专题12填空题重点出题方向含参方程（组）含参不等式（组）中字母取值及取值范围（解析版）

专题12填空题重点出题方向含参方程（组）含参不等式（组）中字母取值及取值范围

模块一2022中考真题集训

类型一求含参方程（组）的字母取值

1．（2022•巴中）、是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且2﹣2﹣＝4，则k的值为﹣

4．αβααβ

思路引领：2﹣2﹣＝2﹣﹣（+）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关

系，得到关α于k的α一元β一α次方α程，即α可β解得答案．

解：∵、是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，

∴2﹣α+k﹣β1＝0，+＝1，

∴α2﹣2α﹣＝2﹣α﹣β（+）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，

∴kα＝﹣4α，βαααβ

故答案是：﹣4．

总结提升：本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．

2．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是6．

思路引领：将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．

解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，

∴a2+2a﹣3＝0，

∴a2+2a＝3，

∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，

故答案为：6．

总结提升：本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．

222

3．（2022•日照）关于x的一元二次方程2x+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x1+x2，则m

3

=

＝．16

1

−

8222

思路引领：根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2，再由x1+x2变形得到（x1+x2）﹣

�3

==

2216

2x1x2，即可得到4m﹣m，然后解此方程即可．

33

=16=16

解：根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2，

�

=

222

∵x1+x2，

3

=16

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2

∴（x1+x2）﹣2x1x2，

3

=

∴4m2﹣m，16

3

=16

∴m1，m2，

13

∵Δ＝=−168m2﹣8=m＞80，

∴m＞或m＜0，

1

∴m2不合题意，

3

=

故答案8为：．

1

−

82

总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，

�

=−�

x1x2．

�

=

4．（2022•�连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是1．

思路引领：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．

解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，

解得m+n＝1．

故答案为：1．

总结提升：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方

程的解．

5．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．

思路引领：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．

解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝16﹣8m＝0，

解得：m＝2．

∴m＝2．

故答案为：2．

总结提升：本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”

是解题的关键．

22

6．（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x1+2x2﹣1，则k的

�2�1

+=

�1�2

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值为2．

22

思路引领：根据x1、x2是关于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x1

2

﹣2x1+k﹣1＝0，把x1+2x2﹣1变形再整体代入可得4﹣k，解出k的值，并检验即

2

�2�12−2(�−1)

+==

可得k＝2．�1�2�−1

2

解：∵x1、x2是关于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，

2

∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x1﹣2x1+k﹣1＝0，

2

∴x1＝2x1﹣k+1，

2

∵x1+2x2﹣1，

�2�1

+=

�1�2

∴2（x1+x2）﹣k，

2

(�1+�2)−2�1�2

12=

∴��4﹣k，

2

2−2(�−1)

=

解得k�＝−21或k＝5，

当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；

当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；

∴k＝2，

故答案为：2．

总结提升：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得

出x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，从而根据已知得到关于k的方程，注意最后要由求得的k值检验原方程是否

有实数根．

7．（2022•雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为1．

�=1

思路引领：把x与y�的=值2代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．

解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，

�=1

则原式＝�2=（2a+2b）﹣5

＝2×3﹣5

＝6﹣5

＝1．

故答案为：1．

总结提升：此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未

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知数的值．

类型二求含参方程（组）的字母取值范围

8．（2022•徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是c＜．

1

思路引领：根据判别式的意义得到＝12+4c＜0，然后解不等式即可．−4

解：根据题意得Δ＝12+4c＜0，

解得c＜．

1

−

故答案为：4c＜．

1

总结提升：本题−考4查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有

两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．

9．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k

＜2且k≠1．

思路引领：根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）

＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．

解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，

解得k＜2且k≠1，

所以k的取值范围是k＜2且k≠1．

故答案为：k＜2且k≠1．

总结提升：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无

实数根．

10．（2022•辽宁）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k

＞2．

思路引领：根据题意可得Δ＝b2﹣4ac＞0，从而可求得相应的k的范围．

解：∵一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，

即22﹣4×1×（﹣k+3）＞0，

解得：k＞2．

故答案为：k＞2．

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总结提升：本题主要考查根的判别式，解答的关键是是熟记根的判别式：当Δ＞0，方程有两个不相等的

实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．

11．（2022•宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≤1．

思路引领：先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．

解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k

＝4﹣4k．

又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，

∴4﹣4k≥0．

∴k≤1．

故答案为：k≤1．

总结提升：本题考查了根的判别式，掌握“Δ＝b2﹣4ac”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决

