专题24 图形的对称、平移、旋转与位似（5大考点）（原卷版）

第六部分图形的变化

专题24图形的对称、平移、旋转与位似

核心考点一轴对称图形与中心对称图形

核心考点二图形的对称（含折叠）及其相关计算

核心考点核心考点三图形的平移及其相关计算

核心考点四图形的旋转及其相关计算

核心考点五图形的位似及其相关计算

新题速递

核心考点一轴对称图形与中心对称图形

例1（2022·贵州黔西·统考中考真题）在如图所示的RtABC纸片中，ACB90，D是斜边AB的中点，

把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，B，则EAC等于（）

1

A．B．90C．D．902

2

例2（2022·浙江丽水·统考中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是(3,3)，

则A点的坐标是___________．

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例3（2022·吉林·统考中考真题）图①，图②均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其

中点A，B，C均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．

(1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；

(2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．

轴对称图形是指一条轴线的两边完全对称的图形，形状都完全对称。

中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么

就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，旋转180°后重合的两个点叫

做对称点。

中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，

那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

1

【变式1】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴，y轴分别交于

2

点M，点N，矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上，对角线BD∥x轴，已知A2,0，D0,4.现将

直线MN向上平移m个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形ABCD的面积，则m的值为（）

1715

A．B．8C．9D．

22

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【变式2】（2023·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1,1)，

(3,0)，(2,1)，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第

二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于

点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022

的坐标是___．

【变式3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，抛物线L1：yax²bx6与x轴分别交于点

A3,0，点B2,0，与y轴交于点C，连接AC．

(1)求抛物线L1的表达式；

(2)若抛物线L2与抛物线L1关于原点O对称，点P是第四象限抛物线L2上的点，过点P作PDy轴于点D，

连接PO．若AOC与POD相似，求点P的坐标．

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核心考点二图形的对称（含折叠）及其相关计算

例1（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张

矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把

纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），

CDDEDEAC

展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为

DEADNDAD

51的是（）

2

A．①②B．①③C．②④D．②③

例2（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、

F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反

k1k2

比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若SCOD＝5，则k1﹣k2＝_____．

xx

△

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例3（2022·新疆·统考中考真题）如图，在ABC巾，ABC30，ABAC，点O为BC的中点，点D

是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将ACD沿AD折叠得到AED，连接BE．

(1)当AEBC时，AEB___________；

(2)探究AEB与CAD之间的数量关系，并给出证明；

(3)设AC4，ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．

【变式1】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）点D是等边三角形ABC的边AB上的一点，且

5

AD1，BD2，现将ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，若BF，

4

则CE的长为（）

57123

A．B．C．D．

3555

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【变式2】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，已知正方形纸片ABCD的边AB4，点P在AD边上，将A

沿BP折叠，点A的应点为A．

（1）若AD∥BP时，PA的长为___________；

（2）若点A到边AD或BC的距离为1，则线段PA的长为_________．

【变式3】（2023·山东枣庄·统考一模）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将CDE沿DE

翻折，点C恰好落在AB边上的F点上，连接DF，延长FE，交DC延长线于点G．

(1)求证：△DFG∽△FAD；

(2)若菱形ABCD的边长为5，AF3，求BE的长．

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核心考点三图形的平移及其相关计算

例1（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，等边ABC、等边DEF的边长分别为3和2．开始时点A

与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，

设ABC、DEF重合部分的面积为y，DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（）

A．B．

C．D．

例2（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对

1

应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是_____．

3

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例3（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在

平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A1,1，B2,5，C5,4．

(1)将ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写

出点A1的坐标；

△

(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到A2B2C1，并写出点A2的坐标；

(3)在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．

【变式1】（2023·河北衡水·校考二模）如图，在ABC中，BC3，将ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，

PQ

点P，Q分别是AB，A1C1的中点，的值不．可．以．是()

A．4B．5C．6D．7

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【变式2】（2023·湖北荆州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段CD（点D在点C右侧）

