2024-2025学年贵州省贵阳市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年贵州省贵阳市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则的元素个数为（

）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（

）

A． B． C． D．4．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．函数的图象（

）A．关于原点对称 B．在上单调递增C．关于直线对称 D．关于点对称8．已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（

）A． B． C． D．10．在三角形中，角的对边分别为a，b，c，若，则（

）A．三角形的外接圆半径为2 B．当时该三角形有唯一解C．最大值为12 D．的最大值为2411．已知菱形ABCD的边长为，将沿AC翻折，使点与点重合，如图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是（

）A．不存在点，使得B．无论点在何位置，总有面PBDC．当三棱锥的体积最大时，直线AB与平面PBC所成角的余弦值为D．当时，为PB上一点，则的最小值为2三、填空题（本大题共3小题）12．已知椭圆的标准方程是，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交于A、B两点，连接OA，OB，构成的三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为.13．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的的一个值为.14．若，且，设，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在四棱锥中，平面，且.(1)求证：平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正切值.16．已知直线，圆.(1)若直线与直线平行，且与圆相切，求的直线方程；(2)若直线与直线垂直，且与圆相交于AB两点，，求的直线方程.17．在中，A，B，C所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求BC边上的高线AD的最大值.18．在正三棱柱中，分别是棱上的动点（不包括端点），且满足，则：(1)是否存在点E，使得，若存在，求出；(2)求三棱锥体积的最大值；(3)求二面角的最大值.19．已知直线的方程的方程：，圆的圆心在坐标原点，当坐标原点到直线的距离最远时，圆与直线相切，点是圆上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，点在线段上，且满足，点的轨迹记为曲线，曲线与轴的正、负半轴分别交于两点，在轨迹上，且满足.(1)证明直线经过定点并求出定点的坐标；(2)求轨迹的方程；(3)求直线所经过的定点.

答案1．【正确答案】C【详解】集合，分别表示直线与圆上的点，则的元素个数为即为直线与圆的交点个数，注意到过圆圆心，则直线与圆相交，即交点个数为，的元素个数为.故选：C2．【正确答案】B【详解】因为，其在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.3．【正确答案】A【详解】因为是上一点，可设，由题意知所以解得，所以，故选：A.4．【正确答案】C【详解】若直线与直线平行，则，解得，所以，“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选：C5．【正确答案】B【详解】圆的圆心为，半径；圆即，则圆心为，半径；因为，则所以两圆相交，则两圆只有条公切线.故选：B6．【正确答案】C【详解】因为，所以，所以，如图所示，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,故选:C.7．【正确答案】B【详解】设.对于A，注意到，则函数图象不关于原点对称，故A错误；对于B，当时，，因在上不递增，则在上不递增，故B错误；对于C，注意到形如的函数图象，可由图象由伸缩，平移变换得到，即函数的图象为中心对称图形，无对称轴，故C错误；对于D，当时，，因函数在时无意义，则的图象关于对称，故D正确.故选：B8．【正确答案】D【详解】设，又点在椭圆上，则，两式相减可得:，所以，又，则，又点在椭圆内，则，则,所以.故选：D.9．【正确答案】ABC【详解】对于A，的定义域为，且，所以为奇函数，且在上单调递增，故A正确；对于B，的定义域为，且，所以为奇函数，且在上单调递增，故B正确；对于C，的定义域为，且，所以为奇函数，且在上单调递增，故C正确；对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故D错误；故选：ABC10．【正确答案】AD【详解】对于A，由正弦定理，，故A正确；对于B，由余弦定理，，解得或，经验证均满足三角形三边关系，故当时该三角形有2个解，故B错误；对于C，，由余弦定理可得.由正弦定理，因，则，当且仅当，即时取等号.则，则，故C错误；对于D，由余弦定理，，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：AD11．【正确答案】BC【详解】对于A，的轨迹是以为轴的两个同底的圆锥底面半圆弧，显然圆锥轴截面的顶角为，大于，则存在两条母线互相垂直，即存在点，使得，而翻折前，因此存在点，使得，故A错误；对于B，依题意，都是等边三角形，取的中点，则，又平面，于是平面，又平面，因此，因为四边形是菱形，所以，又，平面PBD，因此平面PBD，故B正确；对于C，由选项B知，平面是二面角的平面角，三棱锥的体积，当且仅当时取等号，此时平面，等腰的面积，设点到平面PBC的距离为，由，得，解得，设直线AB与平面所成的角为，则，，故C正确；对于D，当时，三棱锥为正四面体，将，展开在同一平面内，如图，显然四边形为菱形，，当三点共线时，取得最小值，故D错误；故选：BC.12．【正确答案】【详解】由题意，设椭圆左焦点为F−c,0将代入，解得，如图：所以，，因为三角形AOB是等腰直角三角形，所以，所以，整理得，所以，又因为离心率，所以，解得或（舍）.故13．【正确答案】（答案不唯一）【详解】由题，，圆心为，半径为2.则直线l到C距离为，.则或，得或.故14．【正确答案】【详解】因为，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以，的最小值为.故15．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面，所以，又因为，所以，而平面，所以平面.（2）因为平面平面，所以，而，于是建立如图所示的空间直角坐标系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，则有，设平面与平面夹角为，，则，所以，即平面PAD与平面PBC夹角的正切值为.16．【正确答案】(1)或；(2)或.【详解】（1）依题意，设所求直线方程为，因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为，，解得或，所求直线方程为或；（2）依题意，设直线的方程为，因为直线与圆相交于A，B两点，，圆心到直线的距离为，，解得或，直线的方程为或.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，又因为，所以，因为，所以.（2）由（1）可知：，又，所以由余弦定理得：,所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以,BC边上的高线AD的最大值.18．【正确答案】(1)存在，；(2)；(3).【详解】（1）假设存在点使得，则因为，所以由正三棱柱，平面，且平面，可得，又因为，是平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以，又，所以，又，且，所以，解得（负值已舍去），则，所以存在点使得，此时；（2）如图，在中，

由余弦定理得，所以，当且仅当时等号成立，所以，即三棱锥体积最大值为；（3）如图，过点F作，垂足为D，由为正三棱柱，可知平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，过点D作，垂足为G，连接，

因为平面，所以，又，平面，所以平面，所以是二面角的一个平面角，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以二面角的最大值为.19．【正确答案】(1)证明见解析，(2)(3)【详解】（1）令，解得，即对任意，总是方程的一组解，所以直线经过定点.（2）当时，此时原点到直线的距离最远，(理由如下：当时，此时到的距离即为，当与不垂直时，过作交于，显然在中，，所以时，此时到的距离