吉林省汪清六中2025届高考模拟考试试题数学试题试卷

吉林省汪清六中2025届高考模拟考试试题数学试题试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量。与〃的夹角为60。，卜|=1,忖=6,则（）

百一33

A.--B.0C.0或——D.——

222

2.若复数z满足iz—2=i,则|z|=（）

A.V2B.6C.2D.y/5

3.若（2八十味）的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数"的值为（）

A.7B.6C.5D.4

4.已知函数/（x）=sin（如+°）3>0,|同<方的最小正周期为4J（x）的图象向左平移季个单位长度后关于），轴对

7T

称，则/（X-二）的单调递增区间为（）

7T.571.7t.71,

A.----FK71y------FK71keZB.------+K7C.—+K71keZ

|_3636

TV,71.

C.-----十攵万,——+K7TKeZD.------+K7T,—+K7TkeZ

121263

5.已知工与）'之间的一组数据:

X1234

ym3.24.87.5

若V关于x的线性回归方程为），=2.以一0.25,则〃?的值为（）

A.1.5B.2.5C.3.5D.4.5

6.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、3、C、

D、E为顶点的多边形为正五边形，且PT=正二IAP,则AT-苴二!■£§=（）

22

A

PT

B

。*。

A.B.C.^^-RDD.!-/?C

2222

z

7.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x\x-x+2>0]f则A:8=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

8.如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABC。-A4G。中，点尸是平面内一点，则三棱锥P—BCD

的正视星与侧视图的面积之和为（）

C.4D.5

9.复数2满足(1+山=卜，1,贝ljz二(）

A.1-iB.l+jC.-------/D.----1---1

2222

aa>b11

10.定义=｛y上，，已知函数/（1）=：；——，^«=-———,则函数/。）=/（乃③g。）的最小

/?,a<b2-sinx2-cos-x

值为（）

24

A.-B.]C.-D.2

33

11.已知空间两不同直线〃?、〃，两不同平面。，B,下列命题正确的是（）

A.若〃z|a且〃I。，贝!]〃2|〃B.若6_L£且〃?_L〃，则，2II6

C.若〃z_La且〃2|则aJ■力D.若m不垂直于a,且〃ua,则"?不垂直于〃

12.若函数/（x）=xlnx-or2有两个极值点，则实数。的取值范围是（）

A.0,gB.（g,l）C.（1,2）D.（2,e）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/*）=85/一1082（2'+1）+以（。€/?）为偶函数，则4=.

14.已知三棱锥P-4BC中，AB1BC,PA=PB=AB=268C=起，且二面角尸-AB-C的大小为135。,

则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.

15.若&《工一2）展开式中的常数项为240,则实数。的值为.

16.（5分）已知曲线。的方程为），=-，V+x（aeR）,其图象经过点尸（1,0）,则曲线。在点尸处的切线方程是

*

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数/。）=d一3/一公，asR.

（I）讨论的单调性；

（II）4Kl时，若王工工2，f（xi）+f（x2）=2,求证：百+%2<0.

18.（12分）如图所示，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCO为正方形，PAA.AB,PA=6,AB=8,PD=1（）,

N为尸。的中点，产为棱8C上的一点.

（1）证明：^PAF^ABCD；

（2）当“为AC中点时，求二面角4-八户一。余弦值.

22

19.（12分）己知椭圆C：—y+亲~=1(a>b>0)过点(0,J^),且满足〃+b=3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为!的直线与椭圆。交于两个不同点4,比点M坐标为（2,1）,设直线MA与M3的斜率分别为出，

2

kif试问也十依是否为定值？并说明理由.

20.（12分）如图,在三棱柱48。一4出©中，ACA.BC,ABVBB,,4c=8C=，。为的中点，且・

(D求证：平面ABC；

(2)求锐二面角C—Z)4—储的余弦值.

21.(12分)在三棱锥5-月8。中，4AC=々BA=々CA=90c,4AB=45°HSAC=60。刃为枝的中点,SA=2

⑺证明：SD,BC;

(〃)求直线BD与平面S3c所成角的正弦值.

