专题10 二次函数的实际应用问题（4大考点）（原卷版）

第三部分函数

专题10二次函数的实际应用问题（4大考点）

核心考点一销售、利润问题

核心考点二图形面积问题

核心考点

核心考点三抛物线型问题（拱桥、隧道等）

核心考点四其他问题

新题速递

核心考点一销售、利润问题

例1（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那

么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将

销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．

例2（2022·山东聊城·统考中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程

中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则

该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．

例3（2021·江苏扬州·中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销

售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格x(元/千克)3035404550

日销售量p(千克)6004503001500

(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：

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(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的

最大值为2430元，求a的值．

1、常用公式有：利润=售价-成本价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率=利润/进价×100%，通过

公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决。

2、利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；

(3)确定函数解析式；(4)确定二次函数的最值；(5)检验、解决实际问题。特别需要注意，解答此类型题要

抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销

售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。在求二次函数

最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。

3、一般情况对于此类问题的解题通法是：(1)审题：仔细审题，理解题意，看是不是二次函数。(2)建模：

根据销售利润方面的知识列出等量关系。(3)解模：用含有x的代数式表示相关量，建立二次函数模型。(4)

应用：利用二次函数图像与性质解决有关问题。希望同学们认真理解掌握，关于最值问题，同学们一定要

多下功夫研究学习，总结出解决这类问题的思路方法，考试中得心应手。

【变式1】（2020·湖北武汉·统考模拟预测）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，

发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（）

A．180B．220C．190D．200

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【变式2】（2020·河北沧州·统考二模）“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利x元，一天可售出8x

个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为（）

A．1B．2C．3D．4

【变式3】（2022·辽宁沈阳·统考二模）阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发

现，每天销量y（kg）与销售单价x（元）之间满足一次函数yx50的关系.若不计其他成本（利润=售

价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是_________元．

【变式4】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对

象种植的农产品在某月，（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系

2

x4(0x20)

5

式为p销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．

1

x12(20x30)

5

（1）求y与x之间的函数关系式为y___________；

（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是___________.（销售额=销售量×销售价格）

【变式5】（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.

一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设

月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.

(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款

当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值

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核心考点二图形面积问题

例1（2022·新疆·统考中考真题）如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），

则这个围栏的最大面积为_______m2．

例2（2021·内蒙古·统考中考真题）已知抛物线y=x22x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C，点D(4,y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当BEDE的值最小时，△ACE的

面积为__________．

例3（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线yax22xc，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，

F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y0时，1x3．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．

①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；

②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EMEN是否为定值？如果是，

请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

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面积最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量，建立二次函数的模型，利用二次函

数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围。

13

【变式1】（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知抛物线：yx2x2顶点为D，将抛物线向上平移，

22

15

使得新的抛物线的顶点D¢落在直线l：y上，设直线l与y轴的交点为O，原抛物线上的点P平移后的

8

对应点为Q，若OPOQ，则点Q的纵坐标为（）

2335

A．B．C．4D．17

88

【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图①，在矩形ABCD中，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC

上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．在运动过程中线

段BP的长度为x，线段CQ的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则AB的长为()

A．2.25B．3C．4D．6

【变式3】（2021·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已

知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是__．

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【变式4】（2021·江苏南通·统考一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC2，D是AB上的

一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于

____________．

【变式5】（2022·宁夏银川·校考二模）已知：如图，在RtABC中，ACB90，AB8cm，AC4cm，

CD为AB边上的高，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点P从点B出发，沿BA

方向匀速运动，速度为2cm/s．设运动时间为ts0t4．解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ∥BC；

(2)当PQ中点在CD上时，求t的值；

(3)设四边形QPBC的面积为Scm2，求S与t的函数关系式，并求S最小值．

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核心考点三抛物线型问题（拱桥、隧道等）

例1（2022·四川广安·统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下

降________米，水面宽8米．

例2（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照

图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是

125

yx2x，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．

1233

例3（2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带

浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直

角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE3m，竖直高度

为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为

2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．

(1)若h1.5，EF0.5m；

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①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；

(2)若EF1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

1、根据题意，建立恰当的坐标系，设抛物线解析式；

2、准确转化线段的长与点的坐标之间的关系，得到抛物线上点的坐标，代入解析式，求出二次函数的解析

式；

3、应用所求解析式及性质解决问题；

【变式1】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥

洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降()

A．3.5mB．3mC．2.5mD．2m

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【变式2】（2022·山东临沂·统考一模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路