本题的关键．

12．（2022•黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是a＜1且a≠0．

11�+�

+=

思路引领：先求整式方程的解，然�后再�+解1不等�式(�组+1即)可，需要注意分式方程的分母不为0．

解：去分母得：x+1+x＝x+a，

解得：x＝a﹣1，

∵分式方程的解为负数，

∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，

∴a＜1且a≠0，

∴a的取值范围是a＜1且a≠0，

故答案为：a＜1且a≠0．

总结提升：本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为0是解题的关键．

13．（2022•威海）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m

＜5．

思路引领：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，代入求解即可．

解：由题意可得，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（m﹣1）＝20﹣4m＞0，

解得m＜5．

故答案为：m＜5．

总结提升：本题考查一元二次方程根的判别式，牢记：根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若一元二次方程

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ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0；若有两个相等的实数根，则Δ＝0，；若无实数根，则Δ

＜0．

类型三求含参不等式（组）的字母取值范围

．（•内蒙古）关于的不等式组无解，则的取值范围是≥．

142022x＜aa2

5−3�≥−1

思路引领：先把a当作已知条件求出各�−不�等式0的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．

解：，

＜

5−3�≥−1①

由①得�−：�x≤20，②

由②得：x＞a，

∵不等式组无解，

∴a≥2，

故答案为：a≥2．

总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小

小大中间找；大大小小解没了．

．（•绵阳）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是＜．

152022x＜0

2�+3≥�+�111

2�+5

思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的�解≤集5可得答案．

3−32−��

解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，

解不等式3＜2﹣x，得：x＜2，

2�+5

−

∵不等式组3无解，

∴m﹣3≥2，

∴m≥5，

∴0＜，

11

≤

故答案�为：50＜．

11

总结提升：本题�考≤查5的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

＜

16．（2022•达州）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是2≤a＜3．

−�+�2

3�−1

思路引领：首先确定不等式组的解集2，先≤利�用+含1a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整

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数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．

＜

解：，

−�+�2①

3�−1

解不等式2①≤得�：+x1＞②a﹣2，

解不等式②得：x≤3，

∴不等式组的解集为：a﹣2＜x≤3，

∵恰有3个整数解，

∴0≤a﹣2＜1，

∴2≤a＜3，

故答案为：2≤a＜3．

总结提升：考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，

同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出

合理的答案．

＜

17．（2022•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜2，则a的取值范围是a≥2．

＜

2�−13

思路引领：不等式组整理后，根据已知解集，利�用−同�小取0小法则判断即可确定出a的范围．

＜

解：不等式组整理得：，

＜

�2

∵不等式组的解集为x＜�2，�

∴a≥2．

故答案为：a≥2．

总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．

18．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次

不等式组的关联方程．若方程﹣＝是关于的不等式组的关联方程，则的取值范围是

x10x＜n

1�−2≤�

1≤n＜3．32�−2�0

思路引领：先解方程﹣＝得＝，再利用新定义得到，然后解的不等式组即可．

x10x3＜n

11≤�

解：解方程x﹣1＝03得x＝3，2�−60

1

∵＝为不3等式组的解，

x3＜

�−2≤�

2�−2�0

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∴，

＜

1≤�

解得2�1−≤6n＜30，

即n的取值范围为：1≤n＜3，

故答案为：1≤n＜3．

总结提升：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，

再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．

模块二2023中考押题预测

19．（2023•沭阳县模拟）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2021﹣2a﹣4b的值为

2023．

思路引领：将x＝1代入原方程，可得出a+2b＝﹣1，再将其代入2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）中，

即可求出结论．

解：将x＝1代入原方程得：1+a+2b＝0，

∴a+2b＝﹣1，

∴2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）＝2021﹣2×（﹣1）＝2023．

故答案为：2023．

总结提升：本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出a+2b是解题的关键．

20．（2023•本溪模拟）如果关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是k且k≠0．

9

思路引领：根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的≤不4等式，解得

即可，同时还应注意二次项系数不能为0．

解：∵关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac≥0且k≠0，

即9﹣4k≥0，

解得k，

9

≤

∴k的取值4范围为k且k≠0．

9

≤

故答案为：k且k≠40．

9

总结提升：本≤题4考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有

两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元

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二次方程的定义．

21．（2022•淮阴区模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根为1，则m＝3．

思路引领：把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0得12﹣m+2＝0，然后解关于m的方程．

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根为1，

∴12﹣m+2＝0，

解得m＝3，

故答案为：3．

总结提升：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方

程的解．

22．（2022•陇西县校级二模）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，则a＝1．

思路引领：把x＝0代入方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0中得：a2﹣1＝0，从而可得：a＝±1，然后再根据