22.(10分)已知椭圆+的焦距是2a，点P是椭圆。上一动点，点是椭圆C上关于

原点。对称的两点(与。不同)，若直线的斜率之积为-J.

(I)求椭圆的标准方程；

2

(U)A8是抛物线C2:X=4y上两点，且A3处的切线相互垂直，直线AB与椭圆G相交于CD两点，求OCD

的面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

由数量和的定义表示出向量〃与〃+〃的夹角为60。，再由/=,(，/：=|〃『代入表达式中即可求出

【题目详解】

由向量4与4+〃的夹角为60。,

得a.(〃+/?)=〃+ab=aa+bcos60°

所以。〜=J(a+Z?)

+2a-b+b,

,.I--2-2-2-2

又。=1,b=\J3,a=a,b=b,

所以1+4包=5、1、Jl+2a•1+3,解得ab=0•

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.

2、D

【解题分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.

【题目详解】

解：由题意知，iz=2+i.

2+i_(2+i)i—l+2i

・・z-"—

A|z|=|l-2i|=Jl2+(-2)2=V5,

故选：D.

【题目点拨】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.

3、C

【解题分析】

由二项式系数性质，(〃+勿”的展开式中所有二项式系数和为2"计算.

【题目详解】

2x+的二项展开式中二项式系数和为2“，:2"=32,二.n=5.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键.

4、D

【解题分析】

先由函数/(x)=sin(s+0)的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数/(x)=sin(ox+0)的解析式，从而

得出/(彳-5)的解析式，再根据正弦函数/(x)=sinx的单调递增区间得出函数/(x-g)的单调递增区间，可得选

66

项.

【题目详解】

因为函数/。)=sin(公E+夕)3>0,冏<])的最小正周期是不，所以兀=(，即啰=2,所以/(x)=sin(2x+0),

/.*)=sin(2x+0)的图象向左平移?个单位长度后得到的函数解析式为

.c冗

y=sin2x+—+(p=sin2x+—+(p,

一I6J；I3J

由于其图象关于),轴对称，所以?+。=彳+2版"MEZ,又如(7所1以。吟兀所以小An2一十

JJ26

所以/(入一看)=$由2卜7T71

+-=sin2x--\t

66J

因为/。)=sinx的递增区间是:一+24肛2k九+—,keZ

22f

TTJT7TTT7T

由一生+2k/rV2x—华工2〃乃+生，keZ,得：----Fkjr<x<k7i-\—,kE,Z,

26263

所以函数f(x—371)的单调递增区间为-J+k小三+k兀(&eZ).

6o3

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于

中档题.

5、D

【解题分析】

利用表格中的数据，可求解得到；=2.5,代入回归方程，可得］=5,再结合表格数据，即得解.

【题目详解】

利用表格中数据，可得1=2.5,

又)，=2.1x-0.25,「.y=5,

/.m+3.2+4.8+7.5=20.

解得m=4.5

故选：D

【题目点拨】

本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

6、A

【解题分析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.

【题目详解】

解：AT-^-^-ES=SD-SR=RD=^^-QR.

22

故选：A

【题目点拨】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属

于基础题.

7、D

【解题分析】

先求出集合M再与集合A求交集即可.

【题目详解】

由已知，X2-X+2=(X-^)2+^>0,故/=/?,所以4nB={-2,-1,0,1,2}.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

8、A

【解题分析】

根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.

【题目详解】

由三视图的性质和定义知，三棱锥P-BCO的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是

^xlx2=l,正视图与侧视图的面积之和为1+1=2,

2

故选：A.

【题目点拨】

本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算

能力，属于基础题.

9、C

【解题分析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.

【题目详解】

解.^(1-0_^(l-0,V2也

1+/1+Z(1+/)(1-/)222

故选：C

【题目点拨】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

10、A

【解题分析】

根据分段函数的定义得F(x)>f(x),F(x)>g(x),则2F(x)>/Q)+g(x),再根据基本不等式构造出相应的所需的

形式，可求得函数的最小值.

