期末专题复习：最值问题（七大类型）（解析版）

几何最值问题七大类型一、类型一：垂线段最短方法思路：过直线外一点，到已知直线垂线段最短1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为．【答案】2【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于DC＝2，∴PD的最小值为2．故答案为2．2．在中，，，点D是上一点，将点B绕点D逆时针旋转得到点，连接，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【详解】解：如图，由旋转可得：，，∴是等边三角形，∴，即的最小值即为的最小值，当时，最小，即最小，过点A作，∵，，∴，∴，∵，即，则，∴，故选C．

3．如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【详解】解：连接，由题意，，，∴垂直平分，即，∵，∴，∴点P在与成的射线上，故当时，最小，如图，则，∴，由勾股定理得，∴，则，即的最小值是，故选：C．4．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为．【答案】【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接，∵平分，，∴，同理可得：，∴，∵，∴平分，即点C在的平分线上，∴，∵，∴，如图，作于，则，即的最小值为，此时点C与重合，∴，∴，∴当线段取最小值时，的度数为，故答案为：．5．如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接．(1)求证：平分；(2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长．【答案】(1)见解析(2)1【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，，∴平分；（2）解：∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴四边形的周长，根据垂线段最短，当时，值最小，四边形的周长取最小值，∵，∴．类型二：三角形三边关系方法思路：利用三角形三边关系，第三边大于任意两边之差，第三边小于任意两边之和，三点共线时取得最大值或最小值6．如图，，在中，，点A，B分别在边上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为．

【答案】7【详解】解：作，连接，如图，

∵，∴，在中，，在中，，∵（当点C、O、H共线时取等号），∴点C到点O的最小距离为，故答案为：7．7．如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【详解】解：如图，取的中点T，连接．，，∵，，，，，，，，∴的最小值为1．故选：D．8．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点M是中点，点N是中点，连接，若，，则线段的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】解：，，，连接，∵将绕点顺时针旋转得到，，∵是中点，点是中点，，在中，，即，∴当三点共线时，最大．故选：C．9．如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为【答案】8【详解】解：如图，取CD的中点M，以O为圆心，OM为半径作，交OA、OB于E、F．∵CD=6，M为CD的中点，射线OA⊥射线OB于点O，∴，∵CE=4，且CE⊥CD于点C，∴，∵点M在上运动，∴，当M在OE与的交点处时，等号成立，∴，即点E到点O的最大距离为8，故答案为：8．三、类型四：两点之间线段最短以及蚂蚁爬行路径最短问题方法思路：1、两点之间，线段最短。2、蚂蚁爬行路径最短问题，将曲面或立体面展开铺平，两点之间线段最短，利用勾股定理计算即可。10．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是cm．【答案】10【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案为：10．11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是．

【答案】【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图，∵高为，底面周长为，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，∴，，连接，则即为最短距离，∵，∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是，故答案为：．

12．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为【答案】【详解】解：长方体侧面展开图如图所示．由题意，得，．在中，，∴；故答案为：13．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．【答案】17【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：，解得．故答案为：17．14．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值为19，故选：B．四、类型三：构造全等三角形进行转化方法思路：构造全等三角形，利用全等性质进行转化15．如图中，，若将AD作点逆时针旋转90°，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【详解】如图，在AB上截取，连接，将AD绕点逆时针旋转90°得到，，，即，在和中，，，，点在线段上运动，当时，的值最小，即线段有最小值，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，由勾股定理得，线段有最小值为2，故选：A．16．如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为．

【答案】【详解】解：过点作，使，连接，，

，，，，，，，当、、三点共线时，的值最小，，，，在中，，故答案为：．17．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为．【答案】【详解】解：如图，以为边作等边，连接，∴，，∵为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴最小时，有最小值，∵为直线上的动点，过点作于点，∴的最小值为，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．18．如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转90°至点D，连接BD，则BD的最小值是．【答案】【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E；可得等腰直角三角形；∵∴∵∴则：，∴，即即为等腰直角三角形∴∵点F为定点∴点D在射线上运动当时，BD最小，在等腰直角中：，∴，故答案为：．五、类型五：将军饮马模型方法思路：将军饮马问题中的最值分好几种类型，需具体情况具体分析。分两点一动、一定两动、多动点等。19．如图，等腰中，，，垂直平分，交于点．若点为的中点，点为上一动点，则的最小值为．【答案】【详解】解：连接，如图所示：垂直平分，交于点，，，根据点到直线的距离最短是垂线段长，可知当三点共线，时，有最小值，等腰中，，，点为的中点，由等腰三角形“三线合一”可知，，，则，当三点共线，时，有最小值，为，故答案为：．20．如图，中，，，，BD平分，如果、分别为BD、上的动点，那么的最小值是．