一元二次方程的定义可得a+1≠0，从而可得a≠﹣1，即可解答．

解：把x＝0代入方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0中得：

a2﹣1＝0，

解得：a＝±1，

∵a+1≠0，

∴a≠﹣1，

∴a＝1，

故答案为：1．

总结提升：本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解，以及的

一元二次方程的定义是解题的关键．

23．（2022•峄城区校级模拟）若分式方程有增根，则m的值为﹣1．

���

−4=

思路引领：分式方程去分母转化为整式�方−6程，由分6式−�方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求

出m的值．

解：分式方程的最简公分母为x﹣6，

去分母得：x﹣4（x﹣6）＝﹣mx，

x﹣4x+24＝﹣mx，

x，

24

=3−�

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由分式方程有增根，得到x﹣6＝0，

解得：x＝6，

则m＝﹣1，

故答案为：﹣1．

总结提升：本题考查了分式方程的增根，掌握增根的确定步骤是关键．

24．（2022•海州区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取

值范围为m＜．

9

思路引领：根据一4元二次方程根的判别式可知Δ＞0，解不等式即可求解．

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，

即9﹣4m＞0．

解得m＜．

9

故答案为：4m＜．

9

总结提升：本题4考查了根的判别式，解决本题的关键是得出Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．

25．（2022•湘潭县校级模拟）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为4．

思路引领：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即

�

可得出结论．−�

解：设方程的另一个根为m，

根据题意得：﹣1+m＝3，

解得：m＝4．

故答案为：4．

总结提升：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键．

�

26．（2022•香洲区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2﹣3x−+2�＝0有两个实数根，那么a的取值范围是

a且a≠0．

9

思≤路8引领：先根据关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2＝0有实数根得出Δ≥0，a≠0，求出a的取值范围

即可．

解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2＝0有实数根，

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∴Δ＝9﹣4a×2≥0且a≠0，

解得a且a≠0．

9

≤

故答案为8：a且a≠0．

9

总结提升：本≤题8考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关

系是解答此题的关键．

27．（2022•江都区校级模拟）在平面直角坐标系中，若点P（2﹣m，m﹣6）在第三象限，则整数m的值为

3或4或5．

思路引领：根据第三象限横纵坐标都为负，确定出m的范围，进而确定出整数m的值即可．

解：∵在平面直角坐标系中，若点M（2﹣m，m﹣6）在第三象限，

＜

∴，

＜

2−�0

解得�：−2＜6m0＜6，

则整数m的值为3或4或5．

故答案为：3或4或5．

总结提升：此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，以及点的坐标，熟练掌握第

三象限点的坐标特征是解本题的关键．

28．（2022•香洲区校级三模）关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则

k的取值范围是k＞且k≠0．

1

思路引领：利用一元二−次4方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k•（k﹣2）＞0，

然后求出两个不等式的公共部分即可．

解：根据题意得k≠0且Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k•（k﹣2）＞0，

解得k＞且k≠0．

1

−

故答案为：4k＞且k≠0．

1

总结提升：本题−考4查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无

实数根．

29．（2022•巴州区校级模拟）若关于x的一元二次方程2x2﹣mx+2＝0有两个相等的实数根，则m的值为±

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4．

思路引领：根据“关于x的一元二次方程2x2﹣mx+2＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，

得到关于m的一元一次方程，解之即可．

解：根据题意得：

Δ＝（﹣m）2﹣4×2×2＝0，

整理得：m2﹣16＝0，

解得：m＝±4，

故答案为：±4．

总结提升：本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．

＞

30．（2022•柘城县校级三模）已知关于x不等式组，其中实数a在数轴上对应的点是如图所示的

＜

5−2�3

点A，则不等式组的解集为x＜1．�−�0

思路引领：根据题意可得：a＞1，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．

解：由题意得：a＞1，

＞

，

＜

5−2�3①

解�不−等�式0①②得：x＜1，

解不等式②得：x＜a，

∴原不等式组的解集为：x＜1，

故答案为：x＜1．

总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式

组的步骤是解题的关键．

31．（2022•新化县模拟）设a，b分别是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是2022．