线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单

位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（）

t01234567…

h08141820201814…

9

A．足球距离地面的最大高度超过20mB．足球飞行路线的对称轴是直线t

2

C．点（10，0）在该抛物线上D．足球被踢出5s:7s时，距离地面的高度逐渐下降．

【变式3】（2022·河北·校联考一模）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出

的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x

1

轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝（x﹣5）2＋6

6

（1）雕塑高OA的值是____m；

（2）落水点C，D之间的距离是____m．

【变式4】（2022·浙江台州·统考一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物

线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2，

2

第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度BCh，若

31

h

OB90dm,OA2AB，则2为________．

h1

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【变式5】（2022·河北邯郸·校考三模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，

桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，

OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部

分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在桌面上的

落点为D，经测试，得到如下部分数据：

t（s）00.20.40.60.8．．．

x（m）00.511.52．．．

y（m）0.250.40.450.40.25．．．

(1)当t＝s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与x之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数

关系式；如果不存在，请说明理由；

(2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上

方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）

(3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF

与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L与EF在同一平面

内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离CE的取

值范围．

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核心考点四其他问题

例1（2020·山东淄博·统考中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、

乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货

包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____

个．

例2（2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面

的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h5t2mtn，其图像如图所示，物体运动

的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0

秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0t1时，w的取值范围是_________；当2t3时，w的取

值范围是_________．

例3（2022·四川攀枝花·统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至

2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳

台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，

如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角37的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略

空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，

运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB150m，且sin370.6．忽

略空气阻力，请回答下列问题：

(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？

(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；

(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？

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二次函数的其他问题，主要在于应用二次函数的图象与性质，结合其他的知识点，求出二次函数的最值情

况即可；

【变式1】（2021·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气

量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系yax2bxc(a≠0)．如

图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可

推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

A．18°B．36°C．41°D．58°

【变式2】（2021·安徽淮南·统考二模）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交

于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如

此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）

A．2B．﹣2C．﹣3D．3

【变式3】（2022·湖北黄冈·统考三模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建

筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为

80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为______．

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【变式4】（2020·浙江温州·校联考模拟预测）小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部

A下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圆心分别为D，C，下部分

的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为

16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E

两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．

【变式5】（2022·河北唐山·统考三模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小

型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建

144

立平面直角坐标系，图中的抛物线C:yx2x近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好

11233

1

者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C:yx2bxc运动．

28

17

(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为米，则b______，c______．

2

4

(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？

3

(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．

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【新题速递】

1．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食

用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系pat2btc（a，b，c

是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）

A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟

2．（2022·辽宁大连·统考三模）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心

球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）

125

与水平距离x（m）之间的函数关系是y=x2x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）

1233

A．2mB．6mC．8mD．10m

3．（2022·浙江温州·统考二模）已知抛物线yax24ax5a与x轴交于A，B两点，P为抛物线顶点，且当

x1时，y随x的增大而减小，若△ABP为等边三角形，则a的值为（）

33

A．B．C．3D．3

33

4．（2022·安徽亳州·统考二模）已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分

别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（）

A．63B．73C．83D．93

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5．（2021·四川绵阳·统考三模）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物

资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息

如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销

利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（）

消毒液每瓶售价（元）每瓶成本（元）每日其他费用（元）每日最大产销量（瓶）

30181200＋0.02x2250

A．250B．300C．200D．550

6．（2022·广西钦州·统考二模）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．要

使菜园的面积最大，则平行于墙面的边长为______．

11

7．（2022·广西河池·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3与x轴交于A、B两

22

点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，

与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________．

8．（2022·湖北黄冈·校联考模拟预测）矩形ABCD中，点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向

B点运动，至B点停止；同时点Q也从A点出发，以同样的速度沿A-D-C-B的路径运动，至B点停止，在

此过程中△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象如图所示，则m的值为________

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123

9．（2021·广东佛山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yxx2与x轴相交于A、B两

22

点，与y轴交于点C，点P是抛物线上位于直线BC下方一动点，当PCB2ABC时，点P的坐标为

__________．

10．（2021·陕西·三模）如图，在矩形ABCD中，AD2AB6，点E是AD的中点，连接BE，点M是BE

上一动点，取CM的中点为N，连接AN，则AN的最小值是________．

11．（2022·辽宁大连·校考模拟预测）新冠肺炎疫情后期，我县某药店进了一批口罩，成本价为2元/个，投

入市场销售，其销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于80%．经一段时间调查，发现每天

销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定为2.3元，每天

销售1080个；销售价定为2.5元，每天销售1000个．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

(2)如果该药店销售口罩每天获得800元的利润，那么这种口罩的销售单价应定为多少元？

(3)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？

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3

12．（2022·山东泰安·校考二模）如图，已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点A(,0),点B（4，

2

0），交y轴于点C0，4，点Mm，0是线段OB上一点（与点O、B不重合），过点M作MPx轴，交BC于

点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若COPQCP，求QP的长；

(3)若在OB的延长线上有一点D，使CD与PQ