【答案】【详解】解：，，，过点作于点，交BD于点，过点作于，

平分，，，，，此时取最小值．，，即．即的最小值为．故答案为：．21．如图，边长为的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，下列说法正确的有（）个．①；②；③的周长最小值为；④当周长最小时，；⑤的大小随着点的移动而变化．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】∵是等边三角形，是边的中点，∴，故①正确．∴是线段的垂直平分线．∴．∵是等边三角形，∴．∴．∴，故②正确．∵点在线段上，∴当点与重合时，线段最小，即此时的周长最小．∵等边三角形的边长为，是边的中点，∴．∴的周长的最小值为，故③正确．∵、都是等边三角形，∴，，．∴．∴．∴，故⑤错误．∴，即点在射线上运动．如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，，，设交的延长线于点．∴．∴的周长．∴当点，，三点共线，即点与点重合时，最小，即的周长最小．∵点与点关于直线对称，∴，．∴．∴是等边三角形．∵是边的中点，∴．∴．故④错误．综上，说法正确的为①②③，共3个．故选B．22．如图，在中，，，射线平分，，，，点为的中点，点为射线上一动点，则的最小值为．【答案】【详解】解：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，，，，，点为的中点，，为等边三角形，射线平分，垂直平分，，点为点关于的对称点，当在点的位置时，最小，最小值为，，，，，．故答案为：．23．如图，在等腰直角三角形中，，P是上一动点．则的最小值是．【答案】5【详解】解：如图：作等腰直角三角形关于的对称直角三角形，连接，与交于点P，线段最短得到就是的最小值，∵等腰直角三角形中，，，，∵B、D关于对称，，．，，由勾股定理得，．故答案为：5．24．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：

由平移性质得到，，作关于的对称点，连接，如图所示：

由对称性得到，，由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长，，，在长方形中，，，由矩形性质可得，，是的中点，，与关于的对称，，在长方形中，，在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故选：C．25．如图，在锐角中，，，，是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为．

【答案】8【详解】解：连接，，，，，如图所示：

因为点关于直线，的对称点分别是，，所以是的垂直平分线，是的垂直平分线，则，，，即，所以是等边三角形，则，当时，取最小值，因为，，所以当时，取最小值，因为，上的高，所以的最小值，故答案为：8．26．如图，在中，，，，点M、N分别为上的动点，则的最小值为．【答案】【详解】解：作A关于的对称点D，连接，∴，∵，∴，当时，长最小，∵，∴∵的面积，∴，∴，∴的最小值是．故答案为：．27．如图，中，，的面积12．点D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值为．

【答案】8【详解】解：作，作点E关于的对称点，如图，

∴，作点E关于的对称点，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，连接，交于点D，交于点F，连接，∴，∴周长的最小值为的长，∵，即，解得：，∴，∴周长的最小值为8，故答案为：8．28．已知等边中，，，若点P在线段AD上运动，当的值最小时，AP的长为．【答案】8【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，过点P作于点E，如图所示：∴，∴，∴当取最小时，即为最小，∴当点B、P、E三点共线时最小，如图所示：∴，∴，，∵，∴；故答案为：8．29．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．

如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值

借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=°．2.拓展应用如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路程为千米【详解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，故答案为：C′B；AB′；1.简单应用（1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段BE的长度，BE=，则EM+MC的最小值是，故答案为：BE；；（2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，

则A′A″即为△AMN的周长最小值，∵∠DAB=130°，∴∠A′+∠A″=50°，∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，故答案为：100；2.拓展应用如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程，

由轴对称的性质可知，OA′=OA=1