思路引领：根据题意得a2+a﹣2023＝0，即a2+a＝2023，利用根与系数的关系得到a+b＝﹣1，代入整理

后的代数式求值．

解：a，b分别是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，

∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2023＝0，

∴a2+a＝2023，

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故a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2023﹣1＝2022．

故答案为：2022．

总结提升：此题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的

根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2．

��

32．（2022•峄城区校级模拟）已=知−不�等式3=x﹣�m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，则m的取值范围是﹣

1＜m≤0．

思路引领：解不等式得x＞﹣4﹣m，由于只有三个负整数解，故可判断﹣4﹣m的取值范围，再解不等式

组求出m的取值范围．

解：去括号，得：3x﹣m＜4x+4，

移项，得：3x﹣4x＜4+m，

合并同类项，得：﹣x＜4+m，

系数化为1，得：x＞﹣4﹣m，

∵不等式的负整数解只有三个，

∴﹣4≤﹣4﹣m＜﹣3，

解得：﹣1＜m≤0．

故答案为：﹣1＜m≤0．

总结提升：本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出负整数是解答本题的关键．解不

等式应根据不等式的基本性质．

33．（2022•碑林区校级模拟）若方程（a﹣1）x2x＝1是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是a

≥0且a≠1．+�

思路引领：根据一元二次方程的定义得到a﹣1≠0；由二次根式的被开方数是非负数得到a≥0．

解：∵方程（a﹣1）x2x＝1是关于x的一元二次方程，

∴a≥0且a﹣1≠0，+�

解得a≥0且a≠1．

故答案是：a≥0且a≠1．

总结提升：本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不为0，且二次根式的被开方

数大于等于0．

34．（2022•峄城区校级模拟）若方程x2﹣4＝0的正数根也是关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程

x2+mx+6＝0的另一个根为3．

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思路引领：先求出方程2x﹣4＝0的解，再设方程的另一根为x1，可将该方程的已知根2和设的根一起代

入两根之积公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根．

解：x2﹣4＝0，

解得：x＝±2，

设方程的另一根为x1，

又∵x2＝2，

根据根与系数的关系可得x1•x2＝x1×2＝6，

∴x1＝3．

故答案为：3．

总结提升：本题主要考查了根与系数的关系，一元一次方程的解，此题也可将求出的x＝2代入方程

x2+mx+6＝0中求出m的值，再解方程求方程的另一根．

35．（2022•天河区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值

范围是k＜2．

思路引领：根据根的判别式即可求出答案．

解：由题意可知：Δ＝4﹣4（2k﹣3）＞0，

∴k＜2，

故答案为：k＜2．

总结提升：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有

两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．

36．（2022•嘉峪关一模）关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是且a≠0．

1

思路引领：由方程是一元二次方程得出a≠0，再由方程有实数根得出Δ＝b2﹣4ac≥0，�即≤可4得出结论．

解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，

∴a≠0，Δ＝1﹣4×a×1≥0，

∴且a≠0，

1

�≤

故答案4为：且a≠0．

1

总结提升：�此≤题4主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，利用根的判别式建立不等式是解本题的

关键，注意不要漏掉a≠0的情况．

37．（2022•武江区校级二模）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2021．

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思路引领：先根据一元二次方程的解的定义得到a2＝﹣a+2022，则a2+2a+b＝a+b+2022，然后根据根与

系数的关系得到a+b＝﹣1，再利用整体代入的方法计算．

解：a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，

∴a2+a﹣2022＝0，

∴a2＝﹣a+2022，

∴a2+2a+b＝a+b+2022，

∵，

1

∴a�2+2�a+=b−＝1a+=b−+21022＝2021，

故答案为：2021．

总结提升：本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关

系是解题的关键．

38．（2022•泸县校级一模）已知，是方程x2+2x﹣2022＝0的实数根，求2++2的值为0．

思路引领：由已知中，是方α程βx2+2x﹣2022＝0的两个实数根，结合根α与系αβ数的α关系转化求解即可．

解：，是方程x2+2αx﹣β2022＝0的两个实数根，

可得α+β＝﹣2，＝﹣2022，2++2＝（+）+2＝﹣2+2＝0．

所以α2+β+2的α值β为0．ααβαααβααα

故答案α为α：β0．α

总结提升：本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若，是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）