【题目详解】

依题意得F(x)>/(x),F(x)>g(x),则2F(x)>f(x)+g(x),

fM+g(x)=--!(--)[(2-sin2x)+(2-cos2x)]

2-sin-x2-cos"x32-sin-x2-cos'x

」(2+2上了+2小」」2+2卜3、.2一如晨)，(当且仅当"0=生”£,即

32-sin~x2-cos~x3V2-sin~x2-cos~x32-sirrx2-cos'x

i242

22

sinx=cosx=5时*”成立.此时,〃_r)=s(x)=-f2F(x)>-,/.F(x)的最小值为-,

故选：A.

【题目点拨】

本题考食求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2尸(x)2/(刈+g(x),再由基本不等式求得最值，属

于中档题.

11、C

【解题分析】

因答案A中的直线机，〃可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线〃U夕也成立，故不正确；答案C中的直线〃，

可以平移到平面力中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面£互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可

能垂直于直线〃，故不正确.应选答案C.

12、A

【解题分析】

试题分析：由题意得/'(x)=lnx+l—2ar=。有两个不相等的实数根，所以/"(x)=,-2。=()必有解，则a＞0,

X

考点：利用导数研究函数极值点

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

(I)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为。的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求P(X)―＞求方程r(X)=0的根一＞列表检验r(X)在r(x)=o的根的附近两侧的符

号一一＞下结论.

(3)已知极值求参数.若函数f(X)在点(xo,yo)处取得极值，则F(X0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号

相反.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

2

【解题分析】

根据偶函数的定义列方程，化简求得。的值.

【题目详解】

由于/(1)为偶函数，所以〃一力=〃克)，

rx

即cos(-x)-log2(2-4-1)-ar=cosx-log2(2+l)+ar,

x

即cosx-log2(2~+l)-ar=cosx-log2(2*+1)+ax,

即log?。'+1）-log2。'+1）-2依=0,

（2'+1）2（2'+1）2

即1暇台金一2办=0,即1唯（2-，+1）.2「2翅二°，BP10g2L__L_一2冰=0,即

log2T-2ax=x-2ctx=（\-2a）x=0f所以1-2。=0,。=’.

2

故答案为：—

2

【题目点拨】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.

14、32乃

【解题分析】

设的中心为丁，A3的中点为N,AC中点为M,分别过M,7做平面ABC,平面小3

的垂线，则垂线的交点为球心O,将or,的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半

径.

【题目详解】

设ARAB的中心为T，48的中点为N,AC中点为分别过M,T做平面A8C,平面

的垂线，则垂线的交点为球心O,如图所示

因为=48=26，BC=C，所以77V=1，W=—,AC=V14，

2

又二面角P・AB-。的大小为135。，则N77VM=135,ATOM=45,所以

TM?=TN?+MN?-2MNTNcos乙TNM=',

2

设外接球半径为R,则OA/2=R2-g,OT2=R2-4,

在△O7M中，由余弦定理，得7M2=W2+MO2—2MO：TOCOSNTOM,

即1=於_4+求2_1_«2R2-7)(12—4),解得箱=8，

故三棱锥P-ABC外接球的表面积5=4加大=32不.

故答案为：32乃.

【题目点拨】

本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，

是一道难题.

15、-3

【解题分析】

依题意可得二项式展开式的常数项为乙1二水：号2.1—2)即可得到方程，解得即可；

kX)

【题目详解】

，八S(八3

解：:二项式以x-一的展开式中的常数项为心=即厅・——=-8067=240,

IX)IX)

••解得ci——3.

故答案为：-3

【题目点拨】

本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.