在x轴上移动，点A0,2、B0,4是y轴上定点，连接AC、BD，则ACBD的最小值为________．

【变式3】（2021·江西宜春·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（3，4），BAx轴于点

k

A，点B在反比例函数y(k0,x0)的图象上，将△OAB沿x轴向右平移得到OAB，OB交反比例函

x

k

y于点C（3a，a）．

x

(1)求a的值；

(2)求△OAB沿x轴向右平移的距离．

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核心考点四图形的旋转及其相关计算

例1（2022·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y3x3与x轴交于点A，与y轴

交于点B，将AOB绕O点逆时针旋转到如图△AOB的位置，A的对应点A恰好落在直线AB上，连接BB，

则BB的长度为（）

333

A．B．3C．2D．

22

例2（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x

轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．

例3（2022·山东临沂·统考中考真题）已知ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，

CD．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线

上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？说明理由．

(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．

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【变式1】（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，在ABC中，ABAC，将ABC以

点A为中心逆时针旋转得到VADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；

②DA平分BDE；③CDFBAD，其中正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【变式2】（2023·江西上饶·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC，连

接CC，DC，若CCD90，AB5，则线段CD的长度为______．

【变式3】（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知AB是半圆O的直径，AB4，点D是线段AB延长线上

的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使CDOA，

将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为(090)．

(1)若OD5，求点C与点O之间距离的最小值；

(2)当射线DC与O相切于点C时，求劣弧BC的长度；

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核心考点五图形的位似及其相关计算

例1（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB

＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为()

4443

A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6

3334

例2（2022·四川成都·统考中考真题）如图，ABC和DEF是以点O为位似中心的位似图形．若

OA:AD2:3，则ABC与DEF的周长比是_________．

例3（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，

把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角

线OB．

（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似

1

图形与OAB的相似比等于；

2

（2）将OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90，得到OA1B1，作出OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所

形成扇形的周长．

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两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像

这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

有必要声明，位似图形的标准定义应是：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对

应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。

【变式1】（2023·河南商丘·校考一模）如图，AOB的顶点O在原点上，顶点A的坐标为3，1，

BAO90，ABOA，点P为OB上一点，且OP3BP，将AOB向右平移，当点P的对应点P落在反

4

比例函数y（x0）上时，则点P′的坐标为（）

x

44

A．（2，3）B．（3，2）C．(3,)D．(,3)

33

【变式2】（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）如图，已知YABCD的面积为24，以B为位

2

似中心，作YABCD的位似图形YEBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则△ADG的

3

面积为________．

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【变式3】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三

角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中ABC是格点三角形，点A，B，C的坐标分别是3,1，

2,3，0,2．

(1)画出ABC绕原点O逆时针旋转90得到的△A1B1C1；

△△

(2)以点O为位似中心，在第一象限内将ABC放大为原来的2倍，得到A2B2C2，画出A2B2C2；

(3)ABC内有一点Pa,b，直接写出经过（2）位似变换后点P的对应点P2的坐标．

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【新题速递】

1．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）如图，把ABC按逆时针转动一定的角度至AB'C'，其中属于旋转角

的是（）

A．BACB．C'AB'C．BAB'D．BAC'

2．（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，等腰Rt△ABC中，ABC90，BABC，将BC绕点B

顺时针旋转090，得到BP，连结CP，过点A作AHCP交CP的延长线于点H，连结AP，则PAH

的度数（）

A．30B．45C．60D．随若的变化而变化

3．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）如图，ODC是由OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，

若点D恰好落在AB上，且AOC102，则B的大小是（）

A．28°B．30°C．33°D．42°

4．（2023·河南南阳·校联考一模）如图，菱形OACB的边OB在x轴上，点A的坐标为1,3，若菱形OACB

绕点O逆时针旋转，每秒旋转45，则第60秒时，点C的对应点C60的坐标为（）

A．3,3B．3,3C．3,2D．2,3

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5．（2022·浙江杭州·统考二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄

金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A1,m，Bn,4是关于x的“黄金函

2

数”yaxbxca0上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x2的右侧，有结论

11

①ac0；②b4；③abc0；④1a0．则下列结论正确的是（）

42

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

6．（2023·河南周口·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，OAB为等腰三角形，OAAB5，点B到

x轴的距离为4．若将OAB绕点O逆时针旋转得到OAB，当点B恰好落在y轴正半轴上时，点A的坐

标为（）△

，25，10

A．525B．C．(2,4)D．(3,5)

33

7．（2023·广东深圳·统考一模）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，点D为EF的中点，若

AB25，连接BF，则BF的长为（）

A．45B．215C．53D．217

8．（2022·广东深圳·深圳市福田区实验教育集团侨香学校校考一模）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶

点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列

说法：

①EAF45；

②连接MG，NG，则MGN为直角三角形；

③AMN∽AFE；

第16页共23页.