的两根时，，．αβ

��

�+�=−��=2

39．（2022•海陵区校级三�模）关于�x的一元二次方程x﹣2mx﹣4＝0的两根是x1、x2，若x1+x2＝x1x2，则m

的值等于﹣2．

思路引领：先根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝﹣4，则2m＝4，然后解方程即可．

解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝﹣4，

∵x1+x2＝x1x2，

∴2m＝﹣4，

解得m＝﹣2．

故答案为：﹣2．

2

总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，

�

=−�

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x1x2．

�

=�＞

40．（2022•呼和浩特模拟）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是7

2�+312

≤a＜8．�−�≤0

＞

思路引领：先解出不等式组的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到a的取值

2�+312

范围．�−�≤0

＞

解：，

2�+312①

解不等式，得：＞，

�−①�≤0②x4.5

解不等式②，得：x≤a，

＞

∵关于x的不等式组恰有3个整数解，

2�+312

∴这三个整数解是5，�6−，�7，≤0

∴7≤a＜8，

故答案为：7≤a＜8．

总结提升：本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

2

41．（2022•景德镇模拟）已知x1，x2是一元二次方程x+bx+4＝0的两根，且x1﹣x1x2+x2＝2，则b＝﹣

6．

思路引领：利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣b，x1x2＝4，结合x1﹣x1x2+x2＝2，即可求出b的值．

2

解：∵x1，x2是一元二次方程x+bx+4＝0的两根，

∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝4，

又∵x1﹣x1x2+x2＝2，即﹣b﹣4＝2，

解得：b＝﹣6，

∴b的值为﹣6．

故答案为：﹣6．

总结提升：本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

��

−

22��

42．（2022•宁南县模拟）方程x﹣2（m+1）x+m＝0的两个根分别为x1，x2，当m满足时，

22

112

有最小值．−2�+�−

1222

�思�路引领：利用根与系数的关系求出两根之和和两根之积，再把x1+x2﹣x1x2配方即可求出当m满足何

22

条件时，x1+x2﹣x1x2有最小值．

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22

解：∵方程x﹣2（m+1）x+m＝0的两个根分别为x1、x2，

2

∴x1+x2＝2（m+1），x1•x2＝m，

222

∵x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣3x1x2，

∴4（m+1）2﹣3m2＝（m+4）2﹣12，

22

∵x﹣2（m+1）x+m＝0的两个根分别为x1、x2，

∴Δ＝4（m+1）2﹣4m2≥0，

∴m，

1

∴当≥m−+24＝0即m＝﹣4时，代入原方程无解．

∴当m时，有最小值；

1

=−

故答案为：2．

1

−

总结提升：本题2考查了根与系数的关系，若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程

2

ax+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．

����

=−=2=−=

43．（2022•赫章县模拟）已知实数a是一元二�次方程x�﹣2022x+1＝0的一实�数根，则代数式�

2

�−2021�−

的值为﹣1．

2

�+1

思20路22引领：把x＝a代入方程，推出a2﹣2022a＝﹣1，a2+1＝2022a，然后整体代入所求的代数式求值即

可．

解：∵实数a是一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的一实数根，

∴a2﹣2022a+1＝0．

∴a2﹣2022a＝﹣1，a2+1＝2022a．

∴

2

2�+1

�−2021�−

＝a2﹣2022a+a2022

2022�

＝﹣1+a﹣a−2022

＝﹣1．

故答案为：﹣1．

总结提升：本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．

＞

44．（2022•金凤区校级二模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围m≤3．

＜

�−�2

�−2�−1

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思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于m的取值范围，继而可得答案．

解：由x﹣m＞2，得：x＞m+2，

由x﹣2m＜﹣1，得：x＜2m﹣1，

∵不等式组无解，

∴m+2≥2m﹣1，

解得m≤3，

故答案为：m≤3．

总结提升：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

45．（2022•章丘区模拟）当m≤8且m≠7时，分式方程的解是非负数．

7�

−1=

思路引领：表示出分式方程的解，由分式方程的解为非负�数−确1定出m�的−范1围即可．

解：去分母得：7﹣（x﹣1）＝m，

解得：x＝8﹣m，

∵分式方程的解为非负数，且8﹣m≠1，

∴8﹣m≥0且m≠7，

解得：m≤8且m≠7．

故答案为：≤8且m≠7．

总结提升：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，始终注意分母不为0这个条件．

46．（2022•南岗区校级模拟）已知一元二次方程（k﹣3）x2﹣（k﹣3）x0有两个相等的实数根，则k

1

的值是4．+4=

思路引领：由关于一元二次方程（k﹣3）x2﹣（k﹣3）x0有两个相等的实数根，即可得根的判别式