16、2x-y—2=0

【解题分析】

依题意,将点尸。,0)的坐标代入曲线C的方程中，解得。=1.由y=-V+x,得)，，=-3/+|,则曲线。在点。处切线

的斜率4=)，］“=-2,所以在点尸处的切线方程是y=-2*-l),即2'+)，-2=0.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解题分析】

(1)首先对函数/*)求导，再根据参数。的取值，讨论了'(X)的正负，即可求出关于/(x)的单调性即可；

(2)首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明%+々＜°・

【题目详解】

(1)f\x)=ex-x-a,令g(x)=/'a),

贝Ug'(x)=ex-I,令g'(x)=e'-1=0x=0,

当x£(F,0)时，g'(x)<0则g(幻在(-oo,0)单调递减，

当元w(0,+oo)时，g'(x)>0则g(x)在(0,+oo)单调递增，

所以gmie)=g(°)=l-。，

当。<1时，gmin(X)=l一。2°，即g0)=r(x)之0,则/(幻在R上单调递增,

当。>1时，gmin(X)=l一。<()，

易知当X7—8时，g(X)->ZO,

当x7”时，g(x)->y,

由零点存在性定理知，3XPX2,不妨设使得用(西)二月*2)=0，

当XE(YO,芭)时,g(x)>0,即/")>0,

当工£(西,无2)时，g(X)<0，即/'(X)v0,

当X£(W，+8)时，g(x)>0,即/'(幻>0,

所以/(x)在(-8,%)和(々,+8)上单调递增，在(%，七)单调递减；

(2)证明：构造函数尸(x)=/(x)+/(-x)-2,x>0,

F(x)=ex-—x2-CLX+e~x-—x2+av-2,x>0,

22_

整理得尸(x)=e'+/-2-2,

xx

F\x)=e-e--2xt

尸〃(“)="十e~x-2>2y/exe~x-2=0(当x=。时等号成立)，

所以F'。)在［0,+8)上单调递增，则FU)>尸(0)=0,

所以FW在［0,位)上单调递增，F(x)>F(0)=0,

这里不妨设W>0,欲证内+々<°，

即证内<一々由(1)知时，JS)在R上单调递增，

则需证/(%)</(一马)，

由已知/(/)+/(£)=2有/(占)=2-/32),

只需证/(x1)=2-f(x2)</(-x2),

即证/。2)+/(一看)>2,

由F(x)=/(x)+f(-x)-2在［0,-W)上单调递增，且&>。时，

有F(X2)=f(x2)+f(-x2)-2>0,

故/(12)+/(一工2)>2成立，从而内+/<。得证.

【题目点拨】

本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.

18、(1)证明见解析；(2)-%叵.

【解题分析】

(D要证明面即_1面48。。，只需证明必_1面48。即可；

(2)以A为坐标原点，以45,A。，AP分别为x,》，z轴建系，分别计算出面ANF法向量i，面P3C的法

LU1

向量〃j再利用公式计算即可.

【题目详解】

证明：(1)因为底面人88为正方形，所以人。=八。=8

又因为E4=6,PD=10,满足RV+A£>2=/>£)2,

所以BAJ_AD

XPAA.AB>ADczffiABCDfABIffiABCD,

ABr>AD=Af

所以％_1面45。.

又因为EAu面BA尸，所以，面粉尸J_面A6CO.

(2)由(1)知48,AD.AP两两垂直，以A为坐标原点，以45,AD,AP分别为工，)'，轴建系如图所示,

ABx

则A（0,0,0）,P（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,£>（0,8,0）则N（4,4,3）,F（8,4,0）.

所以A卢=（8,4,0）,A7V=（4,4,3）,BC=（0,8,0）,PC=（8,8,-6）,

_-z[n^AF=0[8x4-4y.=0

设面4所法向量为4=（x，y,zJ,则由।…八得J/'°八，

、/[n]AN=0[4芭+4y+3Z1=（）

33・「33、

令4=1得％=^，=--»即〃|=1『一5』1；

同理，设面P3C的法向量为4二(X2，%，Z2)，

n•PC=0Sx+8%—6Z=0

则由，2<22

n2-BC=0[Sy2=0

令z?=4得9=3,)，2=0,即丐=(3,0,4),

3

-x3+0+lx45相

所以COS<,%-6T，

〃2

0）+卜（1+『'际7

设二面角A—AE—C的大小为0,则

1-61

所以二面角人一版一。余弦值为一己叵.

61

【题目点拨】

本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标,

是一道中档题.

19、(1)—+^=1(2)佑+匕为定值0,见解析

82

【解题分析】

(1)利用己知条件直接求解。涉，得到椭圆的方程；

(2)设直线在),轴上的截距为〃?，推出直线方程，然后将直线与椭圆联立，设4(%,)。，3(/，%)，利用韦达定理

求出K+B，然后化简求解即可.

【题目详解】

（1）由椭圆过点则/?=&，又Cl+b=3叵，所以4=2及，

r22

故椭圆的方程为土+上v二1

82

（2）4+&=0,证明如下:

设直线在）’轴上的截距为"?，所以直线的方程为：），=gx+,〃,

y=—x+m

•2,,

由《22得：f+2〃LY+2〃--4=(),

--+---=I

82

由£,=4m2-8/n2+16>0得一2vmv2,

设4（与方），8（孙％），则＜+电=-26,“2=2"/-4,

所以小二"+2m(2),

X1—2X-,—z,—2.jyX-y—

011

又)1=5玉+机，yi=~x2+in>

所以()1-1)(占-2)+(%-1)(力-2)FW+(〃L2)(X+々)—4(〃?—1)

=2M-4+(/w-2)(-2/7z)-4(/?2-1)=0,

故人+&=0.

【题目点拨】

本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了方程的思想，转化与化归的思想,

考查了学生的运算求解能力.

20、（1）证明见解析：（2）巫.

5

【解题分析】

（1）证明CZ）_LAB后可得COJ_平面BqAA,从而得CO_LB图，结合已知得线面垂直;

（2）以c为坐标原点，以C8为x轴，cq为轴，。为z建立空间直角坐标系，设CG=2,写出各点坐标，求

出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值.

【题目详解】

(1)证明：因为AC=〃C,。为9C中点,

所以CD_LA8,又CQ_LQA|,AB^}AiD=Df

所以COJ_平面又平面44出出,

所以CDLB】B,又48_LA8,ABr\CD=Dt

所以A8J_平面ABC.

(2)由已知及(1)可知C8,CC,,C4两两垂直，所以以C为坐标原点，以C8为工轴，CG为)'轴，。为z建

立空间直角坐标系，设。0=2,则

C（0,0,0）,5（2,0,0）,4（0,0,2）,C,（0,2,0）,/A,（0,2,2）,Dll,0,l）.

设平面OCA的法向量〃i=C+y,zJ,则

n.•CD-0x.+z.-0,、

1，即《£+2钎。,令"T则eui）；

%.。4=0

设平面。G4的法向量%二(W，%，Z2)，则

〃“。=。，即x,-2y+Z）=（）/、

_9-

/_n，令刈=1，则%=（2,1,0）,

%•GA=o乙乙、—U

所以8s如“"黑3_厉

石xb一5,

故锐二面角C-DA.-Q的余弦值为叵.

5

【题目点拨】

本题考查证明线面垂直，解题时注意线面垂直与线线垂直的相互转化.考查求二面角，求空间角一般是建立空间直

角坐标系，用向量法易得结论.

21、⑺证明见解析；(〃)：

【解题分析】

(7)过Df乍于E,连接即，根据勾股定理得到SE4c,。后/8。得到8。/平面即》得到证明.

(〃)过点冰D"人SE于证明平面MC,故4TS。为直线SD与平面S8C所成角，计算夹角得到答案.

【题目详解】

⑺过C作D2?/反、干员连接题.根据角度的垂官关系易知：

AC=1，AB=SB=&，CS=CB=VJ.故BE=BDCGSMBD=4，

DE=BDsinMBD=［