5

④若BE2，FD3，则MN的长为2．其中正确结论的个数是()

2

A．4B．3C．2D．1

1

9．（2023·广东深圳·统考一模）如图，反比例函数y的图象经过点A，将线段OA沿x轴向右平移至OA，

x

k

反比例函数yk0的图象经过点A．若线段OA扫过的面积为2，则k的值为__________

x

10．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，已知在平面直角坐标系中，点B的坐标是0,4，

OBA60，点A在x轴正半轴上．将Rt△ABO中沿着直线AB平移得到RtABO，当OBOA最小时，

Rt△ABO和RtABO的重叠部分面积是___________．

11．（2023·山西临汾·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,3，B1,0，将线段AB先沿x轴

正方向平移，然后沿y轴正方向平移，得到线段DC，连接点B及其对应点C，若ABC90，BC2AB，

则点D的坐标是______．

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12．（2023·山西临汾·统考一模）如图，在ABC中，B45，C60，D为线段AB的中点，点E，F

分别在AC，BC上，BF3FC，且EF∥AB，沿DE将VADE折叠得到△GDE，若AE23，则AG的长

是______．

13．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片ABCD的边AB4，点P在AD边上，将A沿BP折

叠，点A的应点为A．

（1）若AD∥BP时，PA的长为______﹔

（2）若点A到边AD或BC的距离为1，则线段PA的长为______．

14．（2023·河南周口·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB9，AD43，E为射线BA上一点，将BEC沿

翻折，使点落在点处，若，则＝．

CEBFSDCF93BE_____

15．（2023·山东菏泽·校考一模）如图，在RtAOB中，直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半

k

轴上，将AOB绕点B逆时针旋转90后，得到AOB，且反比例函数y的图象恰好经过斜边AB的中

x

点C，若SABO=4，tanBAO=2，则k=_____．

第18页共23页.

1

16．（2023·河南南阳·校联考一模）在ABC中，ACB90，AB5，tanBAC，把ABC绕点C逆时

2

针旋转得到△ABC，点A的对应点为A，若△AAC为直角三角形，连接AB，则线段AB的长为_____．

17．（2023·四川泸州·泸县五中校考一模）如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸

中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A0,3，B3,4，

C2,2．

(1)画出ABC关于原点O的中心对称图形ABC，并写出点B的对应点B的坐标．

(2)画出将ABC绕原点O逆时针方向旋转90后的图形△ABC．

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18．（2023·江西上饶·校联考一模）“垃圾入桶，保护环境从我做起”，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图，

ADDC40cm,GD30cm,GF20cm，AGDCDGF90，桶盖GFEC可以绕点G逆时针方向

旋转，当旋转角为40时，桶盖GFEC落在GFEC的位置．

(1)求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度．

(2)求点F到地面AB的距离．（参考数据：sin400.64,cos400.77,tan400.84）

19．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，矩形ABCD的周长为20cm，将对角线AC绕点A

顺时针方向旋转90得到线段AE，连接CE，设边ABxcm（1≤x≤6），△AEC的面积为ycm2．

(1)求y与x的函数关系式：

(2)下表列出了部分点，先直接写出m的值为_______，并在图2中利用描点法画出此函数图象；

x123456

y4134292625m

(3)结合图象，指出在x的变化过程中，y的最小值为_______；并写出在整个变化过程中，点E到直线AD的

最小距离为_______cm．

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20．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪

开，再把ABC沿着AD方向平移，得到ABC．设平移的距离为xcm，两个三角形重叠部分(阴影四边

形)的面积为Scm2

(1)当x1时，求S的值．

(2)试写出S与x间的函数关系式，并求S的最大值．

(3)是否存在x的值，使重叠部分的四边形的相邻两边之比为1：2？如果存在，请求出此时的平移距离x；

如果不存在，请说明理由．