,

3=3k,

解得：k=T,

则直线OE的解析式为：y=x,

过P作PGIIy轴，交OE于点G,

:.G(771,771),

•••PG=m-(?n2-4?n+3)=-m2+5?n-3,

A§四边形HOPE=SAA0E+S”0E，

=-x3x3+-PG-AE,

22

=；+|x3x(—m2+5?n—3),

3i15

=~2m2+~,1，

=；(m-1)'+7)

•・・-；vo，

.•.当m=J时，S有最大值是g；

No

(3)如图3,过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交［于N,

图3

•••△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF,

•••AOMP=z.OPF=乙FNP=90°

乙MOP=90°-乙0PM=乙NPF

•••△0MP三〉PNF,

•••0M=PN,

•••P(m,m2-4m4-3),

则一Tn?+4rn.-3=2—m,

解得：m=

・“的坐标为（畔，苧）或（T1-店

2

如图4,过P作MN_LX轴于N,过F作FMJ.MN于M,连接PP.

同理得AON尸三△PMG

PN=FM,

则-W+4m-3=m-2,

解得：x=等或等;

P的坐标为（苧。）或（子1+伤

2

综上所述，点P的坐标是：心（于，），七（宁，手），匕（手，宁），伍（亨，望）・

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元

二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题.

【变式3-2］（2023春・湖南湘西•九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=r+3交x轴于点

B,交y轴于点C,直线力。交工釉于点4,交），轴于点。，交直线于点E（—；,且CO=1.

图1图2

（1）求直线4。解析式；

⑵点。从4点出发沿线段BA方向以1个单位/秒的速度向终点A运动（点P不与A,3两点重合），设点P

的运动时间为人则是否存在/,使得为等腰直角三角形？若存在，请求出I的值，若不存在，请说明

理由;

⑶在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从。点出发沿射线C。方向运动，当点P到达终点时，点Q也

停止运动，连接4Q,PQ,设△4PQ的面积为S,S与/的函数关系式为S=1#2—12t+万(0&'<D

la(t-l)(t-7)(1<t<7)

其图象如图2所示，结合图1、图2的信息，请求出。的值及当△力PQ的面积取得最大值时AQ的长.

【答案】(l)y=%+4

(2)存在t=，吏得△4EP为等腰直角三角形

(3)a=-AQ=V97

【分析】(1)先求出点C的坐标，再根据CO=1求出点。的坐标，再根据点。和点£的坐标利用待定系数

法求解即可；

(2)先求出点A和点8的坐标，得到。4=。。=4,则乙。4。=45。，推出当△4EP为等腰直角三角形时，

只存在/APE=90。或〃"=90。两种情况，当乙4PE=90。时，此时EP1AP,即EP1工轴，当心AEP=90°

时，则点E在线段AP的中垂线上，则此时点A和点尸关于直线％=-：对称，据此求解即可；

(3)将(3,12)代入S=a(C—1)(—7)中即可求出。的值；再根据当1<£V7时，S是关于/的二次函数，

利用二次函数的对称性得到当£=4时，5有最大值，最大值为§，进而求出AP=3,利用三角形面积法求出

OQ=9,即可利用勾股定理求出/1Q=历.

【详解】(1)解：当％=0时，y=-%+3=3,

.•.点C的坐标为(0,3),

*：CD=1,

，点。的坐标为(0,4),

设直线力。的解析式为y=kx+b,

.(--k+b=-

.J22,

(b=4

.仅=1

**U=4，

工直线40的解析式为y=x+4：

(2)解：当、=-％+3=0时，%=3,

・••点4的坐标为(3,0),

当)，="+4=0时，x=-4,

**.71(—4»0),

/.0A=OD=4,

又=90°,

：,LOAD=45°,

・••当4力EP为等腰直角三角形时，只存在/L4PE=90。或/AEP=90。两种情况,

当乙APE=90°时，此时EP1AP,即EP1%轴，

当"EP=90。时，则点E在线段”的中垂线上，

・••此时点A和点P关于直线％=对称，

・••点〃的坐标为(3,0)(舍去，此时点P与点8重合)；

综上所述，存在£=(使得仆AEP为等腰直角三角形；

(3)解：将(3,12)代入5=。«-1)。-7)中得：。(3—1)x(3—7)=12,

•・•当1ct<7时，S=-|(t-l)(t-7),即S此时是关于/的二次函数，

・••由对称性可知，当"子=4时，S有最大值，最大值为一卜(4一1)x(4-7)二1

；・BP=4,

.'.AP=3-(-4)-4=3,

^^APQ=^APOQ,

.《X3OQ号，

：.OQ=9,

：.AQ=yj0Q2+0A2=V97.

【点睛】本题主要考杳了一次函数与几何综合，二次函数的性质，勾股定理等等，正确理解题意并读懂函数

图象是解题的关键.

【变式3-3](2023春・北京通州・九年级统考期末)如图，抛物线以=。/-2%+::的图象与工牯交点为4和

B,与y轴交点为。(0,3),与直线?2=-％-3交点为A和C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)在直线丫2=-％-3上是否存在一点M,使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，

如果不存在请说明理由.

(3)若点E是x轴上一个动点，把点£向下平移4个单位长度得到点R点/向右平移4个单位长度得到点

G,点G向上平移4个单位长度得到点“，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标出

的取值范围.

【答案】(l)y=—/—2x+3

(2)存在,M(-1,-2)或M(l,-4)

⑶-2声-5<<2V2-1

【分析】(1)先求得4(一3,0),然后将4(一3,0),。(0,3)代入丫1=。/-2%+5即可求函数的解析式；

(2)设M(m,rn-3),根据△48M是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；

(3)设点£的横坐标注，分别求出，F(XE,一4),6(益+4,-4),H(&+4,0),当尸点在抛物线上时,

x£=-1+2&或&=-1-2vL当G点在抛物线上时，XE=-5+2直或&=-5-2V2,结合图象可得

-242-5<冷<2或一1时，四边形EFG”与抛物线有公共点.

【详解】(1)解：由y=—x-3得，y=0时，x=-3,

・M(-3,0).

•••抛